- •Решение:
- •1). Располагаем значение результатов эксперимента в порядке возрастания, т.Е. Записываем вариационный ряд:
- •2). Находим размах варьирования: .
- •Задание II
- •Решение:
- •Задание I
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Критические точки распределения Пирсона
Элементы математической статистики
Решение типового варианта
Задание I
В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда:
Требуется:
-
записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;
-
найти размах варьирования и разбить его на ряд частичных интервалов;
-
построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;
-
найти числовые характеристики выборки (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение);
-
приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить её, критерием Пирсона при уровне значимости ;
-
найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности .
-
44,8
46,2
45,6
44,0
46,4
45,2
46,7.
45,4
45,3
46,1
44,3
45,3
45,6
46,7
44,5
46,0
45,7
45,0
46,4
45,9
44,4
45,4
46,1
43,4
46,5
45,9
43,9
45,7
47,1
44,9
43,8
45,6
45,2
46,4
44,2
46,5
45,7
44,7
46,0
45,8
44,3
45,5
46,7
44,9
46,2
46,7
44,6
46,0
45,4
45,0
45,4
45,3
44,1
46,6
44,8
45,6
43,7
46,8
45,2
46,1
44,5
45,4
45,1
46,2
44,2
46,4
45,7
43,9
47,2
45,0
43,9
45,6
44,9
44,5
46,2
46.7
44,3
46,1
47,7
45,8
45,6
45,2
44,2
46,0
44,7
46,5
43,5
45,4
47,1
44,0
46,2
44,2
45,5
46,0
45,7
46,4
44,6
47,0
45,2
46,9
Решение:
1). Располагаем значение результатов эксперимента в порядке возрастания, т.Е. Записываем вариационный ряд:
-
43,4
43,5
43,7
43,8
43,9
43,9
43,9
44,0
44,0
44,1
44,2
44,2
44,2
44,3
44,3
44,3
44,4
44,5
44,5
44,5
44,6
44,6
44,7
44,7
44,8
44,8
44,8
44,9
44,9
44,9
45,0
45,0
45,1
45,2
45,2
45,2
45,2
45,2
45,3
45,3
45,3
45,4
45,4
45,4
45,4
45,4
45,4
45,5
45,5
45,6
45,6
45,6
45,6
45,6
45,7
45,7
45,7
45,7
45,7
45,7
45,8
45,8
45,9
45,9
46,0
46,0
46,0
46,0
46,0
46,0
46,1
46,1
46,1
46,1
46,2
46,2
46,2
46,2
46,2
46,4
46,4
46,4
46,4
46,4
46,5
46,5
46,5
46,6
46,7
46,7
46,7
46,7
46,7
46,8
46,9
47,0
47,1
47,1
47,2
47,7
2). Находим размах варьирования: .
Иногда для определения данных интервала используют формулу , где - объем выборки. За величину частичного интервала принимается некоторое удобное число, ближайшее к полученному . Число таких интервалов определяется формулой . В качестве границы первого интервала можно выбрать значение . Тогда границы следующих частичных интервалов вычисляем по формуле , где принимает значения от 1 до .
В нашем примере . Объём выборки , тогда . Примем за . Следовательно, разобьем наш вариационный ряд на интервалов.
Находим середины интервалов: . Подсчитываем число значений результатов эксперимента, попавших в каждый интервал, т.е. находим частоты интервалов . Далее вычисляем относительные частоты и их плотности . Все полученные результаты помещаем в таблицу (табл. 1).
Таблица 1.
-
Номер
частичного интервала i
Границы
интервала
Середина интервала
Частота
интервала
Относительная частота
Плотность относитель-
ной частоты
1
43,40 – 43,96
43,68
7
0,07
0,13
2
43,96 – 44,52
44,24
13
0,13
0,23
3
44,52 – 45,08
44,80
12
0,12
0,21
4
45,08 – 45,64
45,36
22
0,22
0,39
5
45,64 – 46,20
45,92
25
0,25
0,45
6
46,20 – 46,76
46,48
14
0,14
0,25
7
46,76 – 47,32
47,04
6
0,06
0,11
8
47,32 – 47,88
47,60
1
0,01
0,02
–
100
–
3). Строим полигон частот – ломанную линию, отрезки которой соединяют точки , , …, (рис. 1) и гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы, длиною , а высоты равны плотности относительной частоты (рис.2).
Рис. 1. Полигон частот
Рис.2. Гистограмма относительных частот
Найдем значения эмпирической функции распределения (функции распределения выборки) – функции, определяющей для каждого значения относительную частоту события .
Итак, по определению,
,
где - число вариант, меньших ; - объём выборки.
, , ,
, , ,
, , .
Строим график эмпирической функции распределения (рис. 3).
Рис. 3. График эмпирической функции распределения
4). Находим выборочное среднее:
и выборочную дисперсию: .
Для этого составляем расчетную таблицу (табл. 2).
