ОЭТ / 4.4 Индуктивное сопротивление
.docЦепь переменного тока с индуктивностью
Рис.1 |
В цепи отсутствуют активное сопротивление и емкость, а имеется только индуктивность L (рис.1). При прохождении по такой цепи тока i=Im·sinωt в цепи возникает ЭДС самоиндукции e = -L , прямо пропорциональная скорости изменения тока. |
При синусоидальном изменении тока наибольшая скорость его будет в момент прохождений тока через нулевые значения, и ЭДС в эти моменты будет наибольшая (рис.2). При наибольшем значении тока 1m скорость его изменения равна нулю и ЭДС в эти моменты времени будет равна нулю. Согласно правилу Ленца ЭДС самоиндукции препятствует всякому изменению тока, благодаря чему в моменты нарастания тока она всегда действует навстречу току (ток и ЭДС будет иметь разные знаки). В моменты убывания тока ЭДС действует в том же направлении, что и ток (ток и ЭДС будут иметь одинаковые знаки).
Согласно второму закону Кирхгофа:
u + eL = iR.
Так как R=0, то u + eL=0, тогда u = - eL, т.е. приложенное к катушке напряжение уравновешивается ЭДС. Так как e = - , и i=Im·sinωt, то
u = = ImωLcosωt.
При cosωt =1 напряжение будет максимальным, т. е. Um = ImωL и значение напряжения в любой момент времени можно записать так:
u = Umcosωt = Umsin(ωt+π/2),
т. е. в чисто индуктивной цепи напряжение опережает ток по фазе на четверть периода. Тогда ЭДС будет противоположна по фазе напряжению и отставать по фазе от тока на четверть периода:
eL = Еmsin(ωt-π/2).
Так как Um = ImωL, то разделив на , получим U = IωL. Тогда по закону Ома для действующих значений можно записать
I = U/ ωL = U/XL
г де XL = ωL = 2πfL называется индуктивным сопротивлением (Ом=В/А).
Зависимость индуктивного сопротивления от частоты показана на рис.2. С увеличением частоты f индуктивное сопротивление увеличивается.
Рис.2.
На рис.3 приведены графики тока, ЭДС самоиндукции, напряжения, и изображена векторная диаграмма тока, ЭДС и напряжения чисто индуктивной цепи. |
Рис.3 |
Мгновенная мощность равна произведению мгновенного значения тока на мгновенное значение напряжения, т. е.
р = Umsin(ωt+π/2) Im·sinωt = Um Imcosωtsinωt = sin2ωt.
Из уравнения мгновенной мощности видно, что в этой цепи мощность бывает положительной и отрицательной и изменяется с удвоенной частотой.
В первую четверть периода ток в цепи увеличивается и энергия накапливается в магнитном поле катушки за счет энергии источника, ток направлен против ЭДС самоиндукции (рис.4).
Рис.4 |
В вторую четверть периода ток уменьшается и энергия возвращается в сеть (к источнику). Направления ЭДС самоиндукции и тока совпадают – катушка является источником энергии. Средняя площадь за период равна нулю, что означает, что в этой цепи нет расхода энергии, а есть только обмен энергией между источником и потребителем. Таким образом катушка не потребляет электроэнергию и активная мощность Р = 0. |
Таким образом, мощность в цепи с индуктивностью колеблется между источником и магнитным полем катушки, загружая источник и провода. Количественной характеристикой интенсивности обмена энергией между катушкой и источником служит реактивная мощность, единица измерения которой Вар (вольт-ампер реактивный):
Q = UI = I2ωL.
Пример. Катушка имеет индуктивность L = 15,9 мГн и R=0. Если действующее напряжение 100 В, то индуктивное сопротивление, ток и мощность:
f, Гц |
5 |
50 |
100 |
500 |
XL, Ом |
0,5 |
5 |
10 |
50 |
I, А |
200 |
20 |
10 |
2 |
Q, ВАр |
20 000 |
2 000 |
1 000 |
200 |
Последовательное соединение индуктивности и активного сопротивления
При последовательном соединении активного сопротивления R и индуктивности L ток во всех участках цепи один и тот же и равен I ампер (рис.5).
Рис.5 |
При прохождении по такой цепи тока i=Im·sinωt напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током uR=Um·sinωt. Напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на четверть периода uL =Umsin(ωt+π/2). Используя второй закон Кирхгофа, запишем u = uR + uL |
Построим векторную диаграмму, обозначив напряжение на сопротивлении UR = IR и напряжение на индуктивности UL. Откладываем вектор тока I, затем вектор напряжения UR, совпадающий по фазе с вектором тока. С конца вектора UR проводим вектор UL перпендикулярно вектору тока. Соединим начало вектора UR с концом вектора UL, получив вектор суммарного напряжения U. Полученный треугольник называется треугольником напряжений (рис.6 ,а).
Рис.6
При последовательном соединении активного сопротивления R и индуктивности L общее напряжение опережает по фазе ток на угол φ, причем 0φ>π/2.
Из треугольника напряжений суммарное напряжение
U= =
Отношение действующего напряжения данной цепи к действующему току называется полным сопротивлением цепи Z, следовательно
Z = U/I = .
Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I, то получим треугольник сопротивлений (рис. 6,б). Из треугольника сопротивлений следует:
R = , XL = , cos φ = R/Z, sin φ = XL/Z, tg φ = XL/R.
Если стороны треугольника напряжений умножить на ток I, то получим треугольник мощностей (рис.6 ,в).
Активная мощность характеризует расход энергии на активном сопротивлении
Р = UR I = I2R = S cos φ = UI cos φ (Вт).
Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между индуктивностью и источником
Q = UL I = I2XL = S sin φ (Вар).
Полная мощность цепи
S = UI = I2Z = (Вт).
Множитель cos φ называется коэффициентом мощности. Он характеризует степень использования энергии потребителем:
cos φ = Р/S.
Рис.7 |
Мгновенная мощность равна произведению мгновенного значения тока i=Imsinωt на мгновенное значение напряжения u=Umsin(ωt+φ): р = ui = Umsin(ωt+φ) Im·sinωt = U Icosφ - U Icos(2ωt + φ). Мгновенное значение мощности колеблется около постоянного уровня P=UIcosφ. |
На рис.7 приведены графики тока, напряжения, мощности. Отрицательная часть графика мощности определяет энергию, которая переходит от источника к индуктивности и обратно.
Рис.8 |
При последовательном соединении (рис.8): RΣ = R1 + R2; LΣ = L1 + L2 |
Пример. Катушка имеет индуктивность L = 15,9 мГн и R=10 Ом. Если действующее напряжение 100 В, то:
f, Гц |
5 |
50 |
100 |
500 |
XL, Ом |
0,5 |
5 |
10 |
25 |
R, Ом |
10 |
10 |
10 |
10 |
Z, Ом |
10,012 |
|
|
|
I, А |
9,99 |
|
|
|
Q, ВАр |
49,80 |
|
|
|
Р, Вт |
997,51 |
|
|
|
S, Вт |
998,76 |
|
|
|
cos φ |
1,00 |
|
|
|
UR, В |
99,88 |
|
|
|
UL, В |
4,99 |
|
|
|