Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007
.pdfЧисло контурных урàâнений при этом уменьшàåòñÿ äî |
|
nê = nâ − nó + 1 − nã . |
(2.16) |
Íàпряжения от зàäàþùèõ òîêîâ этих источникоâ учитыâàþòñÿ â ëåâîé ÷àсти системы (2.11) нà âçàимных сопротиâлениях, которые эти токи обтекàþò. Íàпример, äля схемы, изобрàженной нà ðèñ. 2.6, à, ñîñòàâляется только оäíî óðàâнение äля II контурà:
R22Iê2 − Iã1R3 = (Rã2 + R2 + R3)Iê2 − R3 Iã1 = Uã2 .
Сформулироâàííûå âûøå ïðàâèëà ñîñòàâления урàâнений по метоäу контурных токоâ ñïðàâåäëèâû è â ñëó÷àå çàâисимых источникоâ íàпряжения ИНУН и ИНУТ.
Пример. Íàéäåì òîêè â öåïè ñîäåðæàùåé ÈÍÓÒ ñ çàäàþùèì íàп- ряжением Uã2 = HRI1 (ðèñ. 2.7) ïî ìåòîäу контурных токоâ.
Учитыâàÿ, ÷òî öåïü ñîäержит âåòâü ñ èäåàльным незàâисимым источником токà J ñîãëàñíî (2.15) ñîñòàâèì âñåãî îäíî óðàâнение äля контурноãî òîêà Iê. Ïðè ýòîì çàäàющий ток источникà òîêà J çàìûêàåì ïî âåòâè c R1 è Uã1, â результàте получим
Iê (R1 + R2 + R3) − JR1 =
= Uã1 + Uã2 = Uã1 + HRI1, или с учетом тоãî, ÷òî I1 = Iê J, окончàтельно получим
Iê (R1 + R2 + R3 − HR) = Uã1 − (HR − R1) .
Îòñþäà ñëåäóåò |
|
|
|
|
|
|
Iê = I2 |
= |
Uã1 |
− (HR − R1) |
. |
||
(R1 |
+ |
R2 + R3 − HR) |
||||
|
|
|
Çàпишем урàâнение контурных токоâ â ìàтричной форме. Зà- êîí Îìà â ìàтричной форме имеет âèä
|
|
|
|
|
Iâ = Gâ ( Uãâ + Uâ ), |
(2.17) |
èëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RâIâ = Uãâ + Uâ |
(2.18) |
ãäå G |
â |
= R |
1, G , R |
â |
êâàäðàòíàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïðîâî- |
|
|
â |
â |
|
|
äимостей и сопротиâлений âåòâåé.
Iâ, Uãâ, Uâ ìàтрицы-столбцы токоâ, çàäàþùèõ íàпряжений источникоâ è íàпряжений âåòâей. Умножиâ ñëåâà îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (2.17) íà контурную мàтрицу  è ó÷òÿ, ÷òî ñîãëàñíî ÇÍÊ
(1.20) ÂUâ = 0, получим |
|
BRâIâ = BUãâ . |
(2.19) |
Òîêè âåòâåé ñâÿçàны с контурными токàми соотношением:
Iâ = BòIê |
(2.20) |
51
ãäå Iê ìàòðèöà-столбец контурных токоâ.
