Глава 3 Энергия электрического поля

1 Энергия системы точечных зарядов

Формулу можно рассматривать как взаимную потенциальную энергию зарядови, находящихся на расстоянии(рис.1).

Рис.1

Если мы теперь в поле двух зарядов ивнесем третий заряд, то благодаря свойству аддитивности энергии взаимодействий, получим:

.

Преобразуем эту сумму следующим образом. Представим каждое слагаемое в симметричном виде:, поскольку. Тогда

.

Сгруппируем члены с одинаковыми первыми индексами:

Каждая сумма в круглых скобках – это энергия взаимодействия-го заряда с остальными зарядами.

Поэтому можно последнее выражение переписать так:

Обобщим это выражение на систему, состоящую из точечных зарядов. Итак, энергия взаимодействия системы точечных зарядов

(3.1)

Имея в виду, что , где-i-ый заряд системы,- потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме, в той точке, где находится заряд, получим окончательное выражение:

(3.2)

Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов и переходя от суммирования в (3.2) к интегрированию, получаем

, (3.3)

где - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом.

2 Энергия заряженных проводника и конденсатора

Энергия уединенного проводника. Пусть проводник имеет заряди потенциал. Посколькуна поверхности проводника, получим

Учитывая, что

(3.4)

Любое из этих выражений определяет энергию заряженного проводника.

Энергия заряженного конденсатора. Предположим, что (+) и- заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора, (-) и- отрицательно заряженной обкладки (рис. 2).

Рис. 2

Согласно формуле (3.3) интеграл можно разбить на две части – для одной и другой обкладок. Тогда

.

Приняв во внимание, что , получим для энергии заряженного конденсатора три выражения:

(3.5)

3 Энергия и плотность энергии электрического поля

Выразим энергию заряженного плоского конденсатора через напряженность электрического поля. Подставим в формулу

выражение, получим

.

Поскольку и(объем между обкладками конденсатора), то

.

Как будет показано в следующей главе, вспомогательной характеристикой поля в веществе является вектор электрического смещения , который связан с вектором напряженности электрического полясоотношением.

С учетом этого соотношения полученную формулу можно представить в виде:

(3.6)

Эти формулы справедливы для однородного поля, заполняющего объем .

Энергия распределена по объему конденсатора равномерно. Следовательно, в единице объема поля содержится энергия

(3.7)

Выражения (3.7) определяют плотность энергии электрического поля.

Формулы (3.7) справедливы для любого электрического поля. Если поле неоднородно, то плотность энергии в некоторой точке определяется по формулам (3.7) подстановкой значений (или) ив этой точке.

Зная плотность энергии в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме . Для этого нужно вычислить интеграл

(3.8)

Примеры решения задач

Задача 1Четыре одинаковых точечных заряданаходятся в вершинах тетраэдра с ребром. Найти энергию взаимодействия зарядов этой системы.

Решение:

1. способ. Энергия взаимодействия каждой пары зарядов здесь одинакова и равна

.

Как видно из рисунка, всего таких взаимодействующих пар шесть, поэтому энергия взаимодействия всех точечных зарядов данной системы

.

2. способ. , где потенциалв месте нахождения одного из зарядов, равен.

Поэтому

.

Задача 2(С.3.114)Точечный заряд= 1 мкКл помещается в центре шарового слоя из однородного и изотропного диэлектрика с= 3. Внутренний радиус слоя= 100 мм, внешний= 200 мм. Найти энергию, заключенную в пределах диэлектрика.

Решение:

Напряженность поля в диэлектрике

.

Разобьем диэлектрик на шаровые слои радиуса и толщины. Объем слоя.

Плотность энергии в слое

Энергия, заключенная в слое :

Проинтегрировав это выражение по в пределах отдо, найдем энергию, заключенную в диэлектрике:

Дж.

Задача 3Найдем работу, которую надо совершить против электрических сил, чтобы удалить диэлектрическую пластинку из плоского заряженного конденсатора. Предполагается, что зарядконденсатора остается постоянным. Емкость конденсатора без диэлектрика равна.

Решение:

Работа против электростатических сил в этой системе пойдет на приращение ее электрической энергии:

, где

- энергия поля между обкладками конденсатора при наличии диэлектрика,- при отсутствии диэлектрика. Отсюда

.

Задача 4(С 3.111)Зарядраспределен равномерно по объему шара радиусом. Полагая=1, найти электрическую энергию шара, а также отношение энергии, локализованной внутри шара, к энергиив окружающем пространстве.

Решение:

Прежде всего найдем с помощью теоремы Гаусса поле внутри и вне шара:

();().

Теперь вычислим электрическую энергию шара:

.

Отсюда следует:

;.

Тесты

1. Емкость плоского конденсатора пропорциональна:

1. расстоянию между его пластинами. 2. отношению площади его пластин к расстоянию между ними. 3. произведению площади его пластин на расстояние между ними. 4. заряду пластин. 5. потенциалу пластин.