Таблица 2.
|
Границы интервала
|
Середина интервала
|
Частота интервала |
|
|
|
1 |
43,40 – 43,96 |
43,68 |
7 |
305,76 |
1907,94 |
13355,60 |
2 |
43,96 – 44,52 |
44,24 |
13 |
575,12 |
1957,18 |
25443,31 |
3 |
44,52 – 45,08 |
44,80 |
12 |
537,60 |
2007,04 |
24084,48 |
4 |
45,08 – 45,64 |
45,36 |
22 |
997,92 |
2057,53 |
45265,65 |
5 |
45,64 – 46,20 |
45,92 |
25 |
1148,00 |
2108,65 |
52716,16 |
6 |
46,20 – 46,76 |
46,48 |
14 |
650,72 |
2160,39 |
30245,47 |
7 |
46,76 – 47,32 |
47,04 |
6 |
282,24 |
2212,76 |
13276,57 |
8 |
47,32 – 47,88 |
47,60 |
1 |
47,60 |
2265,76 |
2265,76 |
|
|
– |
100 |
4544,96 |
– |
206653 |
Из нее получаем: , , .
Несмещённой называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки.
Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, а исправленная дисперсия - несмещенной оценкой:
, .
5). Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия: («хи квадрат») К. Пирсона, Колмагорова, Фишера, Смирнова и др.
По условию задачи нам необходимо использовать критерий Пирсона, правило применения которого сводится к следующему:
-
вычислить теоретические частоты, затем наблюдаемое значение критерия по формуле ;
-
по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , где – число интервалов, найти критическую точку ;
-
если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу;
если – нулевую гипотезу отвергают.
Согласно критерию Пирсона необходимо сравнить эмпирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты даны. Найдем теоретические частоты. Для этого пронумеруем , т.е. перейдем к случайной величине и вычислим концы интервалов: и . Наименьшее значение положим стремящимся к , а наибольшее – , стремящимся к . Результаты занесем в таблицу (табл. 3). Число наблюдений в отдельных интервалах должно быть достаточно большим (рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5-10 наблюдений). Если в отдельных интервалах очень малы, следует объединить интервалы. Длины интервалов могут быть различными. В соответствии с этим число исходных интервалов может быть уменьшено. Так как , то последний девятый интервал объединим с восьмым и получим интервал с частотой .
Таблица 3.
-
Границы интервала
Границы интервала
1
43,40 44,96
–
-0,49
-1,31
2
43,96 44,52
-0,49
-0,93
-1,31
-1,02
3
44,52 45,08
-0,93
-0,37
-1,02
-0,41
4
45,08 45,64
-0,37
0,19
-0,41
0,21
5
45,64 46,20
0,19
0,75
0,21
0,82
6
46,20 46,76
0,75
1,31
0,82
1,44
7
46,76 47,88
1,31
–
1,44
Находим теоретические вероятности и теоретические частоты: . Составляем расчетную таблицу (табл. 4). Значения функции берём из прил.1.
Таблица 4.
-
Границы интервала
1
-1,31
-0,5000
-0,4049
0,0951
9,51
2
-1,31
-1,02
-0,4049
-0,3461
0,0588
5,88
3
-1,02
-0,41
-0,3461
-0,1591
0,1870
18,70
4
-0,41
0,21
-0,1591
0,0832
0,2423
24,23
5
0,21
0,82
0,0832
0,2939
0,2107
21,07
6
0,82
1,44
0,2939
0,4251
0,1312
13,12
7
1,44
0,4251
0,5000
0,0749
7,49
–
–
–
–
1
100
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу (табл. 5). Последние два столбца служат для контроля вычислений по формуле:
Таблица 5
-
1
7
9,51
-2,51
6,3001
0,6625
49
5,1525
2
13
5,88
7,12
50,6944
8,6215
169
28,7415
3
12
18,70
-6,70
44,89
2,4005
144
7,7005
4
22
24,23
-2,23
4,9729
0,2052
484
19,9752
5
25
21,07
3,93
15,4449
0,7330
625
29,6630
6
14
13,12
0,88
0,7744
0,0590
196
14,9390
7
7
7,49
-0,49
0,2401
0,0321
49
6,5421
100
100
–
–
12,7138
–
112,7138
Контроль: .
По таблице критических точек распределения (см. прил. 3), уровню значимости и числу степеней свободы ( – число интервалов) находим: .
Так как , то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.
6). Если случайная величина генеральной совокупности распределена нормально, то с надежностью можно утверждать, что математическое ожидание случайной величины покрывается доверительным интервалом , где – точность оценки. Значение определяется из условия , т.е. .
В нашем случае: , , , , . Из прил.1 находим , . Доверительным интервалом для будет . Доверительный интервал, покрывающий среднее квадратичное отклонение с заданной надежностью : , где находится по данным и из прил. 2. При и имеем: . Доверительным интервалом для будет .