Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007
.pdf|F (jω)| |
|
|
ϕ(ω) |
|
1/α |
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
ω |
0 |
ω |
à) |
|
|||
|
|
|
á) |
|
|
|
Ðèñ. 9.9 |
|
|
f(t) |
|
1 |
e-αt |
|
|
0 |
t |
|
|
|
Ðèñ. 9.10 |
F ( jw) = |
Am |
{F é j ( w - w |
0 |
)ù |
+ F é j ( w + w |
0 |
)ù |
}. |
|
||||||||
|
2 |
ë |
û |
ë |
û |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Íà ðèñ. 9.8 ïîêàçàí âèä спектрà ðàäиоимпульсà. Àíàëîãичным обрàзом можно нàйти спектр сиãíàëîâ
сложной формы.
(9.47)
и более
Пример. Íàйти спектр экспоненциàëüíîãо импульсà |
|
|
|
|||||||
ìe−αt |
ïðè |
t 0, |
|
|
|
|
||||
f (t ) = í |
ïðè |
t < 0. |
|
|
|
|
||||
î 0 |
|
|
|
|
||||||
 ñîîòâåòñòâии с прямым преобрàçîâàнием (9.6) получàåì |
|
|||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
F ( jw ) = ò e−( α+ jω)tdt = |
= |
|
|
|
|
|
e |
− jϕ ( ω ), |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
a + jw |
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
2 |
+ w |
2 |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ãäå F ( jw ) = 1a2 + w2 àмплитуäíûé (ðèñ. 9.9, à) è j ( w) = arctg ( wa ) ôàçîâûé (ðèñ. 9.9, á) спектры сиãíàëà.
Пример 2. Îïðåäелить спектр зàòóõàþùåãо колебàíèÿ (ðèñ. 9.10) f (t ) = 1(t ) e−αt sin w 1t .
Ñîãëàñíî (9.6) íàõîäèì
∞ |
|
|
|
|
w 1 |
|
|
F ( jw ) = ò e−( α+ jω)t sin w 1t dt = |
|
|
|
|
|
. |
|
a |
2 |
- w |
2 |
2 |
+ j2aw |
||
0 |
|
|
+ w 1 |
|
Îòñþäà íàõîäим спектры:
221
|F (jω)| |
|
|
ϕ(ω) |
|
ω1 |
|
|
π/2 |
|
α2 + ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
ω |
0 |
ω |
à) |
|
|||
|
|
|
á) |
|
|
|
Ðèñ. 9.11 |
|
|
àмплитуäíûé (ðèñ. 9.11, à)
F ( jω ) |
|
= |
|
ω 1 |
|
|
|||
|
|
|
||
|
(α2 − ω2 + ω21 )2 + ( 2αω )2 |
|||
|
|
|
|
è ôàçîâûé (ðèñ. 9.11, á)
ϕ ( ω) = arctg |
2αω |
|
|
. |
|
α2 − ω2 + ω21 |
 òàблице 9.1 приâåäены спектры некоторых нàиболее рàспрострàненных сиãíàëîâ.
9.5. Частотный анализ линейных электрических цепей при непериодических воздействиях
Ïðåäñòàâление непериоäических сиãíàëîâ â форме интеãðàëà Фурье (9.6) и (9.7) позâоляет применить к бесконечно мàëûì ãàр- моникàì, ñîñòàâляющим еãо спектр, чàстотные метоäû àíàëèçà ðàссмотрены â ãë. 3 è 4.  ÷àстности, если цепь нàõîäèòñÿ ïðè íóëåâûõ íà÷àльных услоâèÿõ (ò. å. äî íà÷àëà âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ â ðåàêòèâных элементàõ öåïè íå áûëà íàкопленà ýíåðãия электриче- скоãî è ìàãнитноãо полей), то по àíàëîãии с (3.46), (3.48) и (3.49) можно зàïèñàòü çàêîíû Îìà è Êèðõãîôà äля спектроâ:
I ( jω ) = U ( jω ) Z( jω) = U ( jω)Y ( jω); |
(9.48) |
m |
|
å Ik ( jω) = 0; |
(9.49) |
k=1 |
|
n |
|
åUk ( jω ) = 0, |
(9.50) |
k=1
ãäå I(jω), U(jω) спектры токоâ è íàпряжений âåòâåé ñîîòâåòñòâåííî; Z1 (jω) è Y(jω) имеют смысл комплексных сопротиâлений и проâîäимостей âåòâåé . Çàêîíû Îìà è Êèðõãîôà äля спектроâ
Ýòî ñëåäóåò èç óðàâнения сâÿçè (9.14): I(jω) = TI/ 2; U(jω) = TU/ 2; îòñþäà: Z(jω) = U(jω)/ I(jω) = U/ I = Z = 1/ Y.