Ïîäñòàâëÿÿ (2.19) â (2.18), получàåì: |
|
BRâBòIê = BUãâ . |
(2.21) |
Если учесть, что |
|
BRâBò = Rê, BUãâ = Uê , |
(2.22) |
ãäå Rê êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà контурных сопротиâлений; Uê ìàò- ðèöà-столбец контурных зàäàþùèõ íàпряжений, то â ñîîòâåòñòâии с (2.20) получим мàтричное урàâнение контурных токоâ
RêIê = Uê . |
(2.23) |
Пример. Ðàссмотрим схему, изобрàженную нà ðèñ. 2.8, à. Â ñîîòâåòñòâèè ñ íàïðàâлением токоâ строим нàïðàâленный ãðàô öåïè (ðèñ. 2.8, á) è äåðåâî ãðàôà (ðèñ. 2.8, â). Ïîäñîåäèíÿÿ ê äåðåâó õîðäû (íà ðèñ. 2.8, ã обознàчены пунктиром), получàåì òðè íåçàâисимых контурà. Âûáðàâ íàïðàâление обхоäà контуроâ I, II è III, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâилом, изложенным â § 1,3, строим контурную мàтрицу
 = |
|
|
|
1 |
−1 |
0 |
0 |
−1 |
0 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
1 |
−1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
−1 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
Ìàòðèöà сопротиâлений âåòâåé Râ áóäет иметь âèä
|
R1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
R2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
Râ = |
0 |
0 |
R3 |
0 |
0 |
0 |
|
|
. |
0 |
0 |
0 |
R 4 |
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
R5 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
R6 |
|
|
|
Íàéäåì ìàтрицу контурных сопротиâлений:
(R1 + R2 + R5) − R2 − R5
Rê = BRâBò = −R2(R2 + R3 + R4) − R4 .
−R5 − R4 (R4 + R5 + R6)
Ìàтрицу контурных зàäàþùèõ íàпряжений нàéäåì ñîãëàñíî (2.22)
Uê = BUãâ = |
|
1 −1 |
0 |
0 −1 |
0 |
|
× |
|
Uã1 |
|
= |
|
Uã1 + Uã5 |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
1 |
−1 1 |
0 0 |
|
|
−Uã3 |
|
|
Uã3 |
|
|
|
||||||
|
|
0 |
0 0 |
−1 |
1 |
−1 |
|
|
|
−Uã5 |
|
|
|
−Uã5 |
|
|
|
|
Ïîäñòàâèâ Uê è Rê â óðàâнение (2.23), получим урàâнение контурных токоâ â ìàтричной форме. После нàõîæäåíèÿ Iê òîêè âåòâåé îïðåäåëèì ñîãëàñíî (2.20)
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
Iê1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−1 |
1 |
0 |
|
|
Iê1 |
|
Iê2 − Iê1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ò |
Iê |
= |
0 |
−1 |
0 |
|
× |
= |
−Iê2 |
|
|
. |
||
|
Iê2 |
|
|
|||||||||||
Iâ = B |
0 |
1 |
−1 |
|
Iê2 |
− Iê3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Iê3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−1 |
0 |
1 |
|
|
|
Iê3 |
− Iê1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
−1 |
|
|
|
|
−Iê3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
|
|
|
|
|
R1 |
|
Uã |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I1 |
|
R2 |
I2 |
0 |
I5 |
R5 |
Uã5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R3 |
|
Uã3 |
|
R4 |
|
|
|
R6 |
|
|
|
|
I3 |
|
|
I4 |
|
|
I6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
I |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
1 |
0 |
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
5 |
2 |
|
5 |
|
0 |
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
III |
|
3 |
4 |
|
6 |
|
|
4 |
|
3 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
á) |
|
|
|
|
â) |
|
|
|
ã) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 2.8 |
|
|
|
|
|
Для линейных электрических цепей âàæíóþ ðîëü èãðàåò принцип âçàимности (теоремà îáðàтимости). Îí ãëàñèò: если источник нàпряжения, помещенный â êàêóþ-ëèáî âåòâü l ïàññèâ- ной линейной электрической цепи, âûçûâàåò â äðóãîé âåòâè k òîê îïðåäеленноãî çíàчения, то этот же источник, áóäучи помещенный â âåòâü k, âûçûâàåò â âåòâè l òîê ñ òåì æå çíàчением. Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãо принципà ñëåäует непосреäñòâåííî èç óðàâнений (2.14) и (2.15) с учетом тоãî, ÷òî lk = kl.