2. Напряженность электрического поля внутри проводника:

1. определяется объемной плотностью заряда в проводнике. 2. равняется нулю. 3. определяется зарядом на поверхности проводника. 4. определяется потенциалом проводника. 5. зависит от напряженности электрического поля в пространстве, окружающем проводник.

3. Три конденсатора одинаковой емкости соединены параллельно. Результирующая емкость получается

1. равной емкости каждого из конденсаторов. 2. в три раза меньше емкости каждого из конденсаторов. 3. в три раза больше емкости каждого из конденсаторов.

4. Электроемкость проводника зависит от:

1. формы и размеров, 2. площади поверхности, 3. массы и рода вещества, 4. заряда и напряжения, 5. свойств окружающей среды.

1.1., 2., 3. 2. 3., 4., 5. 3. 1., 2., 5. 4. 2., 3., 5.

5. Емкость батареи состоящей из пяти одинаковых конденсаторов емкостью 1 мкФ, изображенной на рисунке равна:

1. 3,5 мкФ 2. 0,286 мкФ 3. 5 мкФ 4. 0,2 мкФ

6. Взаимной электроемкостью тел называют:

1. 2. 3. .

7. Плоский воздушный конденсатор подключили к источнику тока, а затем не отключая от источника, погрузили в керосин с диэлектрической проницаемостью, равной 2. Найти отношение заряда, первоначально находившегося на обкладках конденсатора, к конечному заряду.

1. 0,5 2. 1 3. 2 4. 4.

8. Разность потенциалов между обкладками конденсаторов емкостьюмкФ изменилась на 175 В. Определите изменение заряда конденсатора.

1. Кл 2.Кл 3. Кл 4.0.

9. Указать неправильнуюформулу для электроемкости плоского конденсатора .

1. 2.3.4.;

10. Конденсатор имеет емкость пФ. Какой заряд находится на каждой из его обкладок, если разность потенциалов между нимиВ?

1. Кл 2. Кл 3. Кл 4.эВ.

11. Потенциал φ, заряд qи емкость уединенного проводника связаны соотношением:

1.2.3.4..

12. Изменится ли заряд конденсатора, подключенного к источнику напряжения, если раздвинуть его пластины?

1. заряд конденсатора увеличится 2. заряд конденсатора не изменится 3. заряд конденсатора уменьшится 4. заряд конденсатора не зависит от его емкости 5. заряд конденсатора не зависит от расстояния между пластинами.

13. Вектор напряженности электростатического поля:

1. ортогонален эквипотенциальной поверхности 2. направлен по касательной к эквипотенциальной поверхности 3. направлен под углом π./4 к эквипотенциальной поверхности, 4. может иметь любое направление.

14. Внутри полой проводящей сферы помещен электрический заряд. Электрическое поле будет существовать:

1. и вне и внутри сферы 2. только вне сферы 3. только внутри сферы 4. ни там, ни там.

15. Электроемкость С уединенной сферы радиуcаRв среде равна:

1. 2. 3. 4.

16. Между обкладками конденсатора, на концах которого поддерживается постоянная разность потенциалов, поместили слой диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε. Напряженность поля в диэлектрике по отношению к напряженности поля вне его:

1.увеличилась в ε раз 2. уменьшилась в ε раз 3.обратилась в нуль 4. не изменилась.

17. Для проводника, помещенного в электростатическое поле, характерно:

1. отсутствие поля внутри проводника 2. усиление поля внутри проводника 3. ослабление поля вблизи острия проводника 4. силовые линии поля направлены по касательной к поверхности проводника 5. потенциал проводника максимален на его поверхности.

18. Изменится ли энергия заряженного воздушного конденсатора, если, при отключенном источнике, раздвинуть его пластины?

1. Изменится за счет энергии внешних сил, совершающих работу по раздвижению пластин. 2.Не изменится, так как заряд на конденсаторе не изменяется 3.Нельзя дать однозначный ответ, так как не известны численные значения исходных данных 4.Энергия уменьшится.

19. Потенциальная энергия взаимодействия пластин заряженного плоского конденсатора (указать неверныйответ):

1. 2.3.4.,

где и– заряд и потенциал первой пластины,и– заряд и потенциал второй пластины; 5. все перечисленные варианты правильные.

20. Как изменится энергия заряженного конденсатора, не отключенного от источника, если уменьшить расстояние между обкладками в два раза? .

1. уменьшится в 2 раза 2. увеличится в 2 раза 3. не изменится 4. увеличится в 4 раза 5. уменьшится в 4 раза.

21. Плотность энергии wэлектростатического поля с напряженностьюEв среде с диэлектрической проницаемостью ε равна:

1. 2.3.4..

22. Какую из формул нельзя использовать для расчета энергии заряженного конденсатора?

1. 2.3.4.

15