Конспект практик по алгебре
.pdfДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 1 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
<ШКОЛА ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК>
МАТЕРИАЛЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Аналитическая геометрия и алгебра
160100.65 – Самолето и вертолето строение
.
г. Владивосток
2012
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 2 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практика 1
Цель: Научиться расписывать конечные суммы, осуществлять переход из декартовой системы координат в полярную и обратно, находить направляющие косинуся
Примеры. Расписать конечную сумму:
2 |
|
|
|
5 |
|
|
ambm 5 |
|
|
c |
|
x |
|
|
|||
b |
j |
, |
m |
ki |
, |
, |
|
km |
k |
, |
|||||||
j 2 |
|
|
i 1 |
|
1 m 3 |
i |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 k 2 |
|
|
|
||||||
2 |
4 |
|
xi , |
|
5 |
3 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
i j2 , |
b a |
i |
, |
|
|
|
|
|||||||||
j 1 i 2 |
ij |
|
i 3 j 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i 1 2i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
j |
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dmss 1 |
, |
|
( |
xi |
). |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m 2 |
|
m 1 s 3 |
|
|
0 j 2 |
i 0 j 2 |
|
|
|
|
|
|
Решение:
2
1.bj b 2 b 1 b0 b1 b2 .
j 2
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
mki mk1 mk2 mk3 mk4 mk5. |
|
|
|
||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
a |
m |
m 5 |
3 |
m |
m 5 |
1 4 |
2 |
3 |
3 |
2 |
. |
|
bi |
a |
|
bi |
a bi |
a |
bi |
a |
bi |
|||
|
1 m 3 |
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 3 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4. |
|
ckmxk ckmxk c1mx1 c2mx2 . |
|
|
||||
|
|
0 k 2 |
k 1 |
|
|
|
||
|
|
2 |
4 |
2 |
4 |
2 |
3 a4 j x |
4) |
5. |
|
aij xi |
( aij xi |
) (a2 jx2 a3j x |
||||
|
|
j 1 i 2 |
j 1 i 2 |
j 1 |
|
|
||
a21x2 a22x2 a31x3 a32x3 a41x4 a42x4. |
|
|
||||||
|
5 |
3 |
|
5 |
3 |
5 |
|
|
6. |
i j2 ( i j2) (i 22 i 32) |
|
|
|||||
|
i 3 j 2 |
|
i 3 j 2 |
i 3 |
|
|
||
3 22 |
3 32 |
4 22 |
4 32 5 22 5 32 156. |
|
|
|||
|
|
3 |
5 |
|
5 |
5 |
|
|
7. |
|
b ai b a1 b a2 |
|
|
||||
|
|
i 1 2i |
|
2 |
4 |
|
|
b2a12 b3a13 b4a14 b5a15 b4a24 b5a25.
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
3 |
|
|
||||||
8. |
|
|
|
|
dmss 1 ( dmss 1) d2ss1 d3ss1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
m 2 |
|
m 1 s 3 |
|
|
|
m 2 s m |
|
|
|
s 2 |
s 3 |
||||||||||||
d221 |
d232 d332 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
j xi |
xj |
|
|
|
2 |
|
|
j xi |
xj |
|
|
|
|
|
|||||
9. |
|
|
( |
|
|
|
) ( |
|
|
|
) |
|
||||||||||||||
|
|
j 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 j 2 |
|
i 0 |
|
|
j 0 |
|
i 0 j 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
x x |
1 |
|
x x |
2 |
|
x x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
i |
0 |
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
i 0 0 2 |
i 0 1 2 |
i 0 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x0 x0 |
|
x0 x1 |
|
x1 x1 |
|
x0 x2 |
|
x1 x2 |
|
x2 x2 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 4 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить самостоятельно:
6 |
|
albli , |
|
x jx j 1, |
|
|
|
ak , |
|
|
|
||||
k 2 |
|
2 l 1 |
|
|
3 j 7 |
|
|
3 |
3 |
|
|
3 |
6 |
9 |
1 |
mjk xk , |
|
aij bi , |
k a , |
||||
j 2 k 1 |
|
|
j 1 i 4 |
k 7 1 |
|||
6 |
4 |
|
5 |
|
akm . |
|
|
k n2 , |
|
|
|
|
|||
k 4 n 2 |
|
m 3 |
m 1 k 3 |
|
|
Примеры:
1)Даны координаты точки M(1; 5), найти ее координаты в полярной системе координат.
2)В полярной системе координат точка задана числами M(3;1), найти
ее декартовы координаты.
Решение:
1) |
Если в декартовой системе координаты точки заданы M(1; 5), то это |
|||||||
означает, что x 1, y 5. Используя формулы (5) найдем полярные |
||||||||
координаты: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
arctg |
5 |
arctg5 1,4. |
r |
|
12 52 |
|
5,1, |
||||
|
26 |
|||||||
|
|
1
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 5 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, в полярной системе точка имеет координаты M(5,1;1,4).
