metodichka_excel_2sem от шуваловой 1
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.Алексеева
ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ
ВПРОГРАММЕ MS EXCEL
КЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО КУРСУ
« ИНФОРМАТИКА»
Методическая разработка для студентов дневной, вечерней и заочной формы обучения
для всех специальностей
Нижний Новгород 2014
3
Составители: Т.В. Моругина, О.И. Чайкина.
УДК 651.3.06
Практикум по численным методам в программе MS Excel к лабораторным работам по курсу « Информатика» методическая разработка для студентов дневной, вечерней и заочной формы обучения для всех специальностей/ НГТУ; Сост.: Т.В. Моругина, О.И. Чайкина. Н.Новгород, 2014. 28 с.
Изложены примеры решения задач по численным методам в программе MS Excel к лабораторным работам по курсу «Информатика». Приведены типовые задачи.
Научный редактор А.А. Куркин Редактор Э.Б. Абросимова
Подп. к печ. Формат 60х84 116 . Бумага газетная. Печать офсетная.Печ.л.1,5 .Уч.-
изд. л. . Тираж экз. Заказ
______________________________________________________________
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е.Алексеева Типография НГТУ. 603950,Н.Новгород, ул.Минина,24.
© Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е.Алексеева,2014
4
Лабораторная работа №1 Решение нелинейного уравнения с одной неизвестной. Методы отделения и
уточнения корней.
Постановка задачи. Для данного нелинейного уравнения y(x)=0 с одной неизвестной величиной на промежутке [a,b] отделить корни с шагом h (Шаговым методом) и уточнить корень с точностью ε :
методом половинного деления;
методом Ньютона;
методом простой итерации.
Идея метода
Название |
Выбор начального |
Итерационная формула |
Окончание |
метода |
значения |
|
процесса |
|
|
|
вычислени |
|
|
|
я |
Шаговый |
x=a |
y=f(x) – значение функции в точке |
x1<=b |
метод |
|
x, |
|
|
|
x1=x+h – следующее значение |
|
|
|
переменной x, |
|
|
|
y1=f(x1) - значение функции в |
|
|
|
точке x1, |
|
|
|
y*y1<0 - признак интервала |
|
|
|
изоляции |
|
Метод |
[a,b] – интервал |
x=(a+b)/2 – середина интервала, |
|b-a|<ε |
половинного |
изоляции |
f(a) –значение функции в точке a, |
|
деления |
|
f(x) –значение функции в точке x, |
|
|
|
если f(a)*f(x)<0, то выбираем |
|
|
|
[a,x], |
|
|
|
если f(a)*f(x)>0, то выбираем [x,b] |
|
Метод |
x0 = a или x0 = b, |
f1(x) – первая производная |
|f(xi)|<ε |
Ньютона |
f2(x)-вторая |
функции f(x) |
|
|
производная |
xi+1 = xi - f(xi)/f1(xi) |
|
|
функции f(x), |
|
|
|
f(x0)*f2(x0)>0 |
|
|
Метод |
привести уравнение |
xi+1= φ(xi) |
|f(xi)|<ε |
простой |
к виду |
|
|
итерации |
x= φ(x), |
|
|
(1-й способ) |
x0 = a или x0 = b |
|
|
|
|φ(a)|<1, |
|
|
|
|φ(b)|<1, |
|
|
|
если |φ(a)| > |φ(b)|,то |
|
|
|
x0=a, |
|
|
|
если |φ(a)| < |φ(b)|,то |
|
|
|
x0=b |
|
|
Метод |
f1(x) – первая |
с=1/max(|f1(a)|;|f1(b)|) |
|f(xi)|<ε |
простой |
производная |
xi+1 = xi – c*f(xi) |
|
итерации |
функции f(x); |
|
|
(2-й способ) |
если |f1(a)| > |f1(b)|, |
|
|
|
то x0=a, |
|
|
|
если |f1(a)| < |f1(b)|, |
|
|
|
то x0=b |
|
|
5
Шаговый метод.