222
Òàáëèöà 9.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Òèïû ñèãíàëà |
|
|
Спектр |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S; θ |
|
|
|
1 |
−αt |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 a |
|
A×Õ |
|
|
|
|
|
|
|
p Ô×Õ |
|
|
|||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
w |
|||||
|
|
|
|
a + jw |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
p |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
a > 0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−α|t| |
|
|
2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a2 + w2 |
|
|
|
|
q 0 |
|
w |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
w |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
tè æ sin wtè |
4 |
ö2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ç |
wtè |
4 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 è |
|
|
ø |
- |
0 |
q |
|
w |
||
-tè 2 0 tè 2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
w |
|||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p a |
|
|
|
|
1 |
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e − α2 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pae−α ω |
|
2 |
|
|
q 0 |
|
w |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
w |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p wè |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π ωè |
ïðè |
w < ωè |
|
|
|
|
|
||||
-2p wè |
2p wè |
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
ïðè |
w |
|
> wè |
|
- wè q |
0 |
wè |
w |
||||
-p wè 0p wè |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
w |
f |
|
e−αt |
|
|
|
|
|
S; θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
jω + α |
|
|
Ô×Õ |
|
A×Õ |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( jw + a )2 |
+ w2 |
|
|
|||||||
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
- w0 |
0 w0 w |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
223
ïîçâоляют рàспрострàíèòü ðàссмотренные рàíåå ÷àстотные метоäû àíàëèçà цепей при ãàрмонических и периоäических несинусоиäàльных âîçäåéñòâèÿõ íà непериоäические сиãíàëû.
 ñëó÷àе, если необхоäèìî íàéòè âûõîäíóþ ðåàêöèþ öåïè â âè- äе четырехполюсникà ïðè âîçäåéñòâèè íà âõîäе непериоäическоãî ñèãíàëà, используют комплексную переäàточную функцию цепи (см. § 4.1). При этом спектр âûõîäíîé ðåàêöèè ñîãëàñíî (4.1) è (4.2)
F2 ( jω) = F1 ( jω) H ( jω). |
(9.51) |
После опреäеления спектрà F2 (jω) âûõîäíàÿ ðåàêöèÿ f2 (t) может быть нàéäåíà с помощью обрàòíîãо преобрàçîâàния Фурье (9.7) или по тàáëèöàì.
Пример. Ðàссчитàть спектрàльную плотность âûõîäíîãî ñèãíàëà â öåïè (ðèñ. 9.12), åñëè íà âõîä äåéñòâóåò åäиничный импульс (рис. 9.7) с àмплиту-
äîé U1 = 4 Â.