2.5. Метод узловых потенциалов
Ìåòîä óçëîâых потенциàëîâ (óçëîâûõ íàпряжений) яâляется нàиболее общим и широко применяется äëÿ ðàñ÷åòà электрических цепей, â ÷àстности, â ðàзличных проãðàììàõ àâòîìàтизироâàííîãо проектироâàния электронных схем.
Ìåòîä óçëîâых потенциàëîâ áàзируется нà ÇÒÊ è çàêîíå Îìà. Îí ïîçâоляет снизить число решàåìûõ óðàâнений äî âеличины, опреäеляемой рàâåíñòâîì (1.14).  îñíîâå ýòîãî ìåòîäà лежит рàñ÷åò íàпряжений â (ny 1)-м узле цепи относительно бàзисноãî óçëà. После этоãî íà îñíîâàíèè çàêîíà Îìà íàõîäÿòñÿ òîêè èëè íàпряжения â ñîîòâåòñòâующих âåòâÿõ. Ðàссмотрим сущность метоäà óçëîâых потенциàëîâ íà примере резистиâной цепи, изобрàженной нà ðèñ. 2.9, à. Примем потенциàë V3 = 0 (áàзисный узел) и с помощью (1.31) преобрàзуем источники нàпряжения â ýêâèâàлентные источники токà
53
|
|
I4 |
R4 |
|
|
|
|
|
I4 |
G4 |
|
|
|
|
|
Uã |
|
|
|
|
|
|
|
Iã2 |
|
|
|
|
|
+ |
R2 |
|
I2 |
|
|
I2 |
|
|
I2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
G2 |
|
|
||||
+ |
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
I5 |
|
|
|
|
|
|
I5 |
|
|
|
|||
|
Uã1 |
|
|
|
|
Uã3 |
|
U1 |
|
|
U2 |
||
|
|
R5 |
|
|
|
G5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+ |
Iã1 |
Iã3 |
|
|||||
|
R1 |
|
|
|
I5 |
|
R3 |
G1 |
|
|
G3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
I5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
I3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 2.9 |
|
|
|
|
|
(ðèñ. 2.9, á); ãäå Iã1 = Uã1G1; Iã2 = Uã2G2; Iã3 = Uã3G3; |
G1 = |
= 1/R1; G2 = 1/R2; G3 = 1/R3; G4 = 1/R4; G5 = 1/R5. |
|
Ñîñòàâèì óðàâнения äëÿ óçëîâ 1 è 2 ïî ÇÒÊ: |
|
−I1 + I2 − I4 + I5 = 0; I4 + I3 − I2 = 0. |
(2.24) |
Êàæäûé èç ýòèõ òîêîâ можно âûðàзить через узлоâые потенциà- ëû è òîêè Iã1, Iã2, Iã3:
I1 = Iã1 - V1G1; I2 = Iã2 - (V2 - V1 )G2;
I3 = Iã3 + V2 G3; I4 = (V2 - V1 )G4; I1 = V1 × G5.
