Алехин электротехника
.pdf80
П рим ер 5 . 1 0 .
На резонансной частоте, рассчитанной в примере 5.9, выполнить моделирование схемы рис.5.22 в режиме Analysis-- Transient. Получить графики напряжений на резисторе, индуктивности и емкости. Объяснить вид графиков.
|
5.13. Расчёт напряжения и токов при параллельном |
||||
|
|
соединении R,L,C |
|
|
|
В |
схеме |
рис.5.23 |
задано |
входное |
напряжение |
u( t ) |
Um sin( t |
U ) и параметры параллельно соединенных эле- |
ментов R, L и C . Требуется найти токи в ветвях и входной ток.
Для мгновенных значений тока в узле a выполняется первый закон Кирхгофа:
i iR iL iC .
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
81
|
Im i |
|
a |
|
|
|
|
|
ImR |
ImL |
I |
|
|
|
mC |
U |
i |
iL |
iC |
m |
R |
|
|
|
R |
jωL |
-j1/ωC |
b
Рис.5.23
Для гармонического тока первый закон Кирхгофа действует и для комплексных амплитуд тока:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
m |
|
I |
mR |
|
ImL |
I |
mC . |
(5.64) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Выразим комплексные амплитуды токов через комплексную ампли- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
туду напряжения |
U |
m |
U |
m |
e j U |
и комплексные сопротивления ветвей: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I |
|
U m |
|
|
U |
m |
|
|
U |
m |
|
|
|
U |
m |
|
|
|
U |
|
Y |
. |
(5.65) |
||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
j L |
|
|
1 |
|
|
|
Zвх |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис.5.24 показана векторная диаграмма токов и напряжения в це-
пи.
+j |
ImC |
|
ImL- ImC |
φ |
ImR U +1 |
Um
Im
Рис.5.24
ImL
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
82
К о м п л е к с н а я п р о в о д и м о с т ь
Разделим (5.65) на U m и получим выражение для комплексной проводимости параллельного соединения элементов R,L,C:
Y |
1 |
|
|
1 |
|
|
j |
1 |
|
j C |
1 |
|
j( |
1 |
|
C ) g jb ..(5.66) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Z вх |
|
R |
|
|
L |
|
R |
|
L |
|
||||||||||
В этом выражении: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
g = |
1 |
|
- активная проводимость цепи; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
b |
- b |
|
|
|
|
1 |
- C |
- реактивная проводимость (может быть по- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
L |
|
|
C |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ложительной, отрицательной и равной нулю); |
|
|
|
|||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
1 |
|
|
- реактивная проводимость индуктивности; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
L |
|
|
ωL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
bC |
|
C - реактивная проводимость емкости; |
|
|||||||||||||||||||
Y |
|
ye-j - комплексная проводимость; |
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
|
|
|
g 2 |
b2 |
|
- полная проводимость, равная модулю комплексной |
проводимости;
arctg gb - аргумент комплексной проводимости.
Пр а в и л о : При параллельном соединении суммируются ком-
плексные проводимости ветвей: |
Y вх |
Y1 |
|
Y2 |
Y3 . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
5.14. Переход от сопротивления к проводимости |
||||||||||||||||||||||
Пусть задано комплексное сопротивление ветви |
Z R jX . Его |
|||||||||||||||||||||||
аргумент Z |
arctg |
X |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем проводимость ветви: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Y |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
R - jX |
|
|
|
|
R - jX |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
R jX |
(R |
jX)(R - jX) |
|
|
|
R2 |
X |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
j |
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
- j |
|
|
|
|
|
|
|
g - jb ye |
|
|
Y |
|
|
|
||||
|
R2 |
X 2 |
R2 |
|
X 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Здесь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
активная проводимость: g |
|
|
R |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
R2 |
X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
83
реактивная проводимость: b |
|
|
X |
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R2 |
X 2 |
|
|
|
|||||
аргумент комплексной проводимости: |
|
|
|
|
||||||
|
arctg |
b |
|
arctg |
|
X |
|
|
. |
|
|
|
|
|
Z |
||||||
Y |
|
g |
|
|
|
R |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
5.15. Резонансом токов
Резонансом токов (параллельным резонансом) называют режим работы параллельной цепи, в котором реактивные проводимости ветвей
компенсируют друг друга (b |
bL |
bC 0 ), входная проводимость цепи |
|||||||||
становится чисто активной Y вх |
Y рез |
|
g рез |
1 |
и входной ток |
||||||
|
|
||||||||||
|
Rрез |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совпадает по фазе с напряжением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На частоте параллельного резонанса 0 |
выполняется условие: |
||||||||||
b bL |
bC |
1 |
|
|
|
0C 0 , |
(5.67) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0L |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и, следовательно, резонансная частота |
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
1 |
|
|
. |
|
|
(5.68) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
LC |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжение на зажимах параллельной цепи при резонансе равно:
|
Im |
|
|
Umрез |
Imрез |
Imрез Rрез |
(5.69) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Yр |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ImL |
ImC |
|
В цепи |
рис.5.25 без потерь ( g |
0 ) при па- |
|
Um |
jωL |
|
раллельном резонансе резонансная проводимость |
||||
|
-j1/ωC |
Yр |
j( bL |
- bC ) 0, |
а входное сопротивление |
||
|
|
||||||
|
|
|
в цепи без потерь при параллельном резонансе |
||||
|
Рис.5.25 |
становится бесконечно большим: |
|
||||
|
|
jX L ( |
jXC ) |
jX L ( jXC ) |
|
||
|
|
|
Zвх |
|
|||
|
|
|
jX L |
jXC |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Прим ер 5 . 1 1
Всхеме рис.5.26 действует гармонический источник тока IG1 с амплитудой 1 мА. Найти частоту параллельного резонанса по формуле (5.68). На резонансной частоте вычислить резонансное сопротивление, напряжение на зажимах цепи и токи в ветвях. Построить графики токов и
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
84
напряжения. Выполнить моделирование и сравнить полученные графики токов с расчетными графиками.