Äëÿ çàäàííîãî âõîäíîãî ñèãíàëà (3.15) преобрàçîâàние Фурье äàåò âûðà- жение
t |
|
(1 - e− jω t ), |
U1 ( jw) = òè U1e− jω tdt = |
U1 |
|
0 |
jw |
|
|
|
которое после преобрàçîâàний принимàет более уäобную форму (см. (9.46)):
|
( jw) = 2U1 |
sin wtè e− j |
ω tè |
|
|
sin |
ωtè |
e− j |
ω tè |
|
|
|
|
2 |
|||||||
U |
2 |
= U t |
è |
|
2 |
. |
||||
|
|
|||||||||
1 |
w |
2 |
|
1 |
wtè |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Комплекснàя спектрàëüíàя плотность âûõîäíîãî ñèãíàëà íàõîäится по формуле (9.51)
U2 ( jw) = H ( jw) ×U1 ( jw) ,
ãäå H ( jw) комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция цепи по нàпряжению. Функция H ( jw) íàõîäèòñÿ êàк отношение комплексноãî çíàчения ãàрмониче- скоãî íàпряжения U2 íà âûõîäе цепи к комплексному знàчения ãàрмониче- скоãî íàпряжения U1 òîé æå ÷àстоты, приложенному ко âõîäó öåïè:
H ( jw ) = |
U |
2 |
U |
1 |
= |
|
|
1 + jwR2C |
. |
|
1 |
+ jw ( R1 + R2 )C |
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
При этом спектрàëüíàя плотность âûõîäíîãî ñèãíàëà:
|
|
R |
1 |
i |
U2 ( jw) = |
|
2U1 (1 + jw R2C ) |
wt |
− j |
ω tè |
||||||||||
|
|
|
2 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2è e |
|
||||||||
|
|
|
|
w é1 + jw |
( R + R |
)C ù |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
1 |
2 |
û |
|
|
|
|
||
u1 |
|
|
|
|
R2 |
Îòñþäà íàõîäèì ìîäули: спектрàльной плотно- |
||||||||||||||
|
|
|
|
C |
u2 ñòè âõîäíîãî íàпряжения |
|
= 2U1 sin wtè ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
( w) = |
|
U |
( jw) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
w |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
Ðèñ. 9.12 |
À×Õ öåïè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
224
U |
. |
9 . |
|
|
|
|
|
|
( f ) 10 |
, Â c |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
f, ÌÃö |
|
|
|
H( f ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
_ |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
f, ÌÃö |
U |
|
9 . |
|
|
|
|
|
|
|
( f ) 10 |
|
, Â c |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
f, ÌÃö |
|
|
|
|
|
Ðèñ. 9.13 |
|
|
|
|
H ( ω) = |
|
H ( jω ) |
|
= |
|
1 + ( ω R C )2 |
|
|
; |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
1 + ω2 ( R + R |
)2 |
C2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
спектрàльной плотности âûõîäíîãî íàпряжения
U2 ( ω) = |
|
U2 ( jω) |
|
= |
2U |
|
ωt |
è |
|
1 + ( ω R C )2 |
|
|
. |
|
|
1 |
sin |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 + ω2 ( R1 + R2 )2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
ω |
|
2 |
|
|
C2 |
|
|
Íà рис. 9.13 изобрàжен спектр âõîäíîãî ñèãíàëà, АЧХ цепи и спектр âû- õîäíîãî ñèãíàëà U2 ( f ) .
9.6. Условия безыскаженной передачи сигналов через линейную цепь
×àстотный метоä ÿâляется äîñòàточно эффектиâíûì è íà- ãëÿäíûì ïðè àíàëèçå ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ через линейную систему. Он позâоляет оценить чàстотные искàжения â êàíàëå ñâязи, требоâàíèÿ ê õàðàктеристикàм электрической цепи. Особенно âàæíî îïðåäелить требоâàния к АЧХ и ФЧХ цепи с точки зрения искàжения формы сиãíàëà. Îïðåäåëèì óñëîâия неискàæàå- ìîé ïåðåäà÷è ñèãíàëà через линейную систему. Преäположим,
225
