- •(160) Телеграфные управления
- •I. Решение телеграфных уравнений для линии без потерь
- •II Решение телеграфных уравнений для линий с потерями.
- •II Учет граничных условий. Коэффициент отражения.
- •IV Режим бегущих волн.
- •V Режим стоячих волн
- •1. Линия разомкнута на конце.
- •2. Линия короткозамкнута на конце
- •3. Линия замкнута на реактивное сопротивление.
- •I. Решение телеграфных уравнений для линии без потерь 2
Длинные линии
В современной радиотехнике , кроме цепей с сосредоточенными параметрами , широкое применения находят устройства , геометрические размеры которых становятся сравнимы с длинной волны , проходящей через них , (например , различные типы линий передачи электромагнитной волны , антенные системы и др.) , поэтому напряжение и ток в таких устройствах будут функциями не только времени , но и координат , а это означает что эл.процессы в этом случае будут описываться волновыми уравнениями . совершенно очевидно , что устройства и цепи в этом случае будут характеризоваться погонными параметрами , поскольку самипараметры будут распределёнными.
Например , два параллельных провода рис96 можно охарактеризовать такими погонными параметрами :
Такая цепь называется длинной линией
- -погонная индуктивность
-погонная ёмкость
-погонное сопротивление потерь
Рис.96
-погонное проводимость утечки
т.е погонные параметры характеризуют единицу длины цепи с распределёнными параметрами .
Представление единицы длины цепи с распределёнными параметрами (рис 96а) эквивалентной схемой (рис 96 б) позволяет применить и в этом случае все законы , справедливые для цепей с сосредоточенными параметрами .
Эквивалентная схема линии конечной длины должна ,evidancetocontinueбесконечное число аналогичных звеньев , соединённых цепочечно .
Если величины не меняются по длине линии её называют однородной ; в противном случае – неоднородной .
Итак поскольку ток и напряжение в линии являются функциями координаты “x” и времени “t”, найдём эти зависимости . Для этого рассмотрим элемент линииdx,удалённой от начала на расстояниех (см.рис.96). Обозначим искомые величины на входе элемента (в(.)х) черезu иiсоответственно . Тогда значения ина входе элемента ( в (.) х+dx) будут
(157)
Если / положим / uиi-непрерывная функцияx , тогда (157) представим так:
(157a)
Ограничиваясь двумя первыми членами разложений, получим
(158)
Пользуясь эквивалентной схемой элемента линии dx(рис96б) получим:
(159)
Второе уравнение из системы (159) можно переписать так:
, поскольку точку включения параллельной ветви можно выбирать произвольно.
Окончательно (158) примет вид:
(160) Телеграфные управления
I. Решение телеграфных уравнений для линии без потерь
=0; =0)
Это идеализация задачи позволяет раскрыть сущность физических процессов характерных для цепей с распределёнными параметрами.
Уравнения (160) в этом случае приобретают вид:
(161)
Продифференцируем по x иtсистему (161а). Тогда получим
(161а)
Отсюда следует, что функция u удовлетворяет волновому уравнению:
Аналогично для тока где;
Общее решение (162) может быть представлено в виде:
(164)
причём функции иконкретным условием задачи.
Выясним смысл ( ) и( ) из (164) .Рассмотрим вначале функцию. Её значения в один и тот же момент времени зависит отx , но можно подобрать да момента времениидля координатисоответственно так , что будет выполняться равенство
Это справедливо , если ; пусть, тогда
и, наконец, отсюда
(165)
отсюда следует, что постоянное значение функции движется по осиx со скоростью, определяемой из (165) и зависящей от погонных параметров линии. Это свойство функциидаёт основание называть еёволновой функцией иливолной (идущей в право)
Очевидно, что описывает волну идущуювлево (отражённую) . Для тока в линии можно записать аналогичное решение
(166)
Чтобы установить связь между напряжением и током в линии, подставим эти решения в систему (161) , например в первое уравнение:
Это равенство выполняется при любых tиx ,если
Отсюда следует, что
Эти соотношения можно привести к виду:
, где; (167)
Величина называется волновым сопротивлением линии.
Оно в данном случае чисто активно.
Рассмотрим прямую волну. Если напряжение в x=0 равноt, то напряжение и ток вx равны:
где U-амплитуда напряжения переменной волны
-амплитуда тока переменной волны
- волновое число.
Отсюда видно, что текущие фазы (ωt-βx) напряжения и тока приt=Constзависят отxи характеризуется величиной β для данногоx, поэтому β и называется коэффициентом фазы или волновым числом. На длине волны фаза, как известно, меняется на, поэтому;и, т.е.
зависит от L1C1. Отсюда видно, что волновой характер процессов в линии будет проявляться слабо, если ее длина много меньше длины волны т.е. если. Следовательно линию можно считать длинной в том случае, если ее длина по крайней мере соизмерима с длиной волны. Что касается расстояния между проводами, образующими линию, то оно выбирается много меньше длины волны.
В теории линий величину электрической длиной.
II Решение телеграфных уравнений для линий с потерями.
Пусть ЭДС генератора синусоидальна, т.е. и, где
U(x) иI(x)-комплексные амплитуды напряжения и тока соответственно.
Подставляя это в уравнение (160) получим:
(168)
Продифференцируем (168) по x:
Решение (169): (171), где(172) называетсяпостоянной распространения.
Для тока из (168) запишем или
(173), гдеравно(174) и
представляет собой волновое сопротивление линии с потерями.Из формул (172) и (174) следует, что в линии с потерямииявляется комплексными:
(175)
Выясним физический смысл ,,. Для этого рассмотрим прямую волну.
(176)
Переходя к мгновенным значениям, и полагая, что начальная фаза в точке x=0равна нулю, получим:
(177)
Отсюда следует, что распространение волны вдоль линии с потерями сопровождается экспоненциальным затуханием амплитуд. Скорость затухания зависит от ,называемое коэффициентом затухания. Коэффициент- волновое число. Уголхарактеризует сдвиг фаз между напряжением и током прямой волны в любой точке x.