2 Кинематика вращательного движения твердого тела

При вращении твердого тела все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Пусть за время тело поворачивается на угол , тогда средняя угловая скорость равна

(1.19)

Мгновенное значение угловой скорости определяется выражением

. (1.20)

Единицей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с).

Рис. 6

Чтобы охарактеризовать не только быстроту вращения, но также и ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения, вводят векторную величину угловой скорости .

Направлен вектор вдоль оси вращения, причем так, что направление вращения и направление образуют правовинтовую систему (т.е. связаны правилом буравчика) (рис. 6). Так как направление угловой скорости определяется условно, является псевдовектором.

Изменение угловой скорости со временем характеризуется векторной величиной

, (1.21)

которая называется угловым ускорением.

Причем если вращение вокруг неподвижной оси ускоренное, векторы и направлены в одну и ту же сторону, если вращение замедленное, то в противоположенные стороны.

Единицей углового ускорения в СИ является радиан на секунду в квадрате (рад/с²).

Модуль углового ускорения равен

(1.22)

Проекция углового ускорения на направление угловой скорости определяется формулой:

, (1.23)

и может быть как положительной, так и отрицательной.

Связь между линейными и угловыми величинами Найдем связь векторов и с величинами и , которые называют линейными скоростью и ускорением.

Рис. 7

Из рис. 7 видно, что точка тела, находящаяся на расстоянии от оси вращения, при повороте тела на угол проходит путь . Тогда модуль линейной скорости точки равен:

Таким образом, связь между величинами линейной и угловой скорости:

(1.24)

Будем определять положение точек тела с помощью радиус – вектора , проведенного из точки , лежащей на оси вращения. Из рис. 7 видно, что , тогда . Отсюда следует, что

(1.25)

Модуль нормального ускорения определяется формулой

(1.26)

Модуль тангенциального ускорения

(1.27)

Отсюда модуль полного ускорения

(1.28)

Задачи

Задача 1 Точка движется по дуге радиусом (рис. 8). Ее скорость зависит от дуговой координаты по закону , где - постоянная. Найдем угол между векторами полного ускорения и скорости точки как функцию координаты .

Решение

Рис. 8

Из рис. 8 видно, что

,

Учитывая, что , получим

Нормальное ускорение

В результате

Задача 2 Компоненты скорости материальной точки определяются выражениями: , , (множителями при выражены в м/с²). Найти ускорение точки и его модуль.

Решение

Компоненты ускорения равны производным по времени компонент скорости

м/с², м/с², м/с².

Вектор равен , тогда в нашем случае .

Квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его компонент .

Поэтому м/с².

Задача 3 Модуль скорости материальной точки изменяется со временем по закону , где = 1,0 м/с³. Найти путь, пройденный точкой за первые 10,0 с движения.

Решение

Путь равен определенному интегралу от модуля скорости по времени:

м.

Задача 4 Радиус – вектор, характеризующий положение частицы относительно неподвижной точки , меняется со временем по закону , , . Найти ускорение частицы и уравнение ее траектории , взяв оси и совпадающими по направлению с векторами и .

Решение

Продифференцировав по времени дважды, получим ускорение:

,

т.е. вектор все время направлен к точке - начало координат, а его модуль пропорционален .

Теперь найдем уравнение траектории. Проекции вектора на оси и имеют вид:

, .

Исключим из этих двух уравнений:

,

учитывая, что , получим

Это уравнение эллипса, и - его полуоси (рис. 9). Частица движется по часовой стрелке.

Рис. 9

Задача 5 Тангенциальное и нормальное ускорения

Точка движется замедленно по окружности радиуса так, что ее тангенциальное и нормальное ускорения в каждый момент равны друг другу по модулю. В начальный момент точке была сообщена скорость . Найти скорость и модуль полного ускорения точки в зависимости от пройденного пути .

Решение

По условию , , будем иметь ; .

Подставив , преобразуем исходное уравнение к виду:

Проинтегрируем это уравнение с учетом начальной скорости:

.

Получим или .

В данном случае , поэтому модуль полного ускорения или .

Задача 6 Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением = 0,4 см/с². Через какой промежуток времени вектор ускорения образует с вектором скорости угол , равный 60⁰ и 80⁰? Какой путь пройдет за это время движущаяся точка? На какой угол повернется радиус – вектор , если в начальный момент времени он направлен вертикально вверх?

Решение

Рис. 10

Из рис.10 видно, что

(1)

Тангенциальное ускорение

Следовательно, линейная скорость движущейся точки (при ): .

Нормальное ускорение

Подставляя в формулу (1), находим

Тогда время и путь соответственно равны:

, (2)

(3)

Угол поворота изменяется со временем также по квадратичному закону

(4)

При = 60⁰ (), согласно выражениям (2) – (4), = 6,6 с, = 8,7 см, = 0,87 рад.

При = 60⁰ (), = 12 с, = 28 м, = 2,8 рад

Задача 7 Вращение твердого тела Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где и - некоторые положительные постоянные. Найти характер движения этого тела.

Решение

Угловая скорость , отсюда .

Угловое ускорение .

Отсюда видно, что тело, вращаясь равнозамедленно (), останавливается в момент , а затем направление вращения (знак ) изменяется на противоположное.

Тесты

1. При вращательном движении линейную скорость в СИ измеряют в…

1) …в метрах в секунду в квадрате [м/с²]; 2) …в метрах в секунду [м/с]; 3) радианах в секунду в квадрате [рад/с²]; 4) …в градусах в секунду [º/с]; 5) …радианах в секунду [рад/с].

