Вышка 5
.docx
37.Линейно независимые функции. Определитель Вронского. Фундаментальная система решения однородного ДУ. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение! (ЛОДУ) второго порядка: у" + a1 (х)у' + a2 (х)у = 0 (49.13) Функции у1 = y1 (х) и y2 = у2 (x) называются линейно независимыми на интервале (a; b), если равенство а1y1 + a2y2 = 0, (49.15) где a1, a2 € R, выполняется тогда и только тогда, когда a1 = а2 = 0. | Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан (Ю. Вронский — польский математик). Для двух дифференцируемых функций у1 = у2 (x) и y2 = у2 (x) вронскиан имеет вид Имеют место следующие теоремы. Теорема 49.3. Если дифференцируемые функции y1 (x) и у2(x) линейно зависимы на (а;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.
|
38.Формула Остроградского- Лиувилля, её приложения. Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении. Пусть есть дифференциальное уравнение вида Тогда
|
39.Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Уравнение Эйлера. Частным случаем линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Пусть дано ЛОДУ второго порядка у" +р*у' +q*y = 0, (50.1) где р и q постоянны. Для нахождения общего решения уравнения (50.1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему Будем искать частные решения уравнения (50.1) в виде y = еkx , где к — некоторое число (предложено JI. Эйлером). Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (50.1), получим: к2 * екх +p* k* екх + q * екх = 0, т. е. Уравнение (50.2) называется характеристическим уравнением ДУ (50.1) (для его составления достаточно в уравнении (50.1) отменить у" , у' и у соответственно на к2, к и 1).
|
40.Линейные неоднородные ДУ. Частное и общее решение. Метод вариации постоянных. Рассмотрим ЛНДУ второго порядка у" + а1 (х)у' + а2(х)у = f(x), (51.1) где а1 (х),а2(х), f (x) — заданные, непрерывные на (a; b) функции. Уравнение у" + a1 (х)у' + а2(х)у = 0, (51.2) | левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (51.1), называется соответствующим ему однородным уравнением. Т(структура общего решения ЛНДУ). Общим решением у уравнения (51.1) является сумма его произвольного частного решения у* и общего решениясоответствующего однородного уравнения (51.2), т. е. Функция является решением уравнения (51.1). Покажем теперь, что функция (51.4) является общим решением уравнения (51.1). Для этого надо доказать, что из решения (51.4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (51.5) |
41.Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами. Метод неопределённых коэффициентов для уравнений со специальной правой частью. Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение y''+p*y'+q*y=f(x) (51.10) где р и q — некоторые числа. Для уравнений с постоянными коэффициентами (51.10) существу ет более простой способ нахождения у*, если правая часть f(x) уравнения (51.10) имеет так называемый «специальный вид»: I.f(x) = Рп(x) * еах или II.f(x) = еах *(Рn (x) • cosβх + Qm(ж) *sin βх). Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (51.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (51.10) и из полученного тождества находят значения коэффициентов. Случай 1. Правая часть (51.10) имеет вид f(x) = Рп(x) • еах, где а € R, Рп (x) — многочлен степени п. Уравнение (51.10) запишется в виде (51.11) y''+p*y'+q*y=Pn(x)*eax В этом случае частное решение у* ищем в виде: y*=xr * Qn(x)*eax (51.12)
|
42.Системы ДУ, их связь с ДУ высших порядков. Понятие решения системы ДУ. Метод исключения для интегрирования систем ДУ. Интегрируемые комбинации. Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные. Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей п искомых функций у1 , у2,..., yn следующий: Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида (52.1) называется нормальной системой ДУ Решением системы (52.1) называется совокупность из п функций y1, y2, ... ,уп, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы. Начальные условия для системы (52.1) имеют вид |
43.Системы линейных ДУ, Однородные системы линейных ДУ и свойства их решений. Система Дифференциальных Уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.
|
44.Неоднородные системы линейных ДУ, их частные решения. Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных.
|
45.Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера для однородных систем. Характеристическое уравнение. Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы* уравнений (52.1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями у1 , у2 и у3: (52.6) где все коэффициенты aij (i,j = 1,2,3) — постоянные. Будем искать частное решение системы (52.6) в виде yi =α* екх, y2=β* екх, у3 = γ* екх, (52.7) где α, β, γ, к — постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (52.7) удовлетворяли системе (52.6).
|
Уравнение называется неоднородным линейным уравнением Эйлера, а уравнение без правой части называется однородным линейным уравнением Эйлера. Эти уравнения подстановкой приводятся к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. |
|
Так как функции у1 и у2 линейно зависимы, то в равенстве (49.15) значение a1 или а2 отлично от нуля. Пусть a1≠ 0, тогда ;поэтому для любого х € (а; Ь) Т. Если функции у1 (х) и у2 (x) — линейно независимые решения уравнения (49.13) на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль. Из теорем следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (а; b) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы. Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (а; b) частных решений у1 (х) и у2{х) ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация у = a1 y1 {х) + a2 y2 (x).
|
Систему уравнений (52.1) можно решать методом интегрируемых комбинаций. Суть метода состоит в том, что посредством арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции. |
где r — число, равное кратности а как корня характеристического уравнения k2 + рк + q = 0 (т. е. г — число, показывающее, сколько раз а является корнем уравнения к2 + рк + q = 0), a Qn{x) — А0 хп + A1 xn-1 + ... + Ап — многочлен степени п, записанный с неопределенными коэффициентами Аi (i = 1,2,..., п). Случай 2. Правая часть (51.10) имеет вид f(x) = еах - (Рп(х) * соs βx + Qm (x) sinβx), где Рп(х) и Qm(x) — многочлены степени п и т соответственно, а и β- действительные числа. Уравнение (51.10) запишется в виде у” +ру' +qy = еах * (Рп(х)* cosβx + Qm(x) * sinβx)(51.14) Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (51.14) следует искать в виде у* = хr * еах *(Ml (x) соsβx + Nl (x) * sin βx), (51.15) где r — число, равное кратности α +β как корня характеристического уравнения к2 + рк + q = 0, Ml (x) и Nl (х) — многочлены степени L с неопределенными коэффициентами, L — наивысшая степень многочленов Рп(х) и Qm(х), т. е. L = тах(п,т). |
Продифференцировав функцию (51.4) и подставив начальные условия (51.5) в функцию (51.4) и ее производную, получим систему уравнений: где уо = у(хо), y'о = у'(хо), с неизвестными c1 и с2. Определителем этой системы является определитель Вронского W(xо) для функции у1 (x) и y2 (x) в точке x = xо. Функции y1(x) и у2(х) линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. W(xо) ≠ 0. Следовательно, система имеет единственное решение: c1 = с01 и с2 = с02. Решение у=у* +c01 y1 (x) +c02 y2 (x) является частным решением уравнения (51.1), удовлетворяющим заданным начальным условиям (51.5). Рассмотрим ЛНДУ (51.1). Его общим решением является фук ция (51.3), т. е. Частное решение у* уравнения (51.1) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (51.2), методом вариации произвольных постоянных |
Подставив эти функции в систему (52.6) и сократив на множитель екх ≠ 0, получим: или (52.8) Систему (52.8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными α, β, γ. Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю: (52.9) Уравнение (52.9) называется характеристическим уравнением системы (52.6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно к. |
|
|