GEOMETRIYa_1
.doc
ГЕОМЕТРИЯ
-
Аффинные пространства. Аффинные координаты. Формулы преобразования аффинных координат точек.
-
Плоскости в аффинных пространствах.
Плоскость определенной точкой и двумя неколлинеарными векторами называется множество точек аффинного пространства такое что .
- числа (параметры)
- векторно-параметрическое уравнение плоскости
– опорная точка
- базисные векторы плоскости
- общее уравнение плоскости
Одномерная плоскость – прямая.
Если m = n – 1, то плоскость называется гиперплоскостью.
- параметрическое уравнение n-мерной плоскости
Если ранг = 1, то плоскости совпадают.
Если ранг матрицы = 2, то плоскости пересекаются по прямой.
Плоскости называются параллельными, если либо
(ранг матрицы =1 ранг расширенной матрицы = 2)
Плоскости называются скрещивающимися, если они не параллельны и не имеют общих точек.
-
Аксиомы скалярного умноження. Евклидовые векторные пространства. Евклидовые точечно-векторные пространства.
4.Угол между векторами. Ортогональные векторы. Ортонормированные базисы и прямоугольные координаты.
5. Векторное и смешанное произведение.
6. Теория прямых на аффинной плоскости.
7.Теория прямых на евклидовой плоскости.
8. Эллипс, гипербола, парабола.
9.Площини у 3-вимірному афінному та евклідовому просторі.
Плоскость в трехмерном аффинном пространстве может быть задана:
1) векторно параметрическим уравнением , где a, b – неколлинеарные направленные векторы плоскости, - радиус-вектор фиксированной точки плоскости.
Возьмем теперь в пространстве аффинную систему координат Охyz. Пусть в этой системе координат точки и векторы имеют соответствующие координаты . Тогда в заданной системе координат уравнения равносильные трем уравнениям для координат: . Эти уравнения называются параметрическими уравнениями плоскости.
2) общим уравнением
.
Система уравнения или эквивалентна ее системе выражает линейную зависимость рядов матрицы или уравнение где Уравнение можно назвать общим уравнением плоскости, которая проходит через тоску .
Уравнением плоскости, которое проходит через три точки с координатами , которое не лежит на одной прямой, можно записать в виде
Пусть плоскость проходит через точки где . Тогда уравнение этой плоскости можно записать в виде . Это уравнение называют уравнением плоскости в отрезках.
Прямая линия в пространстве может быть задана:
1) векторно параметрическим уравнением , где а – направленный вектор прямой, - радиус-вектор фиксированной точки прямой.
Если уравнение записать в аффинной системе координат, то получим параметрическое уравнение прямой в пространстве: . Включением параметра параметрические уравнения сводится к канонической форме . Уравнение прямой, которое проходит через две разные точки, можно задать в векторной форме , где - радиус-вектор данных точек, а - их аффинные координаты.
Прямую l можно задать как линию пересечения
20. Відстань точки до прямої на площині і в просторі. Відстань між мимобіжними прямими.
15. Топологическое пространство.
Пример:
16. Визначення кривої в диференціальної геометрії. Елементарна, проста та загальна крива. Регулярна крива. Способи завдання кривих.
17. Кривина та скрут кривої. Тригранник Френе.
Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трёхгранником (трёхгранником Френе
-
Формули Френе.
Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трёхгранником (трёхгранником Френе)
Если рёбра естественного трёхгранника в данной точке кривой принять за оси прямоугольной декартовой системы координат, то уравнение кривой в естественной параметризации раскладывается в окрестности этой точки в ряд по координате вдоль кривой.
С помощью Френе формулы исследуются дифференциально-геометрические свойства
кривых линий.
19.Лінії на поверхні (лінії кривини, асимптотичні лінії ).