2 Поверхностные и объемные связанные заряды

Пусть диэлектрическая пластина находится в однородном внешнем электрическом поле , которое создается сторонними зарядами с поверхностной плотностью заряда. Под действием внешнего поля индуцируется связанный заряд с поверхностной плотностью(рис. 3). Образование поляризованных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля, направленного против внешнего.

Таким образом, если диэлектрик находится во внешнем поле, то внутри диэлектрика поле ослабляется, но полностью не исчезает.

Поэтому результирующее поле внутри диэлектрика

.

Дополнительное поле равно , то есть может быть рассчитано как поле плоского конденсатора, на обкладках которого находятся заряды () и ().

Рис. 3

Поверхностная плотность связанных зарядов связана с величиной вектора поляризации. Пусть пластина диэлектрика имеет толщину() и площадь боковых сторон. Дипольный момент этой пластины равен:

.

Если эту величину поделить на объем пластины, то получим поляризацию единицы объема, т.е. величину вектора поляризации диэлектрика:

. (4.3)

В случае, когда внешнее поле образует с нормальюк пластине угол, отличный от нуля, направление поляв диэлектрике будет иным (рис. 4).

Рис. 4

Поляризованность будет совпадать по направлению с этим полем. Выделим мысленно в пластине объем в виде косого цилиндра с образующими, параллельными векторуи с основаниями. Это объем равен

, где

- расстояние между основаниями цилиндра,- угол между векторамии внешней нормалью.

Выделенный объем имеет дипольный электрический момент, модуль которого равен

, где

- модуль вектора поляризации.

С другой стороны, рассматриваемый объем эквивалентен диполю, образованному зарядами и, находящимися на расстояниидруг от друга. Следовательно, его дипольный момент равен. Приравняв оба выражения для момента, получим, что,откуда

, (4.4)

где - проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль к поверхности пластины.

Учитывая, что , где, получим:

,

(СИ)

(СИ), где- относительная диэлектрическая проницаемость среды.

(4.5)

Отсюда видно, что поле в веществе в раз слабее, чем в вакууме.

В случае неоднородности диэлектрика возникают объемные заряды внутри самого диэлектрика. Рассмотрим, например, неоднородный полярный диэлектрик, расположенный во внешнем электрическом поле. Пусть концентрация частиц диэлектрика возрастает слева направо и в ту же сторону направлен вектор(рис. 5).

Рис. 5

Поверхность перережет меньше молекул, чем поверхность. Так как каждая молекула представляет собой диполь, повернутый по полю, то через поверхностьпроникнет внутрь слоя из левой части диэлектрика меньше положительных концов молекул, чем их выйдет через поверхностьиз слоя. Таким образом, внутри слояполучится недостаток положительных зарядов, и он окажется отрицательно заряженным.

Установим связь между и вектором. Рассмотрим в диэлектрике с неполярными молекулами воображаемую малую площадку, находящуюся в поле(рис. 6).

Рис. 6

Для простоты предположим, что при включении поля отрицательные связанные заряды останутся на месте, а положительные заряды смещаются по полю на расстояние . При этом через площадкупройдут положительные связанные заряды молекул, заключенных в косом цилиндре объема. Если число молекул в единице объема, а положительный связанный заряд молекулы равен, то черезпройдет положительный заряд.

Приняв во внимание - дипольный момент молекулы, а- модуль момента единицы объема, можно написать, что

, где

- вектор элементарной площадки.

Представим себе внутри диэлектрика замкнутую поверхность . При включении поля через эту поверхность выйдет наружу связанный заряд.

(см. формулу 1.28а). В результате в объеме , ограниченном поверхностью, возникает избыточный связанный заряд

.

Или учитывая, что , можно получить

(4.6)

или

, (4.7)

т.е. дивергенция вектора равна с обратным знаком объемной плотности связанных зарядов в той же точке. Это есть теорема Гаусса для вектора.