Ïîäñòàâèâ ýòè |
çíàчения â óðàâнение |
(2.24), получим |
после |
||||||||||||||
ãруппироâки членоâ ïðè V1, V2 и переносе Iã1, Iã2, Iã3 â ïðàâóþ |
|||||||||||||||||
÷àñòü: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(G |
|
+ G |
|
+ G |
|
+ G |
)V - (G |
|
+ G |
|
)V = I |
|
- I |
|
,ü |
(2.25) |
|
|
1 |
|
2 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
|
4 |
|
2 |
ã1 |
|
ã2 |
ý |
|
-(G2 + G4)V1 + (G2 + G3 + G4)V2 = Iã2 - Iã3. |
|
þ |
|
||||||||||||||
Ââåäåì ñëåäующие обознàчения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
G11 = G1 + G2 + G4 + G5; G22 = G2 + G3 + G4; |
|
|
|
||||||||||||||
G12 = G21 = G2 + G4; Ió1 = Iã1 - Iã2; Ió2 = Iã2 - Iã3. |
|
||||||||||||||||
Òîãäà системà óðàâнений (2.25) примет âèä |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
G11V1 - G12V2 = Ió1, |
|
ü |
|
|
|
|
(2.26) |
|||||
|
|
|
|
|
-G V + G V = I |
ó2 |
.ý |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
21 |
1 22 |
2 |
|
þ |
|
|
|
|
|
Ïðîâîäимости G11 è G22 ïðåäñòàâляют собой àрифметическую сумму проâîäимостей âñåõ âåòâåé, ïîäñîåäиненных соотâåòñòâåííî ê óçëàì 1 è 2; îíè íàçûâàþòñÿ собстâенными проâîäимостями óçëîâ 1 è 2. Ïðîâîäимости G12 = G21 ðàâíû àрифметической сумме проâîäимостей âñåõ âåòâåé, âключенных межäó óçëàìè 1 è 2, è íà-
54
çûâàþòñÿ âçàимными проâîäимостями óçëîâ 1 è 2. Àëãåáðàиче- скую сумму зàäàþùèõ òîêîâ Ió1 è Ió2 источникоâ òîêà ïîäключенных соотâåòñòâåííî ê óçëàì 1 è 2 íàçûâàþò çàäàющими узлоâûìè òîêàìè óçëîâ 1 è 2. Çàäàющие токи источникоâ â àëãåáðàической сумме берутся со знàком «+», если положительное нàïðàâление зà- äàþùåãî òîêà источникà ориентироâàíî ê ñîîòâåòñòâующему узлу,
è « », åñëè îò óçëà. Íàпример, äëÿ óçëîâîãî òîêà Ió1 ñî çíàком «+» берется ток Iã1, òàê êàк ориентироâàí ïî íàïðàâлению к узлу
1, è çíàк « » берется äëÿ Iã2, òàê êàк он ориентироâàí îò óçëà 1. Ðåøèâ систему (2.26) относительно V1 è V2 îïðåäåëèì óçëîâûå
потенциàлы цепи. Искомые токи нàõîäèì ïî çàêîíó Îìà. Полученный результàт можно обобщить нà произâольную рези-
ñòèâную схему с ï óçëàми. Если принять ï-é óçåë çà áàзисный, то системà óðàâнений по метоäó óçëîâых потенциàëîâ приобретàåò âèä
G11V1 - G12V2 - K - G1(n−1)V(n−1) = Ió1; |
|
ü |
|
|||
-G21V1 + G22V2 - K - G2(n−1)V(n−1) = Ió2; |
|
ï |
|
|||
|
ï |
(2.27) |
||||
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
ý |
||||
|
ï |
|
||||
-G |
− V - G |
− V - K + G |
− − V − = I |
− |
ï |
|
|
(n 1)1 1 |
(n 1)2 2 |
(n 1)(n 1) (n 1) |
ó(n 1), |
þ |
|
ãäå Ió1, Ió2, ... , Ió(n 1), çàäàþùèå óçëîâûå òîêè â óçëàõ 1, 2,..., (n 1).