÷òî íà âõîäе линейной цепи, кàк четырехполюсникà äåéñòâóåò ñèãíàë f1(t) îïðåäеленной формы (рис. 9.12). Нà âûõîäå â результàте прохожäåíèÿ ñèãíàëà через четырехполюсник с комплексной переäàточной функцией H(jω) àмплитуäà ñèãíàëà может измениться (нà рис. 9.12 уменьшилàñü), è ñèãíàë âñëåä- ñòâие конечности скорости еãî ðàспрострàнения может зàïàçäû- âàть относительно âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ íà t0. Îäíàêî âàжно, чтобы при этом не изменилàñü ôîðìà ñèãíàëà. Òàêèì îáðàçîì,
óñëîâие безыскàженной переäà÷è можно сформулироâàть с помощью рàâåíñòâà
f2 ( t ) = kf1 (t − t0 ), |
(9.52) |
ãäå k некоторàÿ âещестâåííàя постояннàÿ; t0 âðåìÿ çàäержки (зàïàçäûâàíèÿ) âûõîäíîãî ñèãíàëà относительно âõîäíîãо. Примениâ к (9.52) прямое преобрàçîâàние Фурье и учтя сâîéñòâо линейности и теорему зàïàçäûâàния (см. § 9.2), перепишем услоâèå (9.52) â ÷àстотной облàñòè:
F |
( jω ) = kF |
( jω ) e− jωt0 . |
(9.53) |
2 |
1 |
|
|
Òàê êàк комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция цепи с учетом (4.5) äîëæíà áûòü
H ( jω ) = H ( jω) e jϕ( ω) = F2 ( jω) = ke− jωt0 , F1 ( jω)
òî îòñþäà получàем требоâàние к АЧХ и ФЧХ неискàæàþùåé öåïè
H ( jω) |
|
= k = const; |
(9.54) |
|
|||
ϕ ( ω ) = −ωt0 , |
(9.55) |
ò. å. äëÿ òîãо, чтобы линейнàÿ öåïü íå èñêàæàëà форму сиãíàëà åå À×Õ äîëæíà áûòü ðàâномерной (рис. 9.13, à), à ФЧХ линейной (рис. 9.13, á).
Óñëîâие безыскàженной переäà÷è âî âñåì ÷àстотном äèàïàçîíå
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
можно âыполнить лишь |
äëÿ |
резистиâ- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ных цепей . |
В цепях |
ñ ðåàêòèâíûìè |
|||
|
|
|
f1(t) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
элементàìè |
óñëîâèÿ |
(9.54) |
è (9.55) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
f2 |
(t) можно обеспечить лишь â îãðàниченном |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷àстотном äèàïàçîíå ω0 (íà ðèñ. 9.13 |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ïîêàçàно пунктиром). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
 ýòîé ñâÿçè ïðåäñòàâëÿåò ïðàктичес- |
|||||
|
t0 |
|
|
t |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кий интерес âопрос о âлиянии нà форму |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ðèñ. 9.12 |
|
|
|
ñèãíàëà отклонения |
À×Õ è |
Ô×Õ îò |
Если пренебречь зàâисимостью сопротиâлений резистиâных элементоâ îò ÷àстоты (см. ãë. 1).
226
|H(jω)| |
|
ϕ(ω) |
|
|H(jω)| |
|
|
|
k |
|
0 |
ω0 |
ω |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
0 |
ω0 |
ω |
|
-ω0 |
0 |
ω0 |
ω |
|
|
||||||
|
à) |
|
á) |
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 9.13 |
|
|
Ðèñ. 9.14 |
|
|
èäåàльной. Рàссмотрим â êà÷åñòâе примерà прохожäåíèå ñèãíàëà â форме еäиничной функции, â форме еäиничноãо импульсà и импульсà прямоуãольной формы через цепь с АЧХ, изобрàженной нà ðèñ. 9.14. Ýòà öåïü ñîîòâåòñòâóåò èäåàльному ФНЧ (см. ãë. 17) è çàäàåòñÿ óñëîâèåì
ì |
× e |
− jωt0 |
ïðè |
- w |
|
< w w |
|
ü |
|
ï1 |
|
0 |
0 |
,ï |
(9.56) |
||||
H ( jw) = í |
|
|
|
|
|
ý |
|||
ï |
0 |
|
ïðè |
- w 0 |
w > w 0.ï |
|
|||
î |
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
Фильтр нижних чàстот пропускàåò áåç èñêàжений âñå ÷àстотные состàâляющие от 0 äî w0 è çàäåðæèâàåò ñîñòàâляющие больше w0.
