- •Раздел 1. Основные понятия теории вероятностей
- •Тема 1. Пространство элементарных исходов и события. Операции над событиями и отношения между ними
- •Тема 2. Классическое определение вероятности
- •Тема 3. Геометрическое определение вероятности
- •Тема 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Тема 5. Формулы полной вероятности и байеса
- •Тема 6. Схема бернулли. Предельные теоремы в схеме бернулли
- •Тема 7. Дискретные случайные величины
- •Тема 8. Непрерывные случайные величины
- •Тема 9. Законы распределения случайных величин
Тема 9. Законы распределения случайных величин
9.1. Случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и p (n – натуральное число, 0 p 1), если она принимает значения 0, 1, … , n с вероятностями .
Заметим, что характеристическое свойство (7.1) (см. тему 7) выполняется, так как в силу формулы бинома Ньютона .
Биномиальное распределение является распределением числа “успехов” в n испытаниях Бернулли с вероятностью “успеха” p и “неудачи” q = 1 – p в каждом испытании (см. тему 6).
Математическое ожидание и дисперсия с.в. ξ: M = np, D = npq.
Максимум вероятностей pk (k = 0, 1, … , n) достигается при k = [np – q] + 1, которое называется наиболее вероятным (или наивероятнейшим) числом “успехов” в n испытаниях Бернулли. Здесь [x] – целое число от x.
9.2. Случайная величина ξ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами N, M, n (N, M, n – натуральные числа, M N, n N), если она принимает значения m0, m0 + 1, m0 + 2, … , m1, с вероятностями где
m0 = max (0, N – M + n), m1 = min (M, n).
Гипергеометрическое распределение является распределением числа объектов, обладающих заданным свойством среди n объектов, случайным образом извлеченных (без возвращения) из совокупности N объектов, из которых M обладают этим свойством (см. тему 2).
Математическое ожидание и дисперсия с.в. ξ: .
9.3. Случайная величина ξ имеет геометрическое распределение с параметром p (0 < p < 1), если она принимает значения 1, 2, … , n, …. (счетное множество значений) с вероятностями
.
Воспользовавшись формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, убеждаемся, что характеристическое свойство (7.1) (см. тему 7) выполняется:
.
Геометрическое распределение является распределением числа испытаний Бернулли до появления первого “успеха”, если вероятность “успеха” в каждом испытании равна p.
Математическое ожидание и дисперсия с.в. ξ:
.
9.4. Случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром ( > 0), если она принимает значения 0, 1, … , n, …. (счетное множество значений) с вероятностями
.
Характеристическое свойство (7.1) снова выполнено, так как
.
Распределение Пуассона является пределом биномиального распределения, когда в схеме Бернулли n и p 0 так, что np = > 0. Поскольку при этом вероятность “успеха” p мала, то распределение Пуассона часто называют законом распределения редких событий.
Математическое ожидание и дисперсия с.в. ξ совпадают:
M = D = .
9.5. Случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], где a < b, если её плотность распределения p(x) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его:
Функция распределения с.в. ξ, распределенной по равномерному закону на отрезке [a, b], имеет вид
Графики функций p(x) и F(x) приведены на рис. 9.1.
Рис.9.1. Плотность и функция распределения равномерного закона
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной с.в. ξ:
.
9.6. Случайная величина ξ имеет показательное (или экспоненциальное) распределение с параметром ( > 0), если её плотность распределения p(x) имеет вид
Функция распределения с.в. ξ, распределенной по показательному закону, равна
Графики функций p(x) и F(x) приведены на рис. 9.2.
Рис.9.2. Плотность и функция распределения показательного закона
Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной с.в. ξ:
.
9.7. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами a и (– < a < , > 0), если её плотность распределения p(x) выражается формулой
,
а функция распределения
,
где – функция Лапласа (см. тему 6).
Подчиненность с.в. нормальному закону распределения с параметрами a и символически обозначается N(a, ).
Графики функций p(x) и F(x) приведены на рис. 9.3.
Рис.9.3. Плотность и функция распределения нормального закона
Математическое ожидание с.в., распределенной по нормальному закону, равно параметру a, дисперсия равна 2:
M = a, D = 2.
Нормальное распределение при a = 0 и = 1 называется стандартным нормальным. Плотность и функция распределения этого закона распределения равны соответственно
и , – < x < .
Теорема. Пусть с.в. N(a, ) и <х1, х2> один из интервалов (конечный или бесконечный) вида [х1, х2], [х1, х2), (х1, х2], (х1, х2). Тогда
1) ;
2) для любого числа > 0.