3 Давление газа на стенку сосуда

При своем движении молекулы газа ударяют о стенку сосуда, создавая тем самым давление газа на стенку. Вычислим это давление. При этом будем использовать статистический метод, интересуясь движением не отдельных молекул, а лишь такимисреднимивеличинами, которые характеризуют движение колоссальной совокупности молекул.

Первый шаг на этом пути – выбор модели данной макросистемы.

Простейшей моделью обладает идеальный газ. Будем считать, что

1. молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом,

2. в равновесном состоянии движение молекул полностью хаотично. Это позволяет в грубом приближении считать, что все молекулы движутся только направлениях , т.е. если в единице объема имеетсямолекул, то в каждом из этих направлений движутся помолекул илив одну сторону.

Рассчитаем число ударов молекул о стенку. Разобьем молекулы в каждой единице объема на группы , в каждой из которых скорости молекул можно считать одинаковыми и равными, так что- полное число молекул в единице объема.

Число молекул-ой группы, которые достигают за малый промежуток времениэлемента стенки площадью, двигаясь перпендикулярно к нему, равно числу таких молекул в цилиндре длинойи сечением(рис. 2) т.е.

Рис. 2

.

Отсюда следует, что число ударов в единицу времени о единицу поверхности стенки

, или

. (1.11)

Суммируя по всем группам, находим

.

Разделим и умножим последнюю сумму на . В результате приходим к тому, что полное число ударов молекул о единицу поверхности стенки за единицу времени равно

, (1.12)

где - среднее значение скорости молекул.

Оценим число для воздуха при нормальных условиях. Считая, что~ 10¹⁹см^-3и~ 1 км/с, получим

~ 10¹⁹·10⁵= 10²⁴с^-1см^-2

А теперь определим давление газа на стенку. Для простоты будем считать, что каждая молекула, налетая на стенку нормально, в результате столкновения с ней отлетает в противоположном направлении. До столкновения со стенкой молекула имела импульс и после столкновения – импульс.

Приращение импульса молекулы в результате столкновения

.

Такой же импульс, но в противоположном направлении, получила стенка согласно закону сохранения импульса.

Импульс, передаваемый в единицу времени единице поверхности стенки молекулами -й группы, найдем с помощью (1.11):

.

Результирующее давление получим, просуммировав по всем группам молекул:

.

Разделив и умножив последнюю сумму в этой формуле на , приходим к выражению:

, (1.13)

где - среднее значение квадрата скорости молекул.

Выражение (1.13) можно переписать иначе:

, (1.14)

где - средняя энергия поступательного движения молекулы.

Формулу (1.14) называют основным уравнением кинетической теории газов. Она раскрывает физический смысл макропараметра: давление газа на стенку определяется средним значениемпоступательнойкинетической энергии молекул.

4 Средняя энергия молекул. Степени свободы

Из сравнения выражений

и

(см. формулы (1.10) и (1.14)) следует, что

(1.15)

Таким образом, термодинамическая температура есть величина, пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул.

Представив в виде

, можно получить из соотношения (1.15) выражение для среднего значения квадрата скорости молекулы

(1.16)

Корень квадратный из этой величины называется среднеквадратичной скоростью молекул:

или (1.17)

.

Только поступательно движутся лишь одноатомные молекулы. Двух- и многоатомные молекулы, кроме поступательного, могут совершать также вращательное и колебательное движение.

Рассмотрим понятие числа степеней свободы механической системы.

Числом степеней свободысистемы называется количество независимых координат,

с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве.

Положение материальной точки определяется значениями трех ее координат, например, декартовых координат .

В соответствии с этим материальная точка имеет три степени свободы.

Для определения положения центра масс молекулы необходимо задать три координаты. Это означает, что молекула имеет три поступательные степени свободы. Если молекула двухатомная и жесткая («гантель»), то кроме трех поступательных, она имеет и двевращательные, связанные с углами поворота вокруг двух взаимно перпендикулярных осей 1-1 и 2-2, проходящих через центр масс, как показано на рис.3. Вращение вокруг оси молекулы лишено смысла для материальных точек (атомов).

Рис. 3

Таким образом, жесткая двухатомная молекула имеет пять степеней свободы: три поступательные и две вращательные.

Если молекула упругая, то возможны колебания атомов и необходима еще одна степень свободы (расстояние между атомами). Ее называют колебательной.

Тот факт, что средняя энергия поступательного движения молекул равна , означает, что на каждую степень свободы в среднем приходится

энергия .

Согласно закону о равном распределении энергии по степеням свободына каждую степень свободы (поступательную, вращательную, колебательную) в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная.

Колебательное движение связано с наличием у колеблющейся системы не только кинетической, но и потенциальной энергии.

В разделе «Механические колебания» доказывается, что средние значения кинетической и потенциальной энергий гармонического осциллятора одинаковы. Отсюда следует, что колебательная степень свободы молекулы обладает, по сравнению с поступательной и вращательной, удвоенной энергетической емкостью – на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем две половинки - одна в виде кинетической и одна в виде потенциальной энергии.

Итак, средняя энергия молекулы

, (1.18)

где - сумма числа поступательных (), вращательных () и удвоенного числа колебательных () степеней свободы:

(1.19)