Решение системы (2.27) можно получить с помощью опреäелителей
V1 = 1 G; V2 = 2 |
G; K; V(n−1) = (n−1) |
G , |
|||
ãäå îïðåäелитель системы (2.27) |
|
|
|||
|
G11 - G12 - K - G1(n−1) |
|
|
||
|
|
|
|||
DG = |
-G21 + G22 |
- K - G2(n−1) |
. |
(2.28) |
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
|||||
|
|
|
|||
|
-G(n−1)1 - G(n−1)2 - K + G(n−1)(n−1) |
|
|
Îïðåäелители D1, D2, ... , D(n 1), íàõîäятся путем зàìåíû ñîîò- âåòñòâóþùåãо столбцà â (2.28) çàäàющими узлоâûìè òîêàìè Ió1,
Ió2, ... , Ió(n 1). Ðàçëàãàÿ îïðåäелители D1, D2, ... , D(n 1) по элементàì 1, 2, ... , (n l)-ão столбцà, получàåì ïî àíàëîãèè ñ (2.14)
óðàâнения узлоâûõ íàпряжений:
|
|
1 |
n−1 |
|
|
|
1 |
n−1 |
|
V1 |
= |
|
å IólDl1; V2 = |
|
å IólDl2; K |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
DG l=1 |
|
1 |
n−1 |
DG l=1 |
(2.29) |
||
|
|
K Vn−1 |
= |
|
å IólDl(n−1). |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
DG l=1 |
|
|
|
Èç óðàâнений (2.29) тàê æå êàê èç óðàâнений (2.14), слеäóåò, ÷òî óçëîâые потенциàëû îïðåäеляются àëãåáðàической суммой
55
|
R1 |
1 |
R3 |
i3 |
|
÷àстичных узлоâых потенциàëîâ, |
||
|
I1 |
I |
|
|
|
обуслоâленных äåéñòâèåì êàæäîãî |
||
|
|
|
|
çàäàþùåãî óçëîâîãî òîêà â îòäåëü- |
||||
+ |
|
2 |
|
|
|
|||
U1 |
|
|
|
|
ности, т. е. кàê è â ìåòîäе контур- |
|||
|
R2 |
J3 |
|
R4 |
||||
|
Uã1 |
|
íûõ òîêîâ óðàâнения |
(2.29) îò- |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ðàæàют принцип |
íàложения, хà- |
|
|
|
|
|
|
|
ðàктерный äля линейных электри- |
||
|
|
2 |
|
|
|
ческих цепей. |
|
|
|
|
Ðèñ. 2.10 |
|
|
|
Ðàссмотренный |
ìåòîä |
ñîñòàâëå- |
|
|
|
|
|
íèÿ óçëîâûõ íàпряжений спрàâåäëèâ |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
è ïðè íàличии â öåïè çàâисимых источникоâ òèïà ÈÒÓÒ è ÈÒÓÍ. Â |
||||||||
цепи, изобрàженной нà ðèñ. 2.10, ñîäержится кроме незàâисимоãî èñ- |
||||||||
точникà íàпряжения Uã1 çàâисимый ИТУН с зàäàющим током J3 = |
=HGU1. Îïðåäåëèì òîêè â öåïè ìåòîäîì óçëîâых потенциàëîâ.
Âñîîòâåòñòâèè ñ âышеизложенным метоäом примем зà áàзисный узел V2 = 0. Òîãäà äëÿ óçëà 1 получим
V1(G1 + G2 + G3,4) = Uã1G1 − J3 = Uã1G1 − HGV1.
Îòñþäà íàõîäèì
V1 = Uã1G1 (G1 + G2 + G3,4 + HG); |
I1 = (Uã1 − V1)G1; |
|||||||
I |
2 |
= VG ; |
I |
3 |
= VG |
3,4 |
, |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
ãäå G1 = 1/R1; G2 = 1/R2; G3,4 = 1/(R3 + R4).
Çàпишем урàâнение по метолу узлоâых потенциàëîâ â ìàòðè÷-
ной форме. Умножим элементы ðåäуцироâàííîé |
структурной |
||
ìàтрицы A0 íà потенциàëû V ñîîòâåòñòâующих узлоâ, â результà- |
|||
те получим мàтрицу нàпряжения âåòâåé: |
|
||
U |
â |
= ÀòV . |
(2.30) |
|
0 ó |
|
Умножим леâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü ìàтричноãî óðàâнения (2.17) нà ìàтрицу A0 и учитыâàÿ ÇÒÊ â ìàтричной форме (1.18) и рà- âåíñòâо (2.30), получим
À G |
ÀòV = −À G |
U |
ãâ |
. |
(2.30a) |
||||
0 â |
0 ó |
0 â |
|
|
|
||||
Ó÷òÿ, ÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À G |
Àò |
= G |
ó |
, |
|
|
|
(2.31) |
|
|
0 â |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
−À0GâUãâ = Ió , |
|
|
(2.32) |
получим мàтричную форму урàâнений рàâíîâåñèÿ óçëîâых потенциàëîâ:
GóVó = Ió , |
(2.33) |
ãäå Gy êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà óçëîâûõ ïðîâîäимостей, Ió ìàò- ðèöà-столбец узлоâûõ òîêîâ.
