Магнетизм
.pdfКАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ.
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
для студентов специальностей
2903, 2906, 2907, 2908, 2910
Казань
2005
Составитель В.И. Сундуков, Э.М. Ягунд, Д.И. Фахертдинова Под редакцией В.В. Алексеева, Л.И. Маклакова.
УДК 530.1
Методические указания к решению задач по физике. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ для студентов специальностей 2903, 2906, 2907, 2908, 2910/ Казанский государственный архи- тектурно-строительный университет; Сост. В.И. Сундуков, Э.М. Ягунд, Д.И. Фахертдинова. Под редакцией В.В. Алексеева, Л.И. Маклакова. Ка-
зань, 2005 г. 28 с.
В работе приведены основные формулы, необходимые для решения задач, и условия задач.
Рецензент доцент кафедры молекулярной физики Казанского госуниверситета Пименов Г.Г.
© |
Казанский государственный |
|
архитектурно-строительный |
|
университет, 2005 г. |
2
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Напряженность магнитного поля в центре кругового тока
H = 2IR ,
где R — радиус кругового контура с током, I — сила тока в проводнике. Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным прямолинейным проводником
H = 2πI a ,
где a — расстояние от точки, где находится напряженность, до проводника с током;
Напряженность магнитного поля на оси кругового тока
H = |
IR2 |
|
|
, |
|
2( R2 +a2 )32 |
где R — радиус кругового контура с током и a - расстояние от точки, где находится напряженность, до плоскости контура.
Напряженность магнитного поля внутри тороида и бесконечно длинного соленоида
H = I n ,
где n — число витков на единицу длины соленоида (тороида). Индукция магнитного поля B связана с напряженностью H соотношением
B =μμ0 H ,
где μ — магнитная проницаемость среды и μ0 — магнитная постоянная, равная μ0 = 4π 10−7 Гн/м.
Поток магнитной индукции через контур
Ф = BS cosα,
где S — площадь поперечного сечения контура, α — угол между нормалью к
плоскости контура и направлением магнитного поля.
На элемент dl проводника с током, находящийся в магнитном поле, действует сила Ампера, равная
dF = B I dl sinα ,
где α — угол между направлением тока и магнитного поля.
3
На замкнутый контур с током, а также на магнитную стрелку в магнитном поле, действует пара сил с вращающим моментом
M = p B sinα,
где p — магнитный момент контура с током и α — угол между направлением
магнитного поля и нормалью к плоскости контура. Магнитный момент контура с током
p = I S ,
где S — площадь контура, так что
M = I B S sin α.
Два параллельных прямолинейных проводника с токами I1 и I2 взаимодействуют между собой с силой:
F = μμ0 I1I2l ,
2πd
где l — длина проводников и d — расстояние между ними. Работа перемещения проводника с током в магнитном поле
dA = I dΦ,
где dФ — магнитный поток, пересеченный проводником при его движении. Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся со скоростью V в магнитном поле, определяется формулой Лоренца
F = B q V sinα ,
где q — заряд частицы и α — угол между направлением скорости
положительно заряженной частицы и магнитного поля. Явление электромагнитной индукции заключается в появлении в контуре Э.Д.С. индукции при всяком изменении потока магнитной индукции сквозь
поверхность, охватываемую контуром. Величина Э.Д.С. индукции определяется законом Фарадея
εi = −ddtΦ .
Изменение потока магнитной индукции может достигаться изменением силы тока в самом контуре (явление самоиндукции). При этом Э.Д.С. самоиндукции определяется формулой
εi = −L dIdt ,
где L — индуктивность контура.
4
Индуктивность соленоида l =μμ0 n2l S ,
где l — длина соленоида, S — площадь его поперечного сечения, n — число витков на единицу его длины.
Вследствие явления самоиндукции сила тока в цепи при выключении Э.Д.С. уменьшается по закону
−R t
I = I0 e L .
При включении э.д.с. сила тока нарастает по закону
− |
R |
t |
|
||
I = I0(1−e L |
) . |
Магнитная энергия контура с током
W = LI22 .