2) Если в полярной системе координат точка задана числами M(3;1),
то это означает, что r 3, 1. Используя формулы (4) найдем декартовы координаты точки:
x 3 cos1 3 0,54 1,62, |
y 3 sin1 3 0,84 2,52 |
Следовательно, в декартовой системе точка имеет координаты
M(1,62;2,52).
|
2 |
7 |
1 |
|
|
Пример: Для данной матрицы А |
3 |
2 |
4 |
вычислить определитель: |
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1)методом параллельного переноса;
2)методом треугольника.
Решение.
1) Согласно правила параллельного переноса, допишем к нашему определителю две первые строки и сделаем действия согласно схеме (2.3)
2 |
7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 |
1 |
2 |
7 |
|
|||
3 |
2 |
4 |
|
3 |
2 |
4 3 |
2 |
|
|
1 3 5 |
|
1 |
3 |
5 |
1 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 5 7 ( 4) 1 1 3 ( 3) 1 2 1 2 ( 4) ( 3) 7 3 5
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 6 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
148.
2)Вычислим определитель методом треугольников:
2 |
7 |
1 |
|
2 |
7 |
1 |
|
2 |
7 |
1 |
|
3 |
2 |
4 |
|
3 |
2 |
4 |
|
3 |
2 |
4 |
|
1 3 |
5 |
|
1 3 |
5 |
|
1 3 5 |
|
2 2 5 7 ( 4) 1 1 3 ( 3) 1 2 1 2 ( 4) ( 3) 7 3 5
148.
Решить самостоятельно:
1)Даны координаты точки M(3;4), найти ее координаты в полярной системе координат.
2)В полярной системе координат точка задана числами M(2;5), найти ее декартовы координаты.
3)Найти направляющие косинусы радиус вектора точки M(4;2;1).
|
|
0 |
4 |
3 |
|
4) Для данной матрицы А |
2 |
1 |
1 |
вычислить определитель: |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
1)методом параллельного переноса;
2)методом треугольника.
Самостоятельная работа: конечные суммы и их свойства.
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 7 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практика 2.
Цель: научиться преобразовывать комплексные числа в различные формы записи, изображать на комплексной плоскости, выполнять действия с числами в алгебраической форме.
Самостоятельная работа студентов по методическому пособию
«Комплексные числа и действия над ними». Выполнение заданий по пособию.
1.Нарисовать комплексные числа на комплексной плоскости.
2.Возвести комплексное число в квадрат.
3.Найти аргумент комплексного числа.
4. Выполнить действия: z1 z2, |
z1 z2, |
z1 z2, |
z1 : z2. |
5.Перевести комплексное число в показательную форму и возвести в степень. Ответ записать в алгебраической форме.
6.Найти модуль комплексного числа.
7.Для данного комплексного числа найти модуль и записать комплексно-сопряжённое число.
ИДЗ. «Комплексные числа и действия над ними»
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 8 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практика 3
Цель: научиться возводить комплексные числа в степень и извлекать из к.ч. корни, строить решения графически, делить многочлены.
Самостоятельная работа студентов по методическому пособию
«Комплексные числа и действия над ними». Выполнение заданий по пособию.
1.Вычислить 3z, если zзадано, изобразить найденные решения на комплексной плоскости.
2.Решить квадратное уравнение.
3.Найти частное и остаток от деления.
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 9 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практика 4
Цель: Изучить линейные операции над векторами заданными линейными комбинациями или в координатной форме.
Самостоятельная работа студентов по методическому пособию
«Векторная алгебра». Выполнение заданий по пособию.
1.Даны координаты точек A и B. Вычислить:
1)координаты векторов AB, BA, OA, OB, где точка O– точка начала координат;
2)найти OA OB и OB OA сравнить результаты с п.1;
3)найти модули векторов AB, BA, OA, OB.
2.Даны векторы a, b, c . Вычислить:
1) |
координаты и |
|
модуль векторов d 2 |
a |
4b , |
f |
a |
3b 3 |
c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
записать векторы d |
и |
f линейной комбинацией базисных векторов; |
|||||||||||||
2) |
векторы |
a |
и |
|
|
|
являются сторонами параллелограмма. Найти длину |
||||||||
b |
|
|
его диагоналей (использовать действия сложения и вычитания векторов
(рис 1.2));
3) найти направляющие косинусы вектора c.
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 10 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вектор AB составляет с координатными осями Ox,Oy,Oz
, , соответственно. Вычислить координаты вектора AB.
4. Векторы AB, BС, СA служат сторонами треугольника Выразить через a, b и c векторы, совпадающие с медианами треугольника:
ИДЗ «Векторы и действия над ними»