Постановка задачи: шаговым методом найти интервал изоляции корня нелинейного уравнения ln(x) - x + 1,8 = 0 на интервале 2 x 3, шаг hx = 0,1.
.
Документ MS Excel:
1. Шаговый метод
Ввести в ячейки Таблицы 1 интервал [ a, b] и шаг (Рис.1)
Рис.1. Исходные данные Заполним Таблицу 2, как показано на Рис.2
Рис.2
Копируем формулы из ячеек А12 и B11 вниз по столбцу, получаем таблицу решения (Рис.3), из которой находим интервал изоляции корня, т. е. интервал, где функция меняет знак - [2,8; 2,9];
Рис.3
Строим график функции f(x) = ln(x) - x + 1,8. Выделим диапазон A10:B21. Затем меню Вставка/Диаграмма.
Метод половинного деления
Постановка задачи: найти корень нелинейного уравнения ln(x) - x + 1,8 = 0 методом половинного деления на интервале изоляции корня [2.8; 2.9] с точностью eps=0.001.
Документ MS Excel:
. Метод половинного деления
Заполним Таблицу 6 (Рис.9):
-A51 ввести формулу = A34; (левый конец интервала)
6
-B51 ввести формулу |
= (A51 + C51)/2; (средняя точка интервала) |
|
-C51 ввести формулу |
= A35; (правый конец интервала) |
|
-D51 ввести формулу |
= LN(A51)-A51+1,8; ( f(x) в левом конце интервала) |
|
-E51 ввести формулу |
= LN(B51)-B51+1,8; ( f(x) в средней точке интервала) |
|
-F51 ввести формулу |
= D51*E51; |
|
-G51 |
ввести формулу |
= IF(ABS(E51)<$C$29;”Корень”;””); ( Комментарий) |
-A52 |
ввести формулу |
= IF(F51<0;A51;B51); ( Выбираем левый конец нового интервала ) |
-С52 ввести формулу |
= IF(F51<0;B51;C51); (Выбираем правый конец нового интервала) |
Копируем формулы из ячеек A52, B51, C52, D51:E51 по столбцам, до получения решения.
Рис.4 Электронн ый бланк метода половинно го деления
Ответ:
Корень х =
2,8458984,
найден на
9-ой
итерации с точностью 0,0001.
Метод Ньютона
Постановка задачи: найти корень нелинейного уравнения ln(x) - x + 1,8 = 0 методом Ньютона на интервале изоляции корня [2.8; 2.9] с точностью eps=0.001.
Документ MS Excel:
Ввести в ячейки Таблицы 3 интервал изоляции корня [2,8; 2,9] и точность (Рис.5):
A29 = 2,8, B29 = 2,9, С29 = 0,0001
Рис.5
Выполнить проверку условия сходимости: F(xo)·F’’(x0) > 0, т.е. нужно взять левый конец интервала х0 = 2,8и посмотреть знак произведения функции в этой точке F(2,8) на значение ее второй производной в этой же точке F’’(2,8), знак должен быть положительный. В этом случае х0 = 2,8 берем за начальное приближение к корню, в противном случае проверяем второй конец интервала (х0=2,9).
- Заполняем Таблицу 4, как показано на Рис.6:
- Копируем формулы из ячеек B34:D34 в ячейки B35:D35.
Рис 6 Решение:
За начальное приближение берем правый конец интервала х0 = 2,9(Рис.6) Заполним Таблицу 5 – расчет по методу Ньютона (Рис.7):
7
-A42 ввести формулу |
= A35; (начальное приближение) |
|
- B42 |
ввести формулу |
= LN(A42)-A42+1,8; (формула функции f(x) в точке х0) |
- C42 |
ввести формулу |
= 1/A42 - 1; ( формула первой производной функции f(x0) ) |
- A43 |
ввести формулу |
= A42 - B42/C42; (итерационная формула метода, находим х1) |
- D42 |
ввести формулу |
= IF(ABS(B42)<$C$29;”Корень”;””); (Проверка на точность) |
Копируем формулы из диапазона B42:D42 и A43 вниз по столбцам до получения решения.
