ПРИМЕР КР-1 Высшая Математика
.docХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ
Навчально-консультаційний центр
У м. Кривому Розі
Кафедра вищої математики
ВИЩА МАТЕМАТИКА
Приклад виконання контрольної роботи №1
ХАРКІВ
2009 р.
Завдання №1
Задані координати чотирьох вершин піраміди ABCD: А(-2,0,0), В(1,1,-1), С (-1,3,0),
D(-1,0,2).
Необхідно обчислити:
-
довжину ;
-
кут між векторами ;
-
площу трикутника ;
-
об'єм піраміди;
-
довжину висоти DH піраміди, проведеної до площини грані ABC.
Необхідно скласти рівняння:
-
прямої АВ;
-
площини АВС;
-
висоти піраміди DH, проведеної з D перпендикулярно к площі АВС;
-
медіани АМ трикутника АВС;
-
висоти АК трикутника АВС;
-
бісектриси AL трикутника АВС.
-
Вектор має координати: (3,1,-1). Тому його довжина дорівнює: (од).
-
Кут між векторами та визначається по формулі .
Обчислимо довжину вектора (од).
Скалярний добуток обчислювався по формулі
-
Площа трикутника АВС
. Обчислимо координати векторів та та векторний добуток *.
(од)
4. Об'єм піраміди ABCD
5. Довжину висоти DH піраміди обчислимо з формули
(од).
6. Рівняння прямої АВ має вигляд , т.я. задані дві точки цієї прямої А та В.
Підставляє в останнє рівняння координати точок А та В, отримаємо
7. Рівняння площини АВС запишемо у вигляді , т.я. задані координати трьох точок А,В,С.
Рівняння площини АВС: 3x-y-8z+6=0
8. Рівняння висоти піраміди DH
Координати точки D відомий, а напрямний вектор прямої колінеарний вектору нормалі до площини АВС. Вектор нормалі до площини АВС має координати . Тому рівняння прямої DH має вигляд
9. Рівняння медіани АМ має вид .
Точка М-середина відрізку ВС має координати
Таким чином, рівняння медіани АМ має вигляд
10.Рівняння висоти АК
Напрямний вектор прямої , вектор перпендикулярний вектору - нормалі до площини АВС та вектору . Тому вектор може бути обчислений за формулою:
Рівняння висоти АК має вигляд
11.Точка L-точка перетину бісектриси AL зі стороною ВС ділі відрізок ВС на частини, довжина яких пропорційна довжинам прилягаючих сторін, тобто
Таким чином та
По формулам ділення відрізку в даному відношені знаходимо координати точки L
;
Рівняння бісектриси AL
Підставляючи в останнє рівняння координати точок A та L, отримаємо
Завдання №2
Скласти рівняння площини, яка проходе через точку та пряму
Р
L
Рівняння іскомої площини , де координати точки , розміщеної на прямій L та належить площині Р.
Вектор нормалі до площини Р визначаємо з умови , де .
Таким чином та управління площиною має вигляд
Завдання №3
Обчислити значення многочлена від матриці А, якщо ,
Завдання №4
Знайти межі:
1)
Відповідь:
2)
Відповідь:
3)Відповідь:
4) , позначимо , тоді
Завдання №5
Знайти похідну даної функції та її значення при х=а
Відповідь:
Завдання №6
Знайти похідну . Так як , то дифференцируя, отримаємо:
або
Відповідь:
Завдання №7
Знайти рівняння дотичної до кривої до точки М(1,2). Рівняння дотичної , де
Знайдемо значення t відповідне точці М: при х=1, маємо тобто .
, таким чином
Відповідь:
Завдання №8
Знайти межі по правилу Лопіталя:
1)
Відповідь:
2) , маємо невизначеність, нехай , тоді
Отже
Відповідь:1
Завдання №9
Досліджувати функцію і побудувати її графік
Дослідження функції без похідної
1. Перебування області визначення
2. Перебування точок перетинання графіка з осями Х и У
3. Дослідження функції на парність і непарність
Якщо функція парна = > f (-x) = f (x)
Якщо функція непарна = > f (-x) = - f (x)
Якщо функція парна, то її графік симетричний щодо осі ОУ, тому досить побудувати тільки частину функції при х > 0, а потім симетрично відбити.
Якщо функція непарна, то вона симетрична відносно початку координат, досить побудовати графік при х > 0, а потім повернути графік на 180 градусів.
4. Досліджувати функцію на періодичність
то - період функції
Всі алгебраїчні функції не періодичні.
-
Перебування асимптот кривих.
а). х = а (вертикальна)
б).
(невертикальна)
в). у = А(горизонтальна)
ІІ. Дослідження функції за допомогою першої похідної
- не існує
1. Перебування проміжків монотонності функції.
2. Дослідження функції на екстремум.
Дослідження за допомогою другої похідної
- не існує
1. Перебування проміжків збереження кривизни функції
2. Перебування крапок перегину
ІV. Побудова графіка функції спираючи на отриману інформацію
І. Дослідження функції без похідної
1.
-
графік з віссю ОХ не перетинається тому що
х=0 т М(0;-1)- перетинання графіка з віссю ОУ
3. Функція ні парна, не парна (індиферентна)
4. Функція не є періодичною
-
а). Вертикальна
тобто. х=1 - вертикальна асимптота
б). Горизонтальна
тобто горизонтальних асимптот немає
в). Похила
у=х+1 – похила асимптота
ІІ. Дослідження функції за допомогою першої похідної
1.
метод інтервалів
+ +
-0,42 - 2,42
- функція зростає
тобто (дивитися перегин)
- функція убуває
у
у= х + 1
0 1
-0,42 2,42 х
-
Дослідження функції на екстремум.
- стаціонарні крапки
скористаємося достатньою умовою
X |
-1 |
-0.42 |
0 |
|
F’(x) |
+ |
0 |
- |
|
f(x) |
|
max |
|
|
|
-0.82 |
|
X |
2 |
2.42 |
3 |
|
f’(x) |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
|
min |
|
|
|
4.7 |
|
ІІІ. Дослідження за допомогою другої похідної
-
Перебування проміжків збереження кривизни функції
- функція увігнута
2. Перебування точок перегину. Функція не має точок перегину так як
ІV. Побудова графіка функції спираючи на отриману інформацію
у
4,7
1
-0,42 0
1 2,42 х
-1
_