Минобрнауки россии
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»
(НГТУ)
Лабораторная работа по численным методам №1
Тема: «Теория погрешностей и решение СЛАУ»
Выполнила:
Студентка группы 10-ПМ
Хитева Д.В.
Проверила:
Катаева Л.Ю.
Н. Новгород, 2012 г.
Содержание
Постановка задачи
Теоретический материал
Excel
Fortran
C++
Вывод
Список использованной литературы
Постановка задачи
Изучить теорию погрешностей и методы решения систем линейных уравнений в теории. Реализовать свои знания на практике.
Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных.
Необходимо найти решения системы линейных уравнений методами: Гаусса, простой итерации, Зейделя, Крамера, главных элементов, квадратных корней, Халецкого. Написать данные методы решения на языках программирования: С++ и Fortran, а так же выполнить ручной счет, проверить его в Excel и выявить какой из методов более эффективный.
Необходимым и достаточным условием существования единственного решения СЛАУ является условие det A≠0, т.е. определитель матрицы A не равен нулю. В случае равенства нулю определителя матрица A называется вырожденной и при этом СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.
Теоретический материал Источники и классификация погрешностей результата
Получить точное значение при решении задачи на машине практически невозможно. Получаемое решение всегда содержит погрешность и является приближенным. Источники погрешности:
• Погрешность математической модели
• Погрешность в исходных данных
• Погрешность численного метод.
• Погрешность округления или отбрасывания.
Погрешность математической модели определяется выбором математической модели. Так для описания падения тела с высоты и имеющего скоростьиспользуются уравнения:
при допущении, что тело обладает средней плотностью, значительно превышающей плотность воздуха, а его форма близка к шару. В этом случае можно пренебречь сопротивлением воздуха.
Если учитывать силу сопротивления , действующую на тело массой, тогда движение тела можно описать с помощью уравнений:
Погрешность в исходных данных определяется: погрешностью измерения или погрешностью вычислений, с помощью которых они были получены.
Погрешность численного метода определяется точностью выбранного числено метода и вычислительного средства.
Типы погрешностей.
Пусть α* – точное (и никогда неизвестное) значение некоторой величины, а α – приближенное значение этой же величины.
Абсолютной погрешностью приближенного значения α называется величина:
Относительной погрешностью приближенного значения α называется величина:
Так как точное значение α* как правило, неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:
,
Величины иназывают предельной абсолютной и относительной погрешностью соответственно. В вычислениях вместо абсолютной и относительной погрешностей будем использовать предельные погрешности.
Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
Значащую цифру называют верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре или верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Особенности машинной арифметики
Вещественные числа в ЭВМ представляются в экспоненциальном виде (с плавающей точкой):
, где m - мантисса ,b-основание системы счисления n - порядок
Погрешности вычислений.
Абсолютная погрешность суммы или разности нескольких чисел не превосходит суммы абсолютных погрешностей этих чисел.
Относительная погрешность суммы:
Относительная погрешность разности:
Относительные погрешности произведения и частного:
Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих переменных:
Обусловленность будем определять как отношение
Задачи с большим отношением называют плохо обусловленными, иначе - хорошо обусловленными. Плохо обусловленные задачи лучше не решать, а подумать над другим способом представления модели, выбрать иной метод или изменить алгоритм . Часто это возможно.
Способ записи формулы влияет на точность результата.
Метод Крамера
Рассмотрим систему из n уравнений с n неизвестными: