- •2012 Введение
- •Неопределённый интеграл (блок-схема)
- •Оглавление
- •Глава 1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.1. Определение первообразной функции
- •1.4. Следствия из теоремы «единственности» первообразной
- •1.5. Неопределённый интеграл
- •Операция интегрирования – операция нахождения
- •1.6. Проблема существования первообразной
- •1.7. Геометрическая интерпретация первообразной
- •1.8. Простейшее дифференциальное уравнение. Задача Коши
- •1.9. Проблема нахождения первообразной
- •1.10 Табличные интегралы
- •1.11. Неберущиеся интегралы
- •1.12. Линейные свойства неопределённого интеграла
- •1.13. Дифференциал неопределённого интеграла
- •1.14. Неопределённый интеграл от дифференциала
- •1.15. Непосредственное интегрирование
- •1.16. Метод замены переменной. Основные теоремы
- •Формулы интегрирования сохраняют свою структуру
- •1.17. Замена переменной. Способ 1.
- •1.18. Замена переменной в интеграле. Способ 2
- •1.19. Интегрирование по частям
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
Н.В. Кондратьева
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2012 Введение
Интегральное исчисление – раздел математики, в котором изучаются понятия интеграла, свойства интеграла и методы его вычисления. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение функции по её производной или дифференциалу.
Основными понятиями интегрального исчисления являются неопределённый интеграл (семейство первообразных)
и определённый интеграл (предел интегральных сумм)
.
Формула Ньютона-Лейбница (основная формула интегрального исчисления) устанавливает связь между определённым и неопределённым интегралами:
.
Формула Ньютона-Лейбница не решает ни задачи вычисления первообразной, ни задачи вычисления предела интегральных сумм. Ценность этой формулы состоит в том, что она устанавливает равносильность этих задач для функций, непрерывных на отрезке.
В настоящем учебном пособии излагаются теоретические основы интегрального исчисления. Форма изложения несколько отличается от традиционной.
Цель пособия состоит в том, чтобы:
– помочь студентам глубже изучить понятия неопределённого и определённого интегралов, геометрический смысл и взаимосвязь этих понятий;
– осознать формулу Ньютона-Лейбница, которую наряду с формулой Тейлора называют великой формулой математического анализа.
Пособие может быть использовано как основной и дополнительный материал при подготовке к зачётам и экзаменам, а также для самостоятельного изучения основных понятий интегрального исчисления.
Неопределённый интеграл (блок-схема)
Определённый интеграл (блок-схема)
Оглавление
Введение …………………………………………….………….. |
3 |
|
|
Обозначения…………………………………………………….. |
6 |
Глава 1. Первообразная и неопределённый интеграл………... |
7 |
1.1. Определение первообразной функции……………………. |
7 |
1.2. Проблемы, связанные с определением первообразной….. |
8 |
1.3. Единственность первообразной…………………………… |
8 |
1.4. Следствия из теоремы единственности…………………… |
9 |
1.5. Неопределённый интеграл…………………………………. |
10 |
1.6. Проблема существования первообразной………………… |
11 |
1.7. Геометрическая интерпретация первообразной………….. |
12 |
1.8. Простейшее дифференциальное уравнение. Задача Коши.. |
14 |
1.9 Проблема нахождения первообразной……………………… |
15 |
1.10. Табличные интегралы……………………………………… |
16 |
1.11. Неберущиеся интегралы…………………………………… |
17 |
1.12. Линейные свойства неопределённого интеграла………… |
18 |
1.13. Дифференциал неопределённого интеграла……………… |
20 |
1.14. Неопределённый интеграл от дифференциала…………… |
20 |
1.15. Непосредственное интегрирование……………………….. |
20 |
1.16. Метод замены переменной. Основные теоремы…………. |
21 |
1.17. Замена переменной. Способ 1..…………………………… |
22 |
1.18. Замена переменной Способ 2. …………………………….. |
24 |
1.19. Интегрирование по частям………………………………… |
25 |
|
|
Глава 2. Определённый интеграл……………………………….. |
29 |
|
29 |
|
29 |
|
30 |
|
31 |
|
32 |
|
33 |
|
34 |
|
35 |
|
36 |
|
37 |
|
38 |
|
39 |
|
40 |
|
41 |
|
42 |
|
46 |
|
47 |
|
49 |
|
49 |
|
51 |
|
53 |
|
54 |
|
56 |
|
66 |
|
71 |
|
78 |
|
|
Библиографический список……………………………………… |
89 |