- •Свойства прообразов и образов
- •Обратная функция.
- •Примеры
- •Эквивалентные определения
- •Примеры
- •Примеры
- •Суперпозиция функций (сложная функция).
- •Определение
- •Свойства композиции
- •Дополнительные свойства
- •Счетные и несчетные множества.
- •Свойства отношения равномощности.
- •Свойство полноты множества вещественных чисел.
- •Плотность множества рациональных чисел в r.
- •Промежутки числовой прямой.
- •Модуль числа.
- •Свойства модуля.
- •Ограниченные числовые множества. Границы числовых множеств.
- •Свойства точных границ.
- •Последовательности.
- •Числа x1,x2,…,xn – члены последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках. (Принцип Коши-Кантора)
- •Предел последовательности.
- •Свойства пределов числовых последовательностей.
- •Предел и алгебраические операции.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Бесконечно малые последовательности (величины).
- •Основные свойства б.М. Последовательностей.
- •Бесконечно большие последовательности (величины).
- •Расширение понятие предела.
- •Основные свойства бесконечно больших последовательностей.
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
- •Арифметические свойства предела. (Бесконечно большие последовательности и арифметические операции)
- •Вопросы существования пределов.
- •Свойства фундаментальной последовательности.
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Предел подпоследовательности сходящейся последовательности.
- •Вычисление пределов некоторых последовательностей.
Одна и та же по наименованию величина в одних условиях может быть постоянной, в других – переменной. Например, объем комнаты – величина постоянная, а объем резинового шарика во время наполнения его газом – переменная величина.
Переменная величина является отвлеченной или числовой переменной. Ее обозначают каким-либо символом (буквой), которому приписывают числовые значения.
Переменная считается заданной, если указано множество Х значений, которые она может принять.
Постоянную величину удобно рассматривать как частный случай переменной; он отвечает предположению, что множество Х состоит из одного элемента.
Определение функции.
Зависимая-независимая переменная…
Множество Х называется множеством задания функции, множество Y - множеством изменения функции.
Примеры. …
1) Функция Дирихле, 2) y=sgn x=(signum) X=(-;+),Y={-1,0,1}
3) у=[х] – целая часть от числа. у={x} – дробная часть числа.
Пусть дано отображение , и. Тогдасуже́нием функции F на M называется функция , определяемая равенством
.
Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.
Пусть . Тогдао́бразом множества M называется подмножество Y, определяемое равенством
.
Множество называетсяобразом отображения и обозначается .
Пусть f: X→Y. Если х0X, то соответствующий ему элемент у0=f(x0)Y называется образом х0 (при отображении f).
Совокупность всех элементов хX, образом которых является данный элемент у0В, называется прообразом (полным прообразом) элемента у0 (и обозначается f-1(y0))
Пусть задано отображение ,иy = F(x). Тогда x называется проо́бразом y, а y называется о́бразом x. Согласно определению отображения, каждый элемент должен иметь ровно один образ, но элементможет не иметь прообразов либо иметь один или несколько.
Например, пусть дана функция , гдеF(x) = x2. Тогда
y = − 1 не имеет прообразов;
y = 0 имеет единственный прообраз x = 0;
y = 1 имеет два прообраза: x1 = 1 и x2 = − 1.
Пусть задано отображение , и. Тогда множествоназываетсяпо́лным проо́бразом элемента y. Полный прообраз обозначается F - 1(y).
Например, пусть , иF(x) = sinx. Тогда
.
Пусть . Тогдапроо́бразом множества N называется подмножество X, определяемое равенством
.
Например, пусть , иF(x) = cosx. Тогда
,
.
Свойства прообразов и образов
;
;
;
. Заметим отсутствие равенства в этом случае.
Обратная функция.
Определение. Пусть функция f:A→B.
1) Если для любых двух различных элементов х1 и х2 из А их образы у1=f(x1) и у2=f(x2) также различны,
х1≠х2 f(x1)≠f(x2) (f(x1)=f(x2) x1=x2).то отображение f называется инъекцией.
Отображение называетсяинъекцией (или вложением, или отображением в Y), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y. Т.е. если х1х2f(x1)f(x2).
Формально это значит, что если два образа совпадают, то совпадают и прообразы (). Инъективность является необходимым условиембиективности (достаточно вместе с сюръективностью).
(Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, т.е. инъективно, если существуеттакое, что.)
Примеры
—инъективно.
—инъективно.
—не является инъективным (F( - 2) = F(2) = 4).
2) Отображение называетсясюръективным (или сюръекцией, или отображением на Y), если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X, т. е. .
Т.е. если f(X)=Y или такое, чтоy=f(x), то отображение f действует на Y (отображение «на»).Такое отображение также называется сюръекцией.
В общем случае, т.е. когда f(X)Y, говорят, что f есть отображение X «в» Y.
|
Эквивалентные определения
Следующие свойства отображения эквивалентны:
F сюръективно
каждый элемент множества Y имеет хотя бы один прообраз во множестве X при отображении F.
образ множества X при отображении F(X) совпадает с Y
F имеет правое обратное отображение, т.е. такое отображение , чтоF(G(y)) = y для любого .
Примеры
—сюръективно.
—сюръективно.
—не является сюръективным.
Отображение f которое одновременно является инъекцией и сюръекцией, называется биекцией или взаимно однозначным соответствием между А и В.
В этом случае множества А и В находятся во взаимно однозначном соответствии.
Функция называетсябиекцией (и обозначается ), если она:
Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,
.
Любой элемент из Y имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
.
Биекцию также называют взаимно однозначным отображением.
(Множества, для которых существует биекция, называются равномощными.)
|
Примеры
(— функция, сохраняющая все элементы множестваX, биективна на этом множестве.)
—биективные функции из в себя. Вообще, любоймоном одной переменной нечетной степени является биекцией.
f(x) = ex — биективная функция в . Но если её рассматривать как функцию в, то она уже не будет биективной (у нуля и отрицательныхчисел не будет прообразов).
f(x) = sinx не является биективной функцией, если считать её определённой на всём .
Функция является биективной тогда и только тогда, когда существуетобратная функция такая, чтои.
Если функции f и g биективны, то и композиция функций биективна, в этом случае. Коротко:композиция биекций является биекцией. Обратное, вообще говоря, неверно: если биективна, то мы можем утверждать лишь, чтоf инъективна, а g сюръективна.
Можно определить новую функцию:
f-1:B→A, x=f-1(y) – обратная функция, относительно f.
Примеры.
1) f(x)=ex (график)
f:(-∞;+∞)→(0;+∞) f-1: (0;+∞)→(-∞;+∞)
ex=y x=ln y. f-1=ln x
2) y=x2 (график)
f:(-∞;+∞)→[0;+∞)
Функция не является (не является инъекцией) взаимно однозначной.
Рассмотрим только одну ветвь f: [0;+∞)→[0;+∞)
x2=y x= f-1(x)=
Любая строго монотонная функция имеет обратную (т.к. является взаимно однозначной).