- •Линейная алгебра и геометрия.
- •1.Определители и их свойства.
- •2.Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении опред. По элементам строки или столбца.
- •3.Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, правило Крамера.
- •4. Матрицы, действия над матрицами.
- •5. Теорема о ложном разложении опред. Вычисление произвед. Квадратной матрицы на ее присоединенную.
- •6.Обратная матрица. Матричный способ решения систем линейных уравнений.
- •7.Векторы. Сложение векторов и умножение их на число.
- •10.Система координат. Выражение координат вектора через координаты его конца и начала.
- •11. Деление отрезка в данном отношении.
- •12.Прямоугольная система координат. Длина вектора. Расстояние между двумя точками.
- •14.Скалярное произведение и его свойства.
- •16.Векторное произведение и его свойства. Геометрический смысл модуля.
- •17.Вычисление координат векторного произведения. Применение к вычислению площадей.
- •18 Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл.
- •19 Вычисление смешанного произведения в координатах. Признак компланарности трех векторов
- •20. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •21. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •22. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.
- •23. Уравнение плоскости проходящей через три данные точки.
- •24. Условие параллельности вектора и плоскости. Неполные уравнения плоскости.
- •25.Расстояние от точки до плоскости
- •26. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •28.Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Угол между прямыми.
- •29. Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду.
- •30.Эллипс: геометрическое определение, вывод и исследование канонического уравнения
- •32.Парабола: геометрическое определение, вывод и исследование канонического уравнения
- •Дифференциальное исчисление.
- •1.Определение предела функции. Бесконечно малые. Представление функции в виде суммы константы и бесконечно малой.
- •2.Свойства бесконечно малых.
- •3. Предел суммы, произведения и частного.
- •4. Предел функции на бесконечности. Предел числовой последовательности.
- •5. Теорема о «двух милиционерах».
- •6. Первый замечательный предел.
- •7.Теорема о пределе монотонной ограниченной функции. Второй замечательный предел.
- •8. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
- •9. Таблица эквивалентных бесконечно малых.
- •10.Непрерывность функции в точке. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.
- •13. Определение производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции в данной точке.
- •14. Доказать, что дифференцируемая функция непрерывна.
- •15.Производная суммы и произведения функций.
- •17.Производная сложной функции.
- •20.Дифференциал функции: определение и формула для вычисления. Эквивалентность дифференцируемости и существования производной.
- •21.Теорема Ферма и Ролля.
- •23.Теорема коши об отношении приращений двух функций на отрезке
- •24.Правила Лопиталя
- •26.Возрастание и убывание функции. Доказать что, при положительной производной функция возрастает.
- •27.Точки экстремума,достаточное условие экстремума для первой производной.
- •28.Точки экстремума. Достаточное условие экстремума по второй производной.
- •29.Выпуклость и вогнутость ,точки перегиба связь со второй производной
- •31.Частные производные. Независимость смешанных частных производных от порядка дифференцирования.
- •32.Дифференцируемость функций нескольких переменных. Дифференциал функций.
- •33.Частные производные сложной функции.
- •34.Неявные функции и их производные.
- •35.Экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие экстремума.
- •36.Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Линейная алгебра и геометрия.
1.Определители и их свойства.
Определителем квадратной матрицы А=() наз. число и обозначается |А| и сопоставляется матрице А по определенному правилу.
1)опред. первого порядка( n=1),т. е. опр. Матрицы А=(a), наз. само число a , которое стоит в этой матрице |А|=a.
2)опред. второго порядка (n=2), т. е. опред. матрицы А=, наз. число |А|==равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
3)опред. третьего порядка(n=3),т.е. опред. матрицы А=наз. число, определяемое по формуле |А|=.
Правило треугольников(правило Саррюса)
«+» «-»
Свойства определителей:(для любого порядка)
|А|=() и в виде набора трех ее строк |А|=˂˃
1)кососиметричность. Если в определителе поменять местами какие-либо две строки, то опред. изменит знак. ˂˃=- ˂˃.
2)если в определителе какая-то строка, например первая, представляется в виде суммы двух строк : , то определитель равен сумме двух опред. ˂˃=˂˃+˂˃
3)если какую-то строку опред. умножить на число, то опред. умножится на это число.(общий множитель строки можно вынести за знак определителя)
˂
1-3 – основные правила
4)если в опред. две строки равны, то опред. равен нулю.
5)если в опред. какие-то две строки пропорциональны , то опред. равен нулю.
Элементарные преобраз. Первого рода i-ую и j-ую строки меняют местами,
Вторго рода: к i-ой строке прибавляется j-ая, умноженная на число λ
6)при элементарных преобразованиях второго рода опред. не меняется
7)при транспонировании опред. не меняется.
2.Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении опред. По элементам строки или столбца.
Минором элементаопред. |А| порядкаn назыв. опред. порядка n-1, который получается вычеркиванием из А строки и столбца, в которой стоит элемент А=,=||
Алгебр. Дополнение =, т. е.=
Для опред. третьего порядка знаки таковы
Теорема. Опред. равен сумме произведений элементов какой-то строки(столбца) на соответствующие алгебраич. дополнения. Например: разложение опред. третьего порядка по первой строке:|А|=
Док-во
Сгруппируем и вынесем за скобки:|А|===
3.Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, правило Крамера.
Системой m линейных уравнений с n неизвестными наз. система вида
Решением системы наз. набор чисел. Решить систему значит найти все ее решения., если имеется хотя бы 1 решение-совместная, иначе несовместной. если единственное решение-определенная ,две системы наз. эквивалентными(если имеют одинаковые решения.)
Обозначим через Δ опред. Системы , а через ,i=1,2,3
Δ=|A|=,Δ1=,Δ2=,Δ3=.
Правило Крамера: теорема. 1)если опред. системы Δ‡0, то система совместна и определена, и ее единственное решение находится (в случае n=3) по формулам Крамера: ,,
2) если Δ=0, а хотя бы один из ‡0, то система несовместна.
Если n=2, то теорема:для системы линейных уравнений второго порядка возможны 3 случая:
4. Матрицы, действия над матрицами.
Матрицей типа mxn наз. таблица с m строками и n столбцами.
Матрица типа mx1 наз. вектор-столбцом, а матрица типа 1 xn –вектор строкой
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов m=n наз. квадратной матрицей порядка n.
Диагональ квадратной матрицы, на которой стоят элементы наз. главной, а другая-побочной .
1)транспонироавание. матрица , полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
A=(2*3)матрица ,=,(3*2)
2)сложение матриц и умножение на число.
Произведением матрицы А на число λ наз. матрица λА=(λ)при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число.
Суммой матриц А=() иB=() одного и того же типаmxn наз. (mxn)- матрица С=А+B элементы складываются ,стоящие на одинаковых местах.