Заряд, прошедший через поперечное сечение проводника при возникновении в нем индукционного тока, равен
dq = −RI dΦ .
ГАРМОНИЧЕСКИЕ СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид
x = Asin( 2Tπt +ϕ) = Asin( 2πνt +ϕ) = Asin( ωt +ϕ),
где x — смещение точки от положения равновесия, A — амплитуда, T — период, ϕ — начальная фаза, ν — частота, ω — циклическая частота.
Примером механических колебаний может служить пружинный и математические маятники.
Период колебаний пружинного маятника равен
T = 2π mk ,
m — масса груза, k — жесткость пружины. Период колебаний
5
математического маятника T = 2π |
l |
, где l — длина маятника, g — |
|
g |
|
ускорение свободного падения.
Для электрических колебаний в контуре, состоящем из емкости C и
индуктивности L, период колебаний будет равен
T = 2π LC .
При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ2 −ϕ1 )
и с начальной фазой, определяемой из уравнения
tgϕ= A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 , A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
где A1 и A2 — амплитуды складываемых колебаний, ϕ1 и ϕ2 — их начальные
фазы.
При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид
x2 |
+ |
y2 |
− |
2xy |
cos( ϕ |
2 |
−ϕ ) = sin2 |
( ϕ |
2 |
−ϕ ) . |
|
|
|
||||||||
A12 |
|
A22 |
|
A1A2 |
1 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Если на материальную точку в механической колебательной системе, кроме упругой силы действует еще сила трения F = –rV, где r — коэффициент трения и V — скорость колеблющейся точки, то колебания будут затухающими. Уравнение затухающего колебательного движения имеет вид
x = A e−βt cos( ωt +ϕ).
Здесь β = r/2m — коэффициент затухания, а ω= ω02 −β2 , где
ω0 — циклическая частота собственных колебаний (частота колебаний
системы без потерь энергии).
Величина =βT называется логарифмическим декрементом затухания.
Если на материальную точку массой m, колебание которой дано в виде x = A e−βt cos ωt , действует внешняя периодическая сила F = F0 cos Ωt , то
колебании точки будут вынужденными и уравнение ее движения примет вид
x = Acos( Ωt +ϕ), где A = |
F0 |
/ m |
. Резонанс наступает |
( ω02 −Ω2 |
)2 +4β2Ω2 |
тогда, когда частота вынужденных колебаний Ω связана с частотой
6
собственных колебаний ω0 и с коэффициентом затухания δ соотношением
Ωp = ω02 −2β2 .
Для электрического колебательного контура колебания будут затухающими если в LC контур включить сопротивление R. Напряжение на конденсаторе будет меняться по закону
U =U0 e−βt cos ωt .
Здесь β = R / 2L . Если в колебательный контур последовательно включить внешний генератор с периодически меняющимся напряжением U =U0 cos Ωt
будем иметь дело с вынужденными колебаниями той же частоты . Для амплитуды (максимального значения напряжения на конденсаторе) вынужденных колебаний будет выполняться следующее выражение
U ω2
Uco = 0 0 .
( ω02 −Ω2 )2 +4β2Ω2
ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Закон Ома для переменного тока записывается в виде I =UZ , где
I и U — эффективные значения тока и напряжения, связанные с их амплитудными значениями I0 и U0 соотношениями
I= I02 ,U = U20 ,
аZ — полное сопротивление цепи. Если цепь содержит сопротивление R, емкость C и индуктивность L, соединенные последовательно, то
Z = R2 +( ΩL − Ω1C )2 .
При этом сдвиг фаз между напряжением и током определяется формулой
|
ωL − |
1 |
|
|
tgϕ = |
ωC |
. |
||
|
||||
R |
|
|||
|
|
|
Катушка, обладающая сопротивлением R и индуктивностью L, в цепи переменного тока соответствует последовательно включенным R и L. Реальный конденсатор (с потерями энергии) соответствует параллельно включенным R и C.