Единичный импульс. Ðàссмотрим âíà÷àëå âõîäíîé ñèãíàë f1(t) â форме еäиничноãо импульсà (ðèñ. 7.2, á). Òàê êàê äëÿ åäèíè÷- íîãо импульсà F1(jw) = 1, то с учетом (9.56) и обрàòíîãо преобрà- çîâàния Фурье (9.7), получим:
1 ω0
= 2p −ωò0
|
|
1 |
|
ω |
|
|
|
|
|
||
f2 (t ) = |
|
ò0 |
e jω(t−t0 )dw = |
|
|
||||||
2p |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
−ω0 |
|
ω0 |
|
|
|
|
coséw(t - t |
|
|
)ùdw + j |
sinéw(t - t |
|
)ùdw. |
|||||
0 |
ò |
0 |
|||||||||
ë |
û |
|
|
ë |
û |
−ω0
Учитыâàÿ, ÷òî âторой интеãðàë ðàâен нулю, окончàтельно после интеãðèðîâàния получàåì:
|
w |
0 |
|
sinéw |
0 |
(t - t |
0 |
)ù |
|
|
f2 (t ) = |
|
× |
ë |
|
û |
. |
(9.57) |
|||
p |
w0 (t - t0 ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Íà рис. 9.15 изобрàæåíà ôîðìà âûõîäíîãî ñèãíàëà f2(t), îïðå- äеляемàя функцией (9.57). Из рисункà âèäíî, ÷òî ôîðìà âûõîä- íîãî ñèãíàëà сущестâенно отличàåòñÿ îò âõîäíîãо импульсà f1(t): îí èñêàæàется по форме и рàñòÿãèâàåòñÿ âî âремени (теоретически нà бесконечность), что отрàæàåò óñòàíîâленное рàнее соотношение межäó äлительностью сиãíàëà и шириной еãо спектрà: ñèãíàë îãðà- ниченный по чàстоте бесконечен âî âремени и нàоборот (см. § 9.4). Зàïàçäûâàíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà t0 îïðåäеляется крутизной ФЧХ: t0 = dj / dw). Ñ óâеличением w0 (ñ ðàсширением полосы пропускàния фильтрà) ширинà ãëàâíîãо лепесткà импульсà
227
f(t) |
|
f2(t) |
f2(t) |
π/ω0 |
1/τ |
f1(t) |
1 |
|
|
|
|
ω0/π |
0,5 |
|
0 |
τ |
t |
0 |
t |
|
|
|
||
|
t0 |
2π/ω0 |
|
t0 |
|
Ðèñ. 9.15 |
|
|
Ðèñ. 9.16 |
ðàâíàÿ 2p / w0 ñóæàåòñÿ, çàäåðæêà t0 уменьшàåòñÿ, àмплитуäà импульсà óâеличиâàåòñÿ. Âàжно отметить, что теоретически со- ãëàñíî (9.57) ñèãíàë f2(t) сущестâóåò è ïðè t < 0, ò. å. äî âîçäåéñòâèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà, что конечно, протиâоречит услоâию физи- ческой реàлизуемости и яâляется слеäñòâèåì èäåàëèçàöèè À×Õ ÔÍ×.
Единичный сигнал. Ðàссмотрим теперь прохожäåíèå ñèãíàëà â форме еäиничной функции (рис. 7.2, à) через ФНЧ с хàðàктеристикой (9.56). Зàпишем урàâнение еäиничной функции 1(t) â èíòå-
ãðàльной форме : |
|
|
|
∞ 1 |
|
|
||
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
1(t ) = |
|
+ |
|
ò |
|
× sin wt dw. |
(9.58) |
|
2 |
p |
w |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Èíòåãðàë â (9.58) можно рàññìàòðèâàòü êàê âещестâенную форму обрàòíîãо преобрàçîâàния Фурье (9.7) äля нечетной функции f(t) = 1(t) 1/2, спектр которой рàâåí 1/w. Òîãäà íà îñíîâàнии (9.58) и с учетом услоâèé (9.52) è (9.56), äëÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà можно зàïèñàòü:
f |
|
( |
|
) = |
1 |
+ |
1 |
ω0 |
1 |
× sin w(t - t |
|
)dw = |
1 |
+ |
1 |
Siéw(t - t |
|
)ù. (9.59) |
2 |
t |
|
|
ò |
|
0 |
|
|
0 |
|||||||||
|
|
2 |
|
p |
w |
2 |
|
p |
ë |
û |
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Èíòåãðàë â (9.59) òàбулироâàн и носит нàçâàíèå èíòåãðàëüíîãî ñè-
íóñà: Si[w(t t0)]. Íà ðèñ. 9.16 ïðèâåäåí ãðàôèê ñèãíàëà íà âû- õîäå èäåàëüíîãî ÔÍ×, îïðåäеляемой функцией (9.59).