56
Пример. Ñîñòàâèì óðàâнение узлоâых потенциàëîâ â ìàтричной форме äля схемы, изобрàженной нà ðèñ. 2.8, à. Примем зà áàçèñ íóëåâîé óçåë V0 = 0. Структурнàÿ ìàòðèöà À0 â ýòîé öåïè â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâилом, изложенным â § 1.3, имеет âèä
|
|
|
|
|
|
|
|
À0 = |
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 0 0 0 −1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
−1 |
−1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ìàтрицу узлоâûõ ïðîâîäимостей нàéäåì ñîãëàñíî (2.31) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
G2 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ò |
= |
|
|
|
|
|
× |
|
0 |
|
0 |
G3 |
0 |
0 |
0 |
|
|
× |
||||||||||||||
|
|
|
−1 0 0 0 −1 −1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Gó = À0GâÀ0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
G4 |
0 |
0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
−1 |
−1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
G5 |
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
G6 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
(G1 |
+ G2 + G3) |
− G1 − G3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
× |
|
|
|
1 0 −1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−G (G + G |
5 |
+ G |
) − G |
6 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
−1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−G3 − G6 (G3 + G4 + G6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 −1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå
G1 = 1R1; G2 = 1R2; G3 = 1R3; G4 = 1R4; G5 = 1R5; G6 = 1R6 .
Ìàòðèöà óçëîâûõ òîêîâ îïðåäеляется из (2.32):
−Uã1G1 + Uã3G3
Ió = −À0GâUãâ = Uã1G1 − Uã5G5 .
−Uã3G3
Ïîäñòàâèâ Gy è Iy â (2.33), получим урàâнение узлоâых потенциàëîâ â ìàтричной форме. После опреäеления мàтрицы узлоâых потенциàëîâ Vy íàéäåì ìàтрицу нàпряжений âåòâåé ñîãëàñíî (2.30) è òîêè âåòâåé ïî çàêîíó Îìà (2.17).
Для решения мàтричных урàâнений â (2.23) или (2.33) обычно используют ЭВМ (см. § 2.7).
2.6. Метод эквивалентного генератора
Ìåòîä ýêâèâàлентноãî ãåíåðàòîðà áàзируется нà теореме об àê- òèâíîì äâухполюснике (см. § 1.8) и позâоляет упростить решение мноãèõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïåðåäà÷åé ñèãíàëîâ и электрической энерãии от источникà к приемнику. При этом обычно источник рàññìàòðèâàåòñÿ êàê àêòèâíûé äâухполюсник с изâестными зàäàþ- ùèìè íàпряжениями Uã или током Iã è âнутренними сопротиâлением Rã èëè ïðîâîäимостью Gã, à приемник кàê ïàññèâíûé
57
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ï |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1′ |
a) |
|
|
|
2′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
Rí |
|
Jã |
Gã |
|
|
|
Gí |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Uã |
2′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1′ |
|
2′ |
|
|||||||||
|
|
1′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
â) |
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 2.11
äâухполюсник с âнутренним сопротиâлением нàãрузки Rí èëè ïðî- âîäимостью Gí (ðèñ. 2.11).
Òàêèì îáðàзом, системà ïåðåäàчи, изобрàæåííàÿ íà ðèñ. 2.11, à может быть преäñòàâëåíà â âèäå äâóõ ýêâèâàлентных схем: с источником нàпряжения (рис. 2.11, á) и с источником токà (ðèñ. 2.11, â).
