6 Кинетическая энергия вращающегося тела

Когда тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , элементарная масса, отстоящая от оси вращения на расстояние, обладает скоростью. Следовательно, ее кинетическая энергия равна

.

Сумма энергий даст кинетическую энергию всего тела:

,

или

(4.29)

Найдем работу, совершаемую внешними силами при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. В соответствии с уравнением (3.25) работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна приращению кинетической энергии тела. Таким образом,или, согласно (4.29),. Так как осьсовпадает с осью вращения, тои.

Но согласно (4.21), .

Учитывая, что , получаем

(4.30)

Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол равна

(4.31)

В случае если , то.

7 Кинетическая энергия тела при плоском движении

Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью некоторой точкии вращения вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью. В этом случае скорость-той элементарной массы тела определяется формулой

, (4.32)

где - радиус-вектор- той массы, проведенный из точки(см. формулу (1.25))

и рис. 11.

Рис. 11

Кинетическая энергия -той элементарной массы равна

.

Далее

.

Кинетическая энергия равна

.

Разобьем полученное выражение на три слагаемых:

Как следует из рис. 9, , где- расстояние-той массы от оси вращения.

Соответственно третье слагаемое равно

, где-момент инерции тела относительно оси вращения.

Преобразуем второе слагаемое следующим образом:

,

- радиус-вектор центра масс, проведенный из точки.

Можно записать, что

. (4.33)

Если в качестве точки взять центр масс тела, тои формула (4.33) упростится следующим образом:

, (4.34)

где - скорость центр масс,- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Таким образом, полная кинетическая твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии его вращения относительно оси, проходящей через центр масс.

Задачи

Задача 1Однородный цилиндр массыи радиусаскатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей уголс горизонтом (рис.). Найдем уравнения движения цилиндра.

Решение

На рис. изображены силы, действующие на тело, и точки их приложения:

- сила тяжести,- сила реакции опоры,- сила трения покоя.

В проекциях на положительные направления изапишем уравнения движения:

, (1)

, (2)

Кроме того, условие отсутствия скольжения определяет связь между ускорениями:

(3)

Решение трех уравнений дает возможность найти ускорения и, а также силу.

Задача 2 Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу = 80 г (рис.), перекинута тонкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы с массами= 100 г и= 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.

Решение

Напишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в координатной форме:

:(1)

:(2)

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

, (3)

где - момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси вращения, угловое ускорение. Согласно третьему закону Ньютона,. Решая систему трех уравнений, получим

.

Отсюда ускорение равно:

. (4)

После подстановки числовых значений, получим

(м/с²)

Задача 3Маховик в виде сплошного диска радиусом= 0,2 м и массой= 50 кг раскручен до частоты вращения= 480 об/мин и предоставлен самому себе. Под действием сил трения маховик остановился через= 50 с. Найти моментсил трения.

Решение

Работа сил трения равна изменению кинетической энергии диска

,

где - начальная угловая скорость диска,- момент инерции диска,- угол, на который повернется диск до остановки при равнозамедленном движении.

Отсюда .

Произведем вычисления

(Н·м)

Задача 4 Платформа в виде сплошного диска радиусом = 1,5 м и массой= 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой=10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой= 60 кг. Какую линейную скорость будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение

Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения , совпадающей с геометрической осью платформы равен нулю. При этом момент импульсасистемы платформа – человек остается постоянным.

, (1)

где ,- момент инерции платформы,- момент инерции человека.

С учетом этого равенства (1) примет вид:

,

или

, (2)

где штрихованные величины относятся к конечному состоянию.

Учитывая, что ,,,,,

получим

.

Отсюда

.

Произведем вычисления

=1 (м/с).

Задача 5С наклонной плоскости высотойскатываются 1) обруч; 2) сплошной цилиндр; 3) шар. Найти скорости, которые они будут иметь, скатившись до конца плоскости. Сравнить эти скорости со скоростью, которую имело бы тело, соскальзывающее по плоскости без трения.

Решение

Полная кинетическая энергия скатывающегося тела:

.