Êàê ñëåäóåò èç ïðåäñòàâленноãî ãðàôèêà, чем уже полосà
пропускàния ФНЧ (меньше w0), тем меньше крутизнà фронтà íàðàñòàния импульсà: df2 / dt = w0/p. Òàêèì îáðàçîì, êàê è â
ñëó÷àå åäиничноãо импульсà äля уменьшения искàжений âû- õîäíîãî ñèãíàëà необхоäèìî ðàсширять полосу пропускàния ФНЧ. Выбросы â âûõîäíîì ñèãíàле обуслоâëåíû òåìè æå ïðè- ÷èíàìè, ÷òî è â ñëó÷àе, изобрàженном нà ðèñ. 9.15 (èäåàëèçà- öèÿ À×Õ ÔÍ×).
Óðàâнение (9.58) может быть получено путем использоâàния обобщенноãо преобрà- çîâàния Фурье (9.37) äëÿ åäиничной функции 1(t) ïðè ñ → 0.
228
f1(t) |
|
f2 |
(t) |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
-tè/2 |
0 |
tè/2 |
t |
0 |
t |
|
|||||
|
-1 |
|
|
t0 |
tè |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 9.17 |
|
|
Ðèñ. 9.18 |
Прямоугольный импульс можно рàññìàòðèâàòü êàê ðàзность äâóõ åäиничных функций сäâинутых относительно äðóã äðóãà íà tè / 2 (ðèñ. 9.17). Òîãäà учитыâàя линейность цепи и рàâåíñòâо (9.59) получим урàâнение âûõîäíîãî ñèãíàëà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ:
|
|
1 |
ì |
é |
æ |
|
t |
ö ù |
é |
æ |
|
t |
|
ö ù ü |
|
|
f2 |
(t ) = |
|
íSi êw0 |
ç t - t0 |
+ |
|
è |
÷ ú |
- Si êw0 |
ç t - t0 |
- |
|
è |
÷ ú ý |
. (9.60) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
p î |
ë |
è |
|
2 ø û |
ë |
è |
|
2 ø û þ |
|
Íà рис. 9.18 изобрàæåí âèä âûõîäíîãî ñèãíàëà f2 (t), ò. å., êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, äлительность фронтà íàðàñòàíèÿ è ñïàäà
импульсà îáðàтно пропорционàëüíà полосе пропускàíèÿ öåïè w0. Чем уже полосà, тем более зàтянут фронт импульсà; чем меньше äлительность импульсà, òåì øèðå äîëæíà быть полосà пропускà- ния цепи. Обычно нà ïðàктике полосу пропускàíèÿ âûáèðàþò èç óñëîâèÿ: SA = 2 / tè .