Таблица 5
электронный бланк решения:
Ответ: Корень х = 2,845868 найден на третьей итерации с точностью 0,0001.
Рис.7
Метод простой итерации
Постановка задачи: найти корень нелинейного уравнения ln(x) - x + 1,8 = 0 методом простой итерации на интервале изоляции корня [2.8; 2.9] с точностью eps=0.001.
Документ MS Excel:
1 способ метода простой итерации
Заданное уравнение ln(x) - x + 1,8 = 0 (f(x) = 0) преобразуем в приведенное, в котором в левой части оставим х, а в правую перенесем все остальное: x = ln(x) + 1,8 (x = φ(x)).
На полученном шаговым методом интервале изоляции корня [2,8 ; 2,9] выполним проверку условия сходимости метода для приведенной функции φ(x) = ln(x) + 1,8 в концах интервала.
Условие сходимости |φ’(x0)| 1, где х0 = 2,8 или х0 = 2,9. Первая производная φ’(x) = 1/x. Заполним Таблицу 7. Затем Таблицу результатов. См Рис.10:
Рис.10
8
Заполним Таблицу 7 – расчет по методу простой итерации (Рис.10): -A70 ввести начало интервала 2,8;
-A71 ввести конец интервала 2,9;
- B70 ввести формулу = 1/A70; (формула первой производной функции φ(x) в точке 2,8); -Копируем формулу из B70 в B71 и смотри на каком конце интервала φ’(x) будет <1, эту
точку берем за начальное приближение –х0;
Заполним Таблицу результатов – расчет по методу Итераций (Рис.10):
-A75 ввести начальное приближение х0=2.9;
-B75 ввести формулу = LN(A75)-A75+1,8(функция f(x) в точке х0);
-C75 ввести формулу = LN(A75)+1,8; (итерационная формула метода, находим первое приближение - х1)
-D75 ввести формулу IF(ABS(B75)<$C$29;”Корень”;””); (Проверка на точность)
-Копируем формулы из диапазона B75: D75 по столбцам(вниз), до тех пор пока не появится слово КОРЕНЬ. На этом процесс расчета закончен. ;
-Копируем формулы из А76 по столбцам(вниз) до соответствующей ячейки.
В результате расчета получаем следующий электронный бланк
2 способ метода простой итерации
Заданное уравнение ln(x) - x + 1,8 = 0 (f(x) = 0) преобразуем в приведенное, x=x+koef*f(x)
На полученном шаговым методом интервале изоляции корня [2,8 ; 2,9] найдем значение koef. koef=1/max{ |f’(2,8|;|f’(2,9)|}.
|f’(2,9)|> |f’(2,8| т.к. |-0,655172414|>|-0,642857143| koef=1/(-0,655172414) . Следовательно х0 = 2,9 .
Заполним Таблицу результатов. См Рис.11:
Рис.11
9
Заполним Таблицу результатов – расчет по методу простой Итераций (Рис.11):
-A75 ввести начальное приближение х0=2.9;
-B75 ввести формулу = LN(A75)-A75+1,8(функция f(x) в точке х0);
-A76 ввести формулу =A75-1/(-0,655172414)*B75; (итерационная формула метода, находим первое приближение - х1)
-C75 ввести формулу IF(ABS(B75)<$C$29;”Корень”;””); (Проверка на точность)
-Копируем формулы из диапазона B75: C75 по столбцам(вниз), до тех пор пока не появится слово КОРЕНЬ. На этом процесс расчета закончен. ;
-Копируем формулы из А76 по столбцам(вниз) до соответствующей ячейки.