 ñîîòâåòñòâии с теоремàìè Òåâåíèíà и Нортонà (ñì. § 1.8) çà- äàþùåå íàпряжение ãåíåðàòîðà îïðåäеляется кàê íàпряжение холостоãî õîäà íà ðàзомкнутых зàæèìàõ àêòèâíîãî äâухполюсникà
Uã = Uxx, à çàäàþùèé òîê êàк ток короткоãî çàìûêàíèÿ Jã = = Iêç. Внутреннее сопротиâление àêòèâíîãî äâухполюсникà Rã èëè
åãî ïðîâîäимость Gã íàõîäÿòñÿ êàê ýêâèâàлентные âõîäные сопротиâления или проâîäимость относительно рàзомкнутых зàæèìîâ ïàññèâíîãî äâухполюсникà, который получàется после исключения из схемы âсех источникоâ íàпряжения и токà. Ïðè ýòîì èäåàльные источники нàпряжения зàêîðà÷èâàþòñÿ, à òîêà ðàçìûêàþòñÿ; ðå- àльные же источники зàменяются сâîèìè âнутренними сопротиâлениями или проâîäимостями.
Ïàðàметры Uxx, Iêç, Rã, Gã можно нàéòè êàк экспериментàльным, тàê è ðàсчетным путем. После нàõîæäåíèÿ ïàðàметроâ ýêâè-
âàлентноãî ãåíåðàòîðà íàпряжения или токà, òîê I è íàпряжение U â íàãрузке можно нàéòè äля схемы, изобрàженной нà ðèñ. 2.9, á,
по формуле |
|
Uã |
|
|
Uõõ |
|
|
|
|
|||
I = |
|
= |
|
|
|
|
(2.34) |
|||||
|
Rã + Rí |
|
Rã + Rí |
|
|
|||||||
è äля схемы (рис. 2.9, â) по формуле |
|
|
|
|
|
|||||||
I = Jã |
|
Rã |
|
= |
Iêç |
Gí |
. |
(2.35) |
||||
Rã + Rí |
Gã |
+ Gí |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
58
R1 |
|
1 |
|
|
|
R1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I2x |
|
|
|
+ |
R2 |
|
|
+ |
|
|
R2 |
|
|
|
Uã1 |
+ |
|
R3 |
Uã1 |
|
+ |
|
I |
Uõõ |
|
|
Uã |
2 1′ |
I3 |
|
|
|
|
Uã |
2 1′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R1 |
à) |
|
|
Iêç′ |
|
R1 |
á) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
I |
′′ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
êç |
|
|
|
|
R2 |
|
R |
|
|
R2 |
|
Iêç |
||
|
|
U |
ã1 |
|
+ |
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
1′ |
|
|
|
|
|
Uã |
2 1′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
â) |
|
|
|
|
|
ã) |
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 2.12 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Íàéòè òîê â сопротиâлении R3 (ðèñ. 2.12, à) ìåòîäîì ýêâèâà- |
||||||||||
лентноãо источникà íàпряжения. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ðàзомкнем âåòâü ñ R3 è îïðåäåëèì Uxx (ðèñ. 2.12, á) ïî ÇÍÊ äëÿ I контурà: |
Uõõ + R2I2x − Uã2 = 0 .
Îòñþäà
Uõõ = Uã2 − R2I2x,
ãäå
I2x = (Uã2 − Uã1)(R1 + R2) .
Ýêâèâàлентное сопротиâление Rý = Rã ïàññèâíîãî äâухполюсникà îïðåäе- ляется из схемы нà ðèñ. 2.12, â;
Rã = Rý = R1R2 (R1 + R2) .
Ïîäñòàâèâ Uxx è Rã â óðàâнение (2.34), нàéäåì:
I3 = Uõõ (R3 + R ã) .
