l16_2014_02_19
.pdfЛекция 16 (19.02.2014)
Электроны в металлах. Введение в квантовую теорию
1.Теплопроводность твердых тел
2.Теория Зоммерфельда. Квантовый электронный газ (T=0)
3.Граничные условия Борна-Кармана.
4.Плотность состояний
Литература:
1.Ландау и Лифшиц, «Статистическая физика. Часть 1", том V, Глава 5.
2.Н. Ашкрофт и Н. Мермин, “Физика твердого тела”.
Теплопроводность твердых тел
Уже во времена Друде был известен эмпирический закон Видемана -
Франца (1853 г.):
~T, где коэффициент теплопроводности,
проводимость
Таким образом
const - число Лоренца, характерное для каждого металла
T
Друде объяснил эту закономерность, предположив, что оба явления - электропроводности и теплопроводности связаны с переносом
электронов проводимости
Замечание: в диэлектриках этот механизм отсутствует, главным
механизмом переноса тепла является распространение упругих волн (фононов) в периодической решетке
Определение
Плотность потока тепла jq есть вектор, параллельный направлению потока тепла и равный по абсолютной величине количеству тепловой энергии, пересекающей за единицу времени единичную площадь, перпендикулярную потоку.
Закон Фурье
Для малых градиентов температуры jq T, где
- коэффициент теплопроводности
0, т.к. направление потока тепла противоположно направлению
градиента температуры
Решеточную теплопроводность можно рассматривать как перенос энергии в газе фононов (модель Энштейна и Дебая). Используем классическую формулу для теплопроводности в кинетической теории газа:
|
1 |
C |
v |
l |
1 |
C |
v |
2 (см. например Киттель, стр. 235) |
|
|
|||||||
|
3 v |
|
|
3 v |
|
|
Здесь Сv - теплоемкость (фононного газа), v - средняя скорость (фононов),
l - средняя длина свободного пробега (фононов), - среднее время между столкновениями (с фононами и дефектами)
В рассмотренном нами ранее гармоническом приближении при распространении фононов отсутствует возможность каких бы то ни было столкновений.
= |
|
Теплопроводность идеального кристалла в |
гармоническом приближении бесконечна |
Строгая теория теплопроводности кристаллов должна учитывать ангармонизм фононов, т.е. затухание упругих волн в результате их взаимодействия
Теплопроводность металлов в модели Друде
Согласно предположению Друде, скорость электрона после каждого столкновения соответствует локальной температуре, чем выше температура - тем большей энергией обладает электрон после столкновения.
При таких условиях всегда будет существовать суммарный тепловой поток, направленный в сторону области с более низкой температурой.
Действительно, даже если среднее значение скорости электронов равно нулю (электрический ток отсутствует), суммарный тепловой поток не равен нулю, так как электроны, приходящие из области с более высокой температурой имеют более высокие энергии.
Развивая эти представления в рамках классической статистической модели, Друде получил выражение, замечательно согласующееся с законом ВидеманаФранца. Однако при ближайшем рассмотрении согласие оказалось только качественным - он допустил две ошибки (в оценке теплоемкости электронного газа и среднего квадрата скорости электрона), которые компенсировали друг друга.
Корректная теория тепловых свойств свободного электронного газа возможна только с использованием квантовой статистики. Законы
классического идеального газа неприменимы для электронного газа в металле.
Газ свободных электронов: квантовая теория Зоммерфельда
Теория Друде споткнулась на вопросе о теплоемкости металла. Согласно классической статистике вклад каждого электрона в теплоемкость должен равняться . Экспериментально измеренная теплоемкость при комнатной температуре оказалась на два порядка меньше предсказанной
- электронный вклад фактически отсутствует!
Предположения теории Зоммерфельда
в большинстве приложений совпадают со всеми предположениями модели Друде, кроме одного:
Распределение электронов по скоростям описывается не классической
статистикой Максвелла-Больцмана, а квантовой статистикой ФермиДирака
Классическая статистика:
Число электронов в единице объема, скорости которых лежат в интервале dv равно fB (v)dv , где
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
m 2 |
|
mv2 |
2kBT |
|
fB(v) n |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 kBT |
|
|
|
n -плотность электронов
|
|
m/ 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Квантовая статистика Ферми-Дирака |
fF (v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
mv |
2 |
T |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
e |
2kB |
|
T |
T0 - температура, определяемая из условия нормировки: n fF (v)dv
A&M:
Распределения Максвелла-
Больцмана и Ферми-
Дирака при комнатной температуре и типичной металлической плотности. Масштаб одинаков для обоих распределений.
"Квантовый" электронный газ в основном состоянии (Т=0)
Используем приближение свободных электронов - электроны не взаимодействуют с ионами решетки. Поэтому общая энергия электрона определяется только его кинетической энергией.
Используем приближение независимых электронов - электроны не взаимодействуют друг с другом. Поэтому можно решать одноэлектронную задачу:
вычислим уровни энергии отдельного электрона в объеме V и заполним эти уровни снизу вверх в соответствии с принципом Паули, который
запрещает двум электронам одновременно занимать один электронный уровень
Для описания отдельного электрона необходимо знать его волновую функцию (r)и направление спина (одно из двух возможных:+1/2 или -1/2)
Одноэлектронное стационарное уравнение Шредингера свободного электрона:
|
2 |
(r) E (r) 0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
Hˆ E , Hˆ |
|
|
|
|||
2m |
2m |
||||||
|
|
|
Будем искать решение уравнения Шредингера в виде плоской волны
k |
(r) |
1 |
|
eik r |
||
|
|
|
||||
V |
||||||
|
|
|
|
Замечание
оператор импульса - pˆ
Волновая функция k импульса
Нормировочный множитель выбран так, чтобы вероятность найти электрон где-либо внутри объема V была равна
единице: |
|
(r) |
|
2 |
dr 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
V |
2 |
k |
2 |
||||||
При этом энергия |
(k) |
|
|
||||||
2m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i
(r) является собственной функцией оператора
Действительно, уравнение для определения собственных значений и собственных функций оператора импульса
pˆ p p i
Имеет решения вида
const eikr ,
Соответствующие собственному значению p k
Постулат квантовой механики
Если состояние частицы описывается волновой функцией, являющейся собственной функцией какого-либо оператора, то соответствующая оператору физическая величина имеет в этом состоянии определенное значение, равное собственному значению оператора
Таким образом, электрон с волновой функцией k (r) определенным импульсом, который пропорционален
вектору:
p k,
и скоростью: |
v |
p |
|
k |
. |
|
|
|
|||
m |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
2 |
|
p2 |
mv2 |
|||
Энергия электрона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2m 2m 2
обладает
k - волновому
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
де-бройлевская длина волны электрона |
||
|
|
|
p |
|
||||
|
|
k |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|