7.Тригонометрия
.doc§7. ТРИГОНОМЕТРИЯ Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента . , , , , .
Формулы приведения
Формулы приведения применяются по следующей схеме: 1) если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида то наименование тригоно-метрической функции следует сохранить; 2) если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида то наименование тригоно-метрической функции следует изменить: , ; 3) перед полученной функцией от аргумента надо поставить тот знак, которая имела бы преобразуемая функция при условии, что .
Функции суммы и разности двух углов ,;
.
Функции двойного аргумента , ,
57
, .
Формулы понижения степени ,
.
Функции половинного аргумента ,
.
Формулы преобразования суммы функций в произведение: , , , .
Формулы преобразования произведения в сумму , , .
58
Формула дополнительного аргумента , где .
Периодичность; четность и нечетность , , (нечетная); , , (четная ; , , (нечетная); , , (нечетная).
Обратные тригонометрические функции , где , если и : , где , если и ; , где , если и ; , где , если и . Имеют место следующие соотношения между обрат-ными тригонометрическими функциями, справедливые в области определения соответствующих функций: ;; ;; ;
59
; ; ; ; ; . Решение простейших тригонометрических уравнений: –– ; –– ; –– ; –– .
Пример 1. Вычислить .
Решение. Так как то .
Ответ: 0. Пример 2. Вычислить .
Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргу-мента и формулой приведения :
60
.
Ответ: 0,125 Пример 3. Вычислить . Решение. Воспользуемся периодичностью функции и формулой : . Поэтому . Ответ: – 0,1.
Пример 4. Вычислить . Решение. Применяя формулу приведения, получим . Ответ: –0,75.
Пример 5. Вычислить . Решение. Учитывая, что и
61
, получим . Применим формулу тангенса суммы: . Следовательно, .
Ответ: 0,5.
Пример 6. Вычислить , если .
Решение. Так как и , то .
Ответ: 0,3.
Пример 7. Вычислить при . Решение.
62
. Ответ: – 0,5. Пример 8. Найти в градусах корень уравнения , если Решение. Так как , то исходное урав-нение можно записать в виде , или .
Обозначив , получим: . Корни это-го уравнения: . Вернемся к переменной х:
1) . Это уравнение решений не имеет.
2) . Корень этого уравнения, лежащий в интервале , равен Ответ : . Пример 9. Найти сумму корней уравнения , если . Решение. Так как ,
то исходное уравнение равносильно уравнению
а) ; , т.е.
,
63
При получаем решение из заданного интерва-ла . При остальных значениях соответствующие значения не принадлежат промежутку .
б) ; ; ,
В интервале лежит только одно решение заданного уравнения. .
Ответ : .
Пример 10. Сколько корней имеет уравнение в промежутке ? Решение. Умножим обе части уравнения на : . Отсюда ; , . ; . При других значениях соответствующие значения не принадле- жат заданному отрезку.
Ответ: 2. Пример 11. Сколько корней имеет уравнение в промежутке ? Решение. Так как , то данное уравнение можно записать в виде . (1)
64
Решим уравнение . Обозначив , получим . Корни этого уравне-ния: . Вернемся к переменной . а) . Это уравнение решений не имеет. б) . . Рассмотрим эти две серии значений отдельно. 1) (3) . Так как и , то – решение системы (2). . Это значение не является ре- шением системы (2), так как .
65
При остальных значениях соответствующие значения из (3) не принадлежат заданному интервалу. 2) . (4) . Так как и , то – решение системы (2). . Это значение не является решением системы (2), так как . При остальных значениях соответствующие значения из (4) не принадлежат заданному интервалу. Итак, исходное уравнение в интервале имеет два решения: .
Ответ: . Пример 12. Решить неравенство
Решение. Перепишем исходное неравенство в следующем виде: . (5) Так как при всех , то неравенство (5) равно-сильно неравенству , т.е.
. Прямая пересекает числовую окружность в точках
66
и . Неравенству соответствуют точки открытой дуги . Дуга – это дуга с началом в точке и кон-цом в точке при движении по окружности против часовой стрелки.
Точка соответствует числу , а точка – числу . Итак, решения неравенства , принадлежащие
промежутку длиной , таковы: .
Вследствие периодичности косинуса остальные решения получаются прибавлением к найденным чисел , где .
Приходим к ответу: , .
Ответ: , .
67
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Упростить выражение:
а) ; (Ответ: 2)
б) ; (Ответ: 0,75)
в) ; (Ответ: 1)
г) . (Ответ: 1)
2. Вычислить:
а) ; (Ответ: 3)
б) ; (Ответ: 1)
в) ; (Ответ: – 2)
г) ; (Ответ: 4)
д) ; (Ответ: 4,5)
е); (Ответ: – 0,2)
ж) . (Ответ: 0,48)
68
3. Найти значение выражения:
а) , если ; (Ответ: 7)
б) , если ; (Ответ: )
в) , если и .
(Ответ: )
4. Сколько корней имеет уравнение
при ?
(Ответ: 3)
5. Сколько корней имеет уравнение
при ? (Ответ: 1) 6. Найти в градусах корень уравнения
, если . (Ответ: 180) 7. Найти в градусах наименьший положительный корень урав- нения . (Ответ: 30) 8. Найти в градусах корень уравнения , если
. (Ответ: – 90)
9. Найти в градусах сумму корней уравнения , если . (Ответ: – 630)
10. Найти в градусах наименьший положительный корень
уравнения . (Ответ: 7,5)
11. Найти в градусах сумму корней уравнения
, если . (Ответ: 540)
69
12. Решить уравнение: .
(Ответ: )
13. Найти в градусах сумму корней уравнения
, принадлежащих промежутку
. (Ответ: 900)
14. Найти в градусах сумму корней уравнения
, принадлежащих промежутку
. (Ответ: 420)
15. Найти в градусах сумму корней уравнения
, если .