7
Мощность переменного тока P = I U cos ϕ
ВОЛНЫ
При распространении незатухающих колебаний со скоростью с вдоль некоторого направления, называемого лучом, смещение любой точки, лежащей на луче и отстоящей от источника колебаний на расстоянии l, дается уравнением
x = Asin( 2Tπt − 2λπl ),
где A — амплитуда колеблющихся точек, λ — длина волны. При этом λ = c T . Две точки, лежащие на луче на расстоянии l1 и l2 от источника
колебаний, имеют разность фаз
ϕ2 −ϕ1 = 2πl2 λ−l1 .
При интерференции волн максимум и минимум амплитуды получаются соответственно при условиях
|
|
l |
2 |
−l |
= 2n λ |
, |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(n = 0, 1, 2,...), |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
2 |
−l =( 2n +1) λ , |
(n = 0, 1, 2,...). |
|||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь l2 −l1 — геометрическая разность хода волн.
8
§1. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ.
1 (11.1) Найти напряженность H магнитного поля в точке, отстоящей на расстоянии a = 2 м от бесконечно длинного проводника, по которому течет ток
I = 5 A.
2 (11.2) Найти напряженность H магнитного поля в центре кругового проволочного витка радиусом R = 1 см, по которому течет ток I = 1 A.
3 (11.3) На рис. 1 изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояние между проводниками АВ =10 см, токи I1 = 20 A и I2 = 30 A. Найти напряженности H магнитного поля, вызванного токами I1 и I2 в точках M1, M2 и M3. Расстояния M1A = 2 см, AM2 = 4 см и BM3 = 3 см.
Рис. 1.
4 (11.4) Решить предыдущую задачу при условии, что токи текут в одном направлении.
5 (11.5) На рис. 2 изображены сечения трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояния АВ = ВС = 5 см, токи I1 = I2 = I и I3 = 2I. Найти точку на прямой АС, в которой напряженность магнитного поля, вызванного токами I1 , I2 и I3 равна нулю.
Рис. 2.
6 (11.6) Решить предыдущую задачу при условии, что токи текут в одном направлении.
7 (11.9) Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии d = 10 см друг от друга. По проводникам текут токи I1 = I2 = 5 A в противоположных направлениях. Найти модуль и направление напряженности H
9
магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии a = 10 см от каждого проводника.
8 (11.10)По длинному вертикальному проводнику сверху вниз идет ток I = 8A. На каком расстоянии a от него напряженность поля, получающегося от сложения земного магнитного поля и поля тока, направлена вертикально вверх? Горизонтальная составляющая напряженности земного поля Hг = 16А/м.
9 (11.11) Найти напряженность H магнитного поля, создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током, в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии a = 5 см от него. По проводнику течет ток I = 20 A. Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 60 градусов.
10 (11.12) Решить предыдущую задачу при условии, что ток в проводнике равен
30 А и отрезок проводника виден из точки С под углом 90°. Точка С расположена на расстоянии 6 см от проводника.
11 (11.15) Ток I = 20 A идет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти напряженность H магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии a = 10см.
12 (11.16) Ток I = 20 A, протекая по кольцу из медной проволоки сечением
S = 1 мм2, создает в центре кольца напряженность магнитного поля H = 178A/м. Какая разность потенциалов U приложена к концам проволоки, образующей кольцо?
13 (11.17) Найти напряженность H магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии a = 3 см от его плоскости. Радиус контура R = 4 см, ток в контуре
I = 2 A.
14 (11.18) Напряженность магнитного поля в центре кругового витка H0 = 64А/м. Радиус витка R = 11 см. Найти напряженность H магнитного поля на оси витка на расстоянии a = 10 см от его плоскости.
15 (11.19) Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии
d = 10 см друг от друга. По виткам текут токи I1 = I2 = 2 A. Найти напряженность H магнитного поля на оси витков в точке, находящейся на равном расстоянии от них. Задачу решить, когда: а) токи в витках текут в одном направлении; б) токи в витках текут в противоположных направлениях.
16 (11.20) Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 5 см друг от друга. По виткам текут токи I1 = I2 = 4 A. Найти напряженность H магнитного поля в центре одного из витков. Задачу решить, когда а) токи в витках текут в одном направлении; б) токи в витках текут в противоположных направлениях.
10