- •2.Определитель матрицы. Свойства определителей.
- •3.Миноры и алгебраические дополнения.
- •12.Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы.
- •13..Теорема Кронекера-Капелли.
- •14.Система однородных линейных уравнений.
- •15.Решение систем линейных уравнений методом последовательного
- •17.Вектор. Проекция вектора на ось.
- •24.. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •36.Уравнение плоскости в отрезках.
- •49. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
- •58. Гипербола. Определение.
- •59. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения параболы.
- •65. Параболоиды.
- •66. Конические поверхности.
- •67. Функция. Основные понятия. Способы ее задания.
- •68. Числовая последовательность и ее предел.
- •69. Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •75. Теорема о разности между функцией и ее пределом.
- •88. Непрерывность функции на отрезке.
- •89. Свойства функций, непрерывных на отрезке ( т. 1-5).
- •90. Производная. Определение.
- •91. Дифференцируемость функции. Определение.
- •92. Основные правила дифференцируемости
- •94. Производная обратной функции.
- •95. Производные основных элементарных функций:
- •105. Теорема Ролля. Геометрический смысл теоремы Ролля.
- •106. Теорема Лагранжа. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
- •107. Теорема Коши.
- •108. Правило Лопиталя и его применение к вычислению пределов.
88. Непрерывность функции на отрезке.
1) Функция называется непрерывной справа в точке a,
если lim x a + 0 f(x) = f (a) и непрерывной
слева в точке a, если lim x b + 0 f(x) = f (b).
2) Функция называется непрерывной на отрезке [a,b],
если она непрерывна во всех внутренних
точках отрезка и непрерывна справа на левом конце и непрерывна слева на правом конце.
89. Свойства функций, непрерывных на отрезке ( т. 1-5).
Точки разрыва и их классификация.
Свойства: 1) Если y = f (х) непрерывна на отрезке ab
, то она достигает на этом отрезке
наибольшего и наименьшего значения. ( x є [a,b],
f(x1) > f(x) max [a,b] f(x1) = M)
Следствие: если функция непрерывна на отрезке ab, то она ограничена.
2) Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах
принимает значения разных знаков то существует по крайней мере
одна точка внутри отрезка в которой функция равна 0.
Там где функция равна 0, называют корнями уравнения f (х) = 0 (f(a) <0
f(b) >0 c є (a,b) f(c)=0)
3) Если функция непрерывна на отрезке [a,b] f (a) = А и f(b)= В, тогд
а для любого C заключенногомежду А и В найдется внутри такая
точка с є (a,b), что f(c) = C.
90. Производная. Определение.
Механический и геометрический смысл производной
производной у = f(x) называется отношение приращения функции в
этой точке к вызвавшемуэто приращение аргументу при
произвольном х 0.
f (xO) = lim y / x = lim (f(x + x) – f(x)) / x x 0
Геом.: Пусть l график функции y = f (х). МО (хО, уО) и точку М
(х+x, у+у) соединим их и получим секущую.
Касательной к кривой l в точке МО – предельное положение
МОТ секущей МОМ когда точка стремится к
совмещению с точкой МО.
уг - секущая с + направ. Ох, а уг - касательной.
Тогда tg = y / x. При x 0 в силу непрерывности
tg = tg . lim tg = tg = f (xO) k = f (xO) = tg
Касат: у = f(xO) + f (xO) (x – xO)
Нормаль: прямая МОN касательной МОТ.
у = f(xO) – (1 / f (xO))(x – xO) – нормаль
Физич: Пусть точка движется прямолинейно и за время t
проходит путь S. Средняя скорость S / t. А мгновенная в момент t : Vмг = S (t).
так ускорение производная скорости по времени; теплоемкость – кол.
тепла по температуре и так далее. Скорость изменения функции
есть производная этой функции по х.
91. Дифференцируемость функции. Определение.
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее
приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде:
Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее
от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.
Если функция дифференцируема в некоторой точке a, то она
непрерывна в этой точке.
По определению производной
Это предельное равенство означает, что выражение под знаком
предела можно представить в виде
где α(x) – бесконечно малая функция при x → a. Тогда
Следовательно, при x → a.
92. Основные правила дифференцируемости
Пусть с-постоянная,u=u(x),v=v(x)- функции,имеющие производные.
1)с`=0; 2) (uv)`=u`v`
3)(cu)`= cu` 4) (uv)`=u`v+uv`
5) (u/v)=u`v-uv`/v2
93.Производная сложной функции.
Если u = (x) имеет производную uх в точке х, а функция y = f(u) имеет
производную уu в точке u, то сложная функция y = f( (x))
имеет производную ух которая находится по формуле: ух = уu uх
Производная сложной функции равна
произведению производной данной функции по промежуточному
аргументу на производную
промежуточного аргумента по конечному.
Доказ: придадим аргументу х приращение x, тогда и функция
получит приращение u, которое в
свою очередь повлечет изменение у на y.
y/х = yu/ux и т.к u=(x) непрерывная при x0
ух = lim x 0 (u/x) lim x 0 (y/u) = уu uх
Аналогично для любого числа промежуточных элементов.