Решим эту же зàäà÷ó ìåòîäîì ýêâèâàлентноãо источникà òîêà. Çàмкнем âåòâü ñ R3 (ðèñ. 2.12, ã) è íàéäåì òîê I3êç ìåòîäîì íàложения:
′ |
′′ |
R1 + Uã2 |
R2 . |
I3 êç = I3 êç + I3 êç = Uã1 |
Ýêâèâàлентную проâîäимость опреäåëèì ñîãëàсно схеме нà ðèñ. 2.12, â:
Gý = Gã = 1R1 + 1R2 = (R1 + R2)R1R2 = 1Rã .
Ïîäñòàâèâ çíàчения Gã è Iêç â (2.35), получим искомое знàчение токà I3.
Î÷åâèäíî, ìåòîäû ýêâèâàлентноãо источникà êàê íàпряжения тàê è òîêà äàþò îäин и тот же результàт. Применение тоãî èëè
59
η |
P |
P |
|
1 |
Rë /2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
1,0 |
|
èñò |
|
|
|
|
||
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
Rã |
U |
|
U |
|
Rí |
|
0,5 |
|
+ |
|
í |
||||
|
í |
1 |
|
|
||||
|
|
I |
Uã |
1′ |
Rë /2 |
2′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
I = Iêç /2 Im = Iêç = Uã /Rã |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 2.13 |
|
Ðèñ. 2.14 |
|
èíîãî ìåòîäà îïðåäеляется уäîáñòâом и простотой нàõîæäåíèÿ Uxx
èëè Iêç.
Îäíîé èç âàжнейших прàктических зàäà÷ ÿâляется оптимàëüíàÿ ïåðåäà÷à электрической энерãèè îò àêòèâíîãî ê ïàññèâíîìó äâухполюснику. Оптимум обычно понимàåòñÿ â смысле получения мàê- ñèìàльной мощности â íàãрузке Ðí. Мощность Ðí îïðåäåëèì êàê
2 |
|
Uã2 |
|
|
|
Ðí = I |
Rí = |
|
Rí , |
(2.36) |
|
(Rã + Rí)2 |
|||||
|
|
|
|
à íàпряжение нà íàãрузке Uí = Uã IRã. Из формулы (2.36) нетруä- íî âèäåòü, ÷òî ìàксимум мощности буäåò äîñòèãàòüñÿ ïðè Rí = Rã. Â
ýòîì ñëó÷àå òîê â öåïè I0 = Uã/(2Rã), à мощность Pímax = = Uã2/(4Rã).
Коэффициент полезноãî äåéñòâия системы переäà÷è
η = Pí Pèñò = (UãI − I2Rã)(UãI) = 1 − IRã Uã .
Ïðè I = I0, Ðí = Pímax имеем η = 0,5 (50%). Íà ðèñ. 2.13 ïðåä- ñòàâëåíû çàâисимости Ðí, Ðèñò, η îò òîêà I.
Òàêèì îáðàçîì, â точке мàêñèìàльной мощности только 50% энерãии источникà îòäàåòñÿ â íàãрузку.
Если линия переäàчи имеет конечное сопротиâление Rë (ðèñ. 2.14), òî óñëîâèå ìàêñèìàльной переäàчи мощности â íàãрузку принимàåò âèä
R |
í |
= R |
ã |
+ R |
; |
P |
= U2 |
[4 ( R |
ë |
+ R |
)]. |
(2.37) |
|
|
ë |
|
ímax |
ã |
|
ã |
|
|
Èç (2.37) âèäно, что сопротиâление линии сущестâåííî ñíèæàет мощность, отäàâàåìóþ â íàãрузку, зà счет потерь â линии.
2.7. Примеры применения резистивных цепей
Аттенюатор. В технике сâязи широкое применение нàõîäÿò âы- сокоточные äелители нàпряжения (àттенюàòîðû), ðåàлизуемые с помощью Ò-îáðàзных резистиâных перекрытых схем (рис. 2.15).
Õàðàктерной особенностью этой схемы яâляется то, что если âûáðàть сопротиâление R1 è R2 èç óñëîâèÿ
60