Так как по закону сохранения механической энергии или, то

,

откуда

Скорость тела, соскальзывающего без трения с наклонной плоскости высотой , равна

1) Для обруча , имеем.

,.

2) Для сплошного цилиндра , откуда.

,.

3) Для шара , откуда.

,.

Тесты

1. Единицей измерения модуля момента импульса тела является…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

2. Модуль момента силы в системе СИ измеряют в…

1) …в ньютонах на метр [Н∙м]; 2) …в ньютонах, деленных на метр [Н/м]; 3) …в ньютонах на метр квадратный [H/m²]; 4) …в метрах квадратных [м]; 5) …в ньютонах [Н].

3. Единицей измерения момента инерции тела является…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

4. Дано выражение: , где- вектор силы,- радиус-вектор точки приложения силы. Это выражение определяет…

1) …работу силы; 2) …момент силы; 3) …импульс момента силы; 4) …кинетическую энергию точки; 5) …изменение импульса точки.

5. Моментом импульса называется…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

6. В основном законе вращения тела вокруг неподвижной оси ; где– вектор момента силы,- вектор момента импульса,- время. Как направлены вектораи?

1) …оба перпендикулярно оси вращения и не параллельны друг другу; 2) …взаимно перпендикулярны и каждый перпендикулярен вектору угловой скорости; 3) …вдоль оси вращения в одну сторону; 4) …вдоль оси вращения в противоположные стороны; 5) …оба по касательной к траектории вращающейся точки.

7. Укажите в ответе номер правильного выражения для закона сохранения момента импульса при вращении точки вокруг неподвижной оси…

1) …,- импульс тела; 2) …,-момент силы; 3) …,- момент инерции материальной точки,- угловая скорость вращения точки; 4), - угловое ускорение; 5) ….

8. При каком виде равновесия тело обладает минимальной потенциальной энергией?

1) …безразличном; 2) …неустойчивом; 3) …безразличном и неустойчивом; 4) устойчивом; 5) …при любом виде равновесия.

9. Общее условие равновесия тел можно записать в виде следующих уравнений…

1) …; 2) …; 3) …и; 4) …; 5)и.

10. Условие равновесия рычага имеет вид…

1) …; 2) …; 3) …; 4) ….

11. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

12. При равномерном вращении тела сохраняется вектор…

1) …скорости ; 2) …нормального ускорения; 3) …тангенциального ускорения; 4) …импульса; 5) …момента импульса.

13. Момент инерции тела Iотносительно оси, состоящего из частиц массой, равен…

1) …,- модуль угловой скорости; 2) …,L- момент импульса; 3) …; 4) …; 5) ….

14. Главный момент внешних сил связан с угловой скоростью основным законом динамики для вращательного движения. Укажите номер выражения для момента сил…

1) …,r – радиус, m – масса; 2) …; 3) …; 4); 5) ….

15. Единицей измерения модуля импульса тела является…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

16. Закон сохранения момента импульса Lможно записать выражением…

1) …,M –момент внешних сил; 2) …,m – масса, v – модуль скорости, h- высота тела; 3) …, гдеI – момент инерции; - модуль угловой скорости; 4) …; 5) ….

17. Какое из приведенных выражений позволяет записать момент импульса твердого тела?

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

18. Модуль момента силы можно вычислить по формуле…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

19. Дано выражение: , где- момент импульса материальной точки,- время. Это выражение определяет…

1) …ускорение точки; 2) …кинетическую энергию точки; 3) …вектор результирующей сил, действующих на точку; 4) …вектор силы в данной точке; 5) …вектор результирующего момента сил, действующих на точку.

20. Невесомая доска покоится на двух опорах (рис. 6). Правая опора делит длину доски в отношении 1:3. На ее правый конец падает тело массой m₂= 1 кг, скорость которого в момент удараv₂. Если после удара это тело полностью теряет свою скорость, то тело массойm₁= 1 кг начнет двигаться со скоростью...

Рис. 6

1) …v₁ = v₂; 2) …v₁ = v₂; 3) …v₁ = v₂; 4) …v₁ = 6 v₂; 5) …v₁ = 3 v_2.

17