2. Пусть ω₀ – угловая скорость в момент времени t = 0, ε – угловое ускорение, тогда угловая скорость при равнозамедленном вращении в момент времени t равна…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

3. Тело вращается по орбите с частотой 10 с^-1. Найти угловую скорость вращения тела, если тангенциальная составляющая скорости 2 м/с.

1) …62,8 рад/сек; 2) …0,2 рад/сек; 3) …6,28 рад/сек; 4) …20 рад/сек.

4. Тело движется прямолинейно вдоль оси . Зависимость проекции скорости тела на ось от времени представлена на рисунке 11. Путь, пройденный телом за первые 12 с равен…

1) …67.5 м; 2) …12.5 м; 3) …15 м;4) …80 м; 5) …65 м.

Рис. 11

5. Точка А движется по спирали с постоянной по величине скоростью (рис. 12), при этом величина нормального ускорения уменьшается. В каком направлении движется точка?

1) …1; 2) …2; 3) …3; 4) …4; 5) …5.

Рис. 12

6. При вращательном движении угловое ускорение в СИ измеряют в…

1) …в метрах в секунду в квадрате [м/с²]; 2) …в метрах в секунду [м/с]; 3) …радианах в секунду в квадрате [рад/с²]; 4) …в градусах в секунду [º/с]; 5) …радианах в секунду [рад/с].

7. Пусть ω₀ – угловая скорость в момент времени t = 0, ε – угловое ускорение, тогда угловая скорость при равномерном вращении в момент времени t равна…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

8. Тело движется по окружности радиусом 0,1 м и за время 0,1 с совершает 10 полных оборотов. Угловая скорость вращения тела равна…

1) …0,628 рад/сек; 2) …6,28 рад/сек; 3) …628 рад/сек; 4) …62,8 рад/сек.

9. Тело движется прямолинейно вдоль оси . Зависимость проекции скорости тела на ось от времени представлена на рисунке 11. Путь, пройденный телом за первые 15 с равен…

1) …77.5 м; 2) …55 м; 3) …37.5 м; 4) …– 80 м; 5) 70 м.

10. При вращательном движении тангенциальное ускорение в СИ измеряют в…

1) …в метрах в секунду в квадрате [м/с²]; 2) …в метрах в секунду [м/с]; 3) …радианах в секунду в квадрате [рад/с²]; 4) …в градусах в секунду [º/с]; 5) …радианах в секунду [рад/с].

11. Пусть ω₀ – угловая скорость в момент времени t = 0, ε – угловое ускорение, тогда угол поворота за время t при равноускоренном вращении равен…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

12. Тело движется по окружности диаметром 20 см и за время 10 с оно совершает 100 полных оборотов. Период вращения этого тела равен…

1) …0,1 с; 2) …1 с; 3) …0,01 с; 4) …10 с; 5) …100 с.

13. Тело движется прямолинейно вдоль оси . Зависимость проекции скорости тела на ось от времени представлена на рисунке 11. Модуль перемещения тела за первые 3 с равен…

1) …37.5 м; 2) …22.5 м; 3) …15 м; 4) …7.5 м; 5) …– 22.5 м.

14. Куда направлено тангенциальное ускорение при равномерном вращении точки по окружности (рис. 14)….

Рис. 14

1) …1; 2) …2; 3) …3; 4) …4; 5) …равно нулю.

15. Вращающийся диск сделал за 20 с 50 оборотов. Определите частоту его вращения…

1) …0,4 Гц; 2) …400 Гц; 3) …2,5 Гц; 4) …4 Гц; 5) …1000 Гц.

16. Тело движется прямолинейно вдоль оси . Зависимость проекции скорости тела на ось от времени представлена на рисунке 11. Модуль перемещения тела за первые 9 с равен

1) …40 м; 2) …46 м; 3) …80 м; 4) …50 м; 5) …– 50 м.

17. Три спутника вращаются равномерно вокруг некоторой планеты, по орбитам, показанным на рисунке 15. В каком из нижеприведенных соотношений между собой находятся их скорости?

Рис. 15

1) …V₁ = V₂ > V₃; 2) …V₁ = V₂ < V₃; 3) …V₂ = V₂= V₃; 4) …V₃ > V₂ > V₃; 5) …V₃ < V₂ < V_3.

18. В СИ основной единицей измерения частоты является…

1) …герц [с^-1]; 2) …радиан в секунду [рад/с]; 3) …секунда [с]; 4) …радиан [рад]; 5) …сантиметр [см].

19. Как определить угол поворота при равнозамедленном вращении и известных величинах угловой скорости ω₀ в момент времени t₀ = 0, угловой скорости ω и времени t?

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

20. Три спутника вращаются равномерно вокруг некоторой планеты, по орбитам показанным на рисунке 15. В каком из нижеприведенных соотношений между собой находятся периоды их обращения?

1) …Т1 = Т2 > Т3; 2) …Т1 = Т2 < Т3; 3) …Т2 = Т1 = Т3; 4) …Т3 > Т2 > Т1; 5) …Т3 < Т2 < Т1.

21. Тело движется прямолинейно вдоль оси . Зависимость проекции скорости тела на ось от времени представлена на рисунке 11. Модуль перемещения тела за первые 15 с равен

1) …77.5 м; 2) …5 м; 3) …37.5 м; 4) …– 5 м; 5) …70 м.

15