- •Лекция №1
- •§ 1. Задача вычисления.
- •§ 2. Абсолютная и относительная погрешности
- •§ 3. Неустранимая погрешность значения функций для приближенных значений аргументов. Погрешности арифметических операций.
- •Лекция №2 Численные методы линейной алгебры
- •Формальное решение. Устойчивость.
- •Обусловленность матрицы. Погрешности.
- •Лекция №3
- •1. Схема единственного деления
- •3. Расчетные формулы
- •Лекция № 4 Метод Гаусса с выбором главного элемента (оптимальный метод).
- •Применения метода Гаусса к вычислению определителей и обратных матриц.
- •Лекция № 5 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •Лекция № 6 Метод Зейделя (модификация метода итераций).
- •Тогда условие окончания итерационного процесса Зейделя будет иметь вид:
- •Лекция № 7 Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.
- •1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекций или дихотомия).
- •Метод хорд (метод линейной интерполяции).
- •3. Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации).
- •4. Метод итераций (задача о неподвижной точке).
- •Оценка погрешности приближений:
- •Лекция № 8
- •1. Метод итераций для системы двух уравнений.
- •2. Метод Ньютона для системы двух уравнений.
- •Лекция №9 Алгебраическая проблема собственных значений.
- •Лекция № 10 Приближение функций и их производных.
- •Постановка задачи приближения функций.
- •2. Оценка погрешности полиномиальной интерполяции.
- •Лекция № 11 Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями.
- •Лекция № 12 Метод наименьших квадратов и наилучшие среднеквадратические приближения.
- •О нормальной системе мнк при полиномиальной аппроксимации.
- •Лекция №13 Сплайн интерполяция
- •Лекция № 15
- •Метод Эйлера – разные подходы к построению.
- •Методы Рунге – Кутта.
- •Лекция № 16
- •Лекция № 17 Разностные схемы для уравнений параболического типа.
- •Лекция №18
- •Лекция № 19 Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
Лекция №1
§ 1. Задача вычисления.
Обычно задачу вычисления величины y по известной величине x записывают, с учетом интересующих нас причинно-следственных связей, в виде
(1)
Где yÎY, xÎX - элементы соответствующих функциональных пространств (как правило линейные, нормированные полные). A – оператор (правило), реализующий вычисления.
В первую очередь нас будут интересовать корректно поставленные задачи вычисления.
Задача вычисления называется корректно поставленной, если для любых входных данных из некоторого класса решение задачи существует, единственно и устойчиво по входным данным (т.е. непрерывно зависит от входных данных задачи).
При этом в первую очередь анализируют вопрос о вносимых в решение погрешностях
Есть четыре основных источника погрешности результата вычислений: математическая модель; исходные данные задачи; приближенный метод и погрешность при реализации вычислений (в частности погрешность округления):
d1y-погрешность математической модели, связана с физическими допущениями при выборе математической модели и на анализе этой погрешности мы останавливаться не будем;
d2y - погрешность исходных данных, порождает неустранимую погрешность решения
d3y - погрешность метода. Выражение A(x) , вообще говоря, не может быть просто численно реализовано. Задачу заменяют близкой задачей
(1')
мы переходим к другим функциональным пространствам , элементы которых допускают сравнительно простую численную реализацию. Соответствующим образом меняется и отображение.
при этом естественно требовать, чтобы задача (1') была корректна, и чтобы решение `y было близко к решению y. величина
и представляет собой погрешность метода.
d4y - вычислительная погрешность. При численной реализации `y , которая по предположению возможна получают элемент , поскольку промежуточные результаты округлялись т.п. таким образом,вычислительная погрешность может быть записана в виде
полезно сразу же сформулировать некоторые эмпирические правила, которых придерживаются при реализации задачи вычисления:
при проведении вычислений нужно стремиться, чтобы погрешность метода d3y была бы в несколько раз меньше неустранимой погрешности решения d2y;
вычислительная погрешность d4y должна быть существенно меньше всех остальных погрешностей решения, т.е. расчет нужно вести с таким количеством значащих цифр, чтобы погрешность округления была существенно меньше всех остальных погрешностей.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий эти определения. Пусть необходимо вычислить интеграл , гдеF(x) задана таблично на [a, b]
Для получения приближенного решения можно поступить следующим образом: заменим на промежутке [a, b] функцию F(x) интерполяционным полиномом Pn(x) степени £ n, принимающим в точке xi те же значения, что и F(x), (такой многочлен существует и единственен).
Вместо интеграла будем находить интеграл, вычисление которого не составляет труда. В этом случае общая (полная) погрешность будет складываться из 3-х частей:
Погрешностей, порождаемых неточностями исходных данных (т.е. табличными значениями Y=F(x)) – неустранимая погрешность;
Погрешности, порождаемой заменой F(x) полиномом Pn(x) – погрешность метода;
Погрешности округлений при вычислении -вычислительная погрешность.