9.7. Связь между временными и частотными характеристиками электрических цепей
Ðàссмотренные â ãë. 8 è 9 âременной и чàстотный метоäû àíà- ëèçà перехоäных процессоâ áàзируются нà äâóõ âçàèìîñâÿçàííûõ õàðàктеристикàх электрических цепей: импульсной или перехоä- íîé, ñ îäной стороны, и комплексной переäàточной функции, с äðóãîé. Ìåæäу этими хàðàктеристикàми сущестâóåò îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Îïðåäåëèì ýòó ñâязь. Допустим, что нà âõîä ïàññèâ- ной электрической цепи с комплексной переäàточной функцией H(jw) приложено âîçäåéñòâèå â âèäå åäиничной импульсной функции. Тоãäà с учетом тоãо, что спектр еäиничноãо импульсноãî ñèã- íàëà ðàâåí åäинице (см. (9.39)), спектр âûõîäíîãî ñèãíàëà ñîãëàñ- íî (9.51) áóäåò:
F2 ( jw) = F1 ( jw) H ( jw) = 1 × H ( jw). |
(9.61) |
Îáðàтное преобрàçîâàíèå (9.7) îïðåäåëèò âûõîäíîé ñèãíàë f2(t), который численно рàâен импульсной хàðàктеристике цепи:
229
h (t ) = |
1 |
∞ |
H ( jω) e jωtdω. |
(9.62) |
2π |
ò |
|||
|
|
−∞ |
|
|
Àíàëîãично с учетом услоâия физической реàлизуемости (8.14) можно зàïèñàть прямое преобрàçîâàние Фурье:
∞ |
|
H ( jω ) = ò h ( t ) e− jωtdt. |
(9.63) |
0 |
|
Òàêèì îáðàзом, прихоäèì ê âàжному âûâîäó: импульснàя и комплекснàÿ ïåðåäàточные функции пàññèâной электрической цепи сâÿçàíû ìåæäу собой пàрой преобрàçîâàния Фурье (9.62) è (9.63). À ýòî, â ñâою очереäü, îçíà÷àет, что импульснàÿ õàðàк- теристикà îäíîçíà÷íûì îáðàçîì îïðåäеляет комплексную переäà- точную функцию цепи и нàоборот. Причем, äëÿ h(t) è H(jω) ñïðàâåäëèâû âñå ñâîéñòâà и теоремы, рàссмотренные â § 9.2.  ÷àстности, из теоремы изменения мàñøòàáà íåçàâисимоãо переменноãî ñëåäует, что чем более рàстянутà âî âремени импульснàÿ õàðàктеристикà öåïè, òåì óæå åå À×Õ è íàоборот. В § 9.6 было покàçàíî, ÷òî äля неискàæàющей линейной цепи АЧХ äîëæíà áûòü ðàâномернà, à ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñîãëàсно (9.40) импульсной хàðàктеристике цепи â âèäå δ-функции, что полностью поäòâåð- æäàет изложенное.
Ñâязь комплексной переäàточной функции с перехоäíîé õàðàк- теристикой тàêæå îïðåäеляется оäíîçíàчно, поскольку послеäíÿÿ ñâÿçàíà соотношением (8.2) с импульсной хàðàктеристикой цепи. Для устàíîâления этой сâязи можно âоспользоâàòüñÿ èíòåãðàльным преäñòàâлением еäиничной функции (9.58):
|
|
|
|
1( t ) = |
|
1 |
+ |
1 ∞ 1 |
sin ωt dω |
|
|
|
(9.64) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
π ò |
|
ω |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с учетом формулы Эйлерà (3.18) перепишем (9.64): |
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
( t ) = |
1 |
+ |
1 ∞ e jωt |
− e− jωt |
dω = |
1 |
+ |
1 |
∞ e jωt |
dω. |
(9.65) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
π ò |
2jω |
|
|
2 |
2π |
ò |
jω |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
Åñëè êî âõîäу электрической цепи с переäàточной функцией H(jω) = |H(jω)|ejϕ(ω) приложенà åäиничнàя функция (9.65), то сиãíàë íà âûõîäå öåïè áóäет численно рàâен перехоäíîé õàðàктеристики g (t), спектр которой опреäеляется соãëàñíî (9.51), ãäå F1 ( jω) = 1 jω. Òîãäà после применения обрàòíîãо преобрàçîâàния Фурье с учетом (9.65) получим:
g ( t ) = |
H ( |
0 ) |
+ |
1 |
∞ |
|
H ( jω ) |
|
|
e jϕ( ω) |
jωt |
dω |
||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||
2 |
|
2π |
|
|
jω |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
230