- •Тема 1. Элементы линейной и векторной алгебры
- •1.1. Линейная алгебра
- •Определители и их свойства
- •Пример.
- •1.2. Векторная алгебра
- •Скалярные и векторные величины
- •Проекция вектора на ось
- •Линейные операции над векторами и их свойства
- •Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •Выражение скалярного произведения через координаты векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •Смешанное произведение трех векторов
- •Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Матричный способ
- •Матричный способ решения систем.
- •Построение обратной матрицы
- •«Элементы линейной и векторной алгебры»
- •Контрольные вопросы к экзамену
ВВЕДЕНИЕ
Цель настоящего издания – снабдить студентов-заочников рабочей программой и контрольными заданиями по курсу высшей математики.
Пособие содержит рабочую программу и контрольные вопросы по каждой теме, список учебной литературы, примеры решения задач, контрольные задания и основной теоретический материал, необходимый для освоения курса и решения задач.
Распределение объемов занятий и видов учебной работы при изучении высшей математики для студентов-заочников всех специальностей дано в табл. 1.
Таблица 1
Семестр |
Занятия, часы |
Выполнение контрольных работ |
Контроль | |||
Лекции |
Лабораторные работы |
Практические занятия |
Самостоятельные работы | |||
1-6 |
8-32 |
- |
8-12 |
600-800 |
1-6 |
Экзамен или зачет |
Основной формой изучения дисциплины являются самостоятельная работа студента с рекомендованной литературой и решение индивидуальных контрольных заданий. Ознакомление с теоретическими сведениями, содержащимися в пособии, не может заменить системной работы с литературой. Прежде чем переходить к решению задач, следует ответить на контрольные теоретические вопросы по данной теме, приведенные в пособии.
По каждой теме достаточно ознакомиться с одним (любым) из указанных учебников.
Номер темы в пособии |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Рекомендуемая для предварительной проработки литература |
[1], гл.1, §§1-3; гл.5, §§1-6 [4], гл.3,9 |
[1], гл.2-3, §§1,2 [4], гл. 3, |
[3], гл.1-6, [4], гл.4,5,6 |
[3], гл.10-12, [4], гл.7,8 |
[3], гл.8, [4],гл.11,12 |
[3], гл.13, [4], гл.15 |
Выполнять контрольные работы следует по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой учебного шифра. В качестве учебного шифра принимают последнюю цифру номера зачетной книжки студента. Если эта цифра ноль, то следует выполнять десятый вариант. Каждый пример (или примеры, если их в задании несколько) пронумерован тремя цифрами: первая означает номер контрольной работы, вторая - номер задания в контрольной работе, третья - номер варианта. Например, если учебный шифр оканчивается цифрой 7, то нужно решать в каждом задании контрольной работы №1 примеры под номером 7, т.е. примеры 1.1.7., 1.2.7., 1.3.7., 1.4.7., 1.5.7.
При выполнении и оформлении контрольных работ необходимо соблюдать следующие указания:
1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.
2. На обложке тетради должны быть написаны фамилия и инициалы студента, учебный шифр, номер контрольной работы и дата отсылки работы в институт.
3. В работу должны быть включены все примеры, указанные в заданиях, строго по варианту. Работы, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.
4. Решения задач следует располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условия. Если несколько задач имеют общую формулировку, переписывая условия задачи, следует заменить общие данные конкретными из данного варианта.
6. Решение задач и объяснения к ним должны излагаться подробно и аккуратно.
7. После получения из ПГТУ прорецензированной работы, студент обязан исправить все отмеченные в работе недостатки; в случае незачета - в кратчайший срок выполнить все требования преподавателя и предоставить работу на повторную проверку, приложив при этом первоначальный её вариант.
8. В период экзаменационной сессии студент обязан представить все прорецензированные и зачтенные контрольные работы.
Тема 1. Элементы линейной и векторной алгебры
Программный объём темы:
Матрицы и операции над ними. Ранг матицы.
Определители и их свойства. Вычисление определителей.
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса, правило Крамера, матричный метод решения систем.
Векторы, операции над векторами, разложение вектора, линейные операции над векторами.
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства и приложения.
1.1. Линейная алгебра
Определение. Матрицей А размера называется таблица чисел, записанная в виде
Короче матрицу обозначают так:
.
Числа называются элементами матрицы. Элементы матрицы образуют столбцы и строки. В обозначении элементапервый индексуказывает номер строки, а второй- номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.
Если в матрице число строк равно числу столбцов , то матрица называется квадратнойn-го порядка. Если же , то матрица называется прямоугольной.
В матрице А m строк и n столбцов.
Если , то получается однострочная матрица , которая называется вектор-строкой.
Если же , то получается одностолбцовая матрица
,
которая называется вектор-столбцом.
Две матрицы: иназываются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е., еслипри всехi,j (при этом число столбцов и строк матриц А и В должно быть одинаковым).
Матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим операции над матрицами.
Суммой двух матриц иодного размераназывается новая матрицатого же размера, элементы которой определяются равенством
.
Обозначение: A+B=C .
Пример 1.
Аналогично определяется разность двух матриц.
Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы
Пример 2.
Произведение двух матриц.
Произведением матрицы размера(m строк, k столбцов) на матрицу размера(k строк, n столбцов) называется матрица размера(m строк, n столбцов), у которой элемент равен сумме произведений элементовi-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, т.е.
При этом число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение матриц не определено.
Обозначение: .
Пример 3.
Пример 4.
Отсюда видно, что ,т.е. умножение матриц не перестановочно.
Легко проверить, что для суммы и произведения матриц справедливы следующие свойства.
Единичная матрица.
Совокупность элементов квадратной матрицыназывается главной диагональю матрицы.
Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Единичной матрицей 3-го порядка будет .
Произведение квадратной матрицы любого порядка на единичную матицу того же порядка не меняет данную матрицу.
Пример 5.
Очевидно, .