В результате расчета получаем следующий электронный бланк
Лабораторная работа №2
Решение систем линейных уравнений. Прямые и итерационные методы. |
|
|
|
|
|
||||
Постановка задачи: Дана система линейных уравнений |
|
|
|
|
|
||||
A11*x1+A12*x2+A13*x3+A14*x4=B1; |
найти точное решение методом Гаусса, |
|
|
|
|
||||
A21*x1+A22*x2+A23*x3+A24*x4=B2; |
найти приближѐнное решение методом простой |
|
|||||||
A31*x1+A32*x2+A33*x3+A34*x4=B3; |
итерации с точностью ε, |
|
|
|
|
|
|||
A41*x1+A42*x2+A43*x3+A44*x4=B4 ; |
найти приближѐнное решение методом Зейделя с |
||||||||
|
|
|
точностью ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
|||
Название |
Начальное |
|
Итерационная формула |
|
Остановка |
||||
метода |
приближение |
|
|
|
процесса |
||||
|
|
|
|
|
вычисления |
||||
Метод |
Определитель |
|
Прямой ход – приведение матрицы к |
|
Получение |
||||
Гаусса |
матрицы не равен |
|
треугольному виду. |
|
значений |
||||
|
нулю |
|
Обратный ход – вычисление |
|
|
всех |
|
|
|
|
|
|
неизвестных, начиная с последнего |
|
неизвестных |
||||
|
|
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
Название |
Начальное |
|
Итерационная формула |
|
Остановка |
||||
метода |
приближение |
|
|
|
процесса |
||||
|
|
|
|
|
вычисления |
||||
Метод |
Проверка условия |
|
x1i+1=(B1-( A12*x2i+A13*x3i+A14*x4i))/ A11 |
|
|x1i+1-x1i|<ε |
||||
простой |
сходимости |
|
x2i+1=(B2-( A21*x1i+A23*x3i+A24*x4i))/ A22 |
|
|x2i+1-x2i|<ε |
||||
итерации |
|A11|>|A12|+|A13|+|A14| |
|
x3i+1=(B3-( A31*x1i+A32*x2i+A34*x4i))/ A33 |
|
|x3i+1-x3i|<ε |
||||
|
|A22|>|A21|+|A23|+|A24| |
|
x4i+1=(B4-( A41*x1i+A42*x2i+A43*x3i))/ A44 |
|
|x4 |
i+1 |
-x4 |
i |
|<ε |
|
|A33|>|A31|+|A32|+|A34| |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|A44|>|A41|+|A42|+|A43| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбор начального |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приближения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x10=0 x20=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x30=0 x40=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10
Метод |
Проверка условия |
x1i+1=(B1-( A12*x2i+A13*x3i+A14*x4i))/ A11 |
|
|
|
|
|x1i+1-x1i|<ε |
||||||||||
Зейделя |
сходимости |
x2i+1=(B2-( A21*x1i+1+A23*x3i+A24*x4i))/ A22 |
|
|
|
|x2i+1-x2i|<ε |
|||||||||||
|
|A11|>|A12|+|A13|+|A14| |
x3i+1=(B3-( A31*x1i+1+A32*x2i+1+A34*x4i))/ A33 |
|
|
|x3i+1-x3i|<ε |
||||||||||||
|
|A22|>|A21|+|A23|+|A24| |
x4i+1=(B4-( A41*x1i+1+A42*x2i+1+A43*x3i+1))/ A44 |
|
|
|x4 |
i+1 |
-x4 |
i |
|<ε |
||||||||
|
|A33|>|A31|+|A32|+|A34| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|A44|>|A41|+|A42|+|A43| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбор начального |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приближения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x10=0 x20=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x30=0 x40=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод Гаусса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Постановка задачи: Дана система линейных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7*x1+3*x2-x3+2*x4=5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2*x1-4*x2+x4=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2*x1-x2+5*x3+x4=4 |
|
Запись системы в матричном виде |
|
|
|
|
|||||||||||
-x2+3*x2+х3+6*x4=-1 |
|
7 |
3 |
1 |
2 |
x1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
||||
найти точное решение методом Гаусса. |
|
2 |
4 |
0 |
1 |
x2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
5 1 |
x3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
1 6 |
x4 |
|
1 |
|
|
|
|
Документ MS Excel:
11
|
А |
В |
С |
D |
E |
12