Основы операционного исчисления Лекция 1 Преобразование Лапласа и его свойства

Операционное исчисление применяется при нахождении как частных, так и общих решений линейных дифференциальных уравнений любого порядка с постоянными коэффициентами, при этом правая часть уравнения на различных интервалах может быть задана различными аналитическими выражениями, а также может иметь точки разрыва. Операционный метод используется для решения однородных и неоднородных систем дифференциальных уравнений, причем правые части неоднородных систем также могут быть заданы на различных интервалах различными аналитическими выражениями и иметь точки разрыва.

Операционное исчисление широко применяется для решения задач электротехники и теории автоматического регулирования, в частности позволяет найти установившийся ток в колебательном контуре при периодическом и непериодическом внешнем напряжении. Операционные методы позволяют рассчитывать процессы в сложных электрических цепях при произвольном внешнем напряжении. Операционные методы позволяют также находить решения уравнений в частных производных, которые появляются в задачах математической физики, например при решении задачи о колебательном движении струн и стержней, о распространении тепла в стержне, плоских пластинах и пространственных телах, о распространении электрических колебаний вдоль длинных цепей.

Операционное исчисление строится на основе преобразования Лапласа.

Преобразованием Лапласа или изображением по Лапласу функции вещественной переменнойназывается функциякомплексной переменной, определяемая несобственным интегралом

. (1)

Интегралом Лапласа называется интеграл в правой части (1).

Оригиналом называется функция вещественной переменной , которая удовлетворяет условиям:

1) при,

2) кусочно-непрерывна при; (2)

3) при любом, гденекоторые постоянные числа. Числоназывается показателем роста функции илиабсциссой сходимости интеграла Лапласа.

Функция может иметь на каждом отрезке прилишь конечное число точек разрыва первого рода.

Иногда преобразованием Лапласа называется операция перехода от оригинала к изображению. Соответствие междуизаписывается в виде .

Если функция является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится абсолютно и равномерно на комплексной полуплоскости.

Доказательство. Пусть , и. Тогда

.

Отсюда следует, что интеграл Лапласа сходится абсолютно при , так как он мажорируется абсолютно сходящимся интегралом. Если же, то ,где в правой части неравенства получено число. Следовательно, интеграл Лапласа сходится равномерно при .

Преобразование Лапласа устанавливает связь между оригиналами и их изображениями. Определенным действиям, производимым над оригиналами соответствуют некоторые действия, производимые над их изображениями, причем действия над изображениями оказываются более простыми, чем над оригиналами. В частности, дифференциальному уравнению относительно оригинала соответствует алгебраическое уравнение относительно изображения. Если решить это алгебраическое уравнение и затем найти оригинал полученного решения, то тем самым будет получено решение исходного дифференциального уравнения.

Единичной функцией Хевисайда называется функция . График функции Хевисайда имеет вид

Пример 1. Найти изображение единичной функции Хевисайда.

,

(3)

Условимся в дальнейшем под функцией понимать функцию, которая равна нулю при, т.е..

Пример 2. Найти изображение показательной функции .

для .

(4)

Пример 3. Найти изображение степенной функции ,и,.

(5)