IR |
IL |
IC |
U
Рис. 5.26
В ы в о д ы .
При параллельном резонансе напряжение на входе цепи совпадает по фазе с входным током. Ток в индуктивности опережает входной ток на 90o. Ток в емкости отстает от входного тока на 90o и равен по модулю току в индуктивности. В результате ток в емкости компенсирует ток в индуктивности, входной ток равен току в резисторе.
5.16.Основные законы цепей в символической форме
Об о б щ е н н ы й за к о н О м а :
В |
|
символической |
|
схеме |
замещения |
рис.5.27: |
|
Umab |
Z Im Em1 |
Em2 . |
|
|
|
|
|
Im |
|
Em1 |
Em2 |
|
В общем случае обобщенный закон |
||
Z |
b |
Ома формулируется так: |
|
||||
a |
|
|
|
||||
|
|
|
Комплексная амплитуда тока на |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
Um |
|
|
участке цепи равна комплексной ампли- |
||
|
|
|
|
|
туде напряжения на этом участке, взя- |
||
|
|
Рис.5.27 |
|
|
той по направлению тока, плюс/минус |
||
|
|
|
|
|
комплексные |
амплитуды |
источников |
напряжения, деленной на комплексное сопротивление участка цепи. Со знаком плюс берут комплексные амплитуды источников напряжения, совпадающих по направлению с током.
Im |
U |
m Emk |
|
|||
|
|
|
. |
(5.70) |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
П е р вы й за к о н К и р х г о ф а :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В символической схеме замещения (рис.5.28) |
|
|
Im1 |
Im2 |
первый закон Кирхгофа выполняется для комплекс- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Im3 |
ных амплитуд токов: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Im4 |
|
|
|
|
|
|
||
В.А. |
АлехинР. Электротехникас.5.28 |
. Мультимедийный курс лекций. 2016 |
|
|
|
|
|
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Im1 |
Im2 |
Im3 |
Im4 |
0 |
|
|
|
|
|
В то р о й за к о н К и р х г о ф а : |
|
||||
|
|
Im1 |
|
|
В |
символической схеме замещения |
|||
|
Z1 |
|
|
(рис.5.29) второй закон Кирхгофа выполня- |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ется для комплексных амплитуд токов и |
||||
Im4 |
|
|
|
Im2 |
напряжений |
и комплексных сопротивле- |
|||
Z4 |
|
Z2 |
ний: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Em1 |
обход |
|
|
Im1Z1 |
Im2 Z 2 |
Im3 Z 3 |
Im4Z4 |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
Em2 |
Z3 |
|
|
E1 |
E2 |
|
|
(5.71) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Алгебраическая сумма комплексных |
||||
|
Рис.5.29 |
Im3 |
|
|
амплитуд падений |
напряжений в любом |
|||
|
|
|
|
замкнутом контуре равна алгебраической |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
сумме комплексных амплитуд ЭДС, действующих в контуре. Со знаком |
|||||||||
плюс берут напряжения и ЭДС, совпадающие с направлением обхода кон- |
|||||||||
тура. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод: Поскольку основные законы в символической форме выпол- |
||||||||
няются все преобразования и метода расчета гармонического тока в сим- |
|||||||||
волической форме аналогичны методам расчёта цепей постоянного тока |
|||||||||
при условии замены: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
E Em, J Jm ,U Um ,R Z R jX , G Y g jb |
||||||||
|
5.17. Порядок расчета цепи символическим методом |
В |
цепи рис.5.30 действуют два |
источника |
|
сигналов |
|
|
||||||||||||
e1( t ) Em1 sin( t |
E |
) и e2 ( t ) |
Em2 cos( t |
E |
) . Расчет цепи |
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
надо выполнять в такой последовательно- |
|
|
|||||||||||
i(t) |
R1 |
L1 |
C1 |
сти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1. Приводим запись всех источни- |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ков сигнала к функции синуса, используя |
|
|
|||||||||||
|
e (t) |
|
e2(t) |
|
формулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
cos( t |
E |
) |
|
sin( t |
E |
900 ). |
|
|
|||||
|
R2 |
L2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
C2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2. Определяем |
|
комплексные амплитуды |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Рис.5.30 |
|
|
напряжений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
E |
|
E e |
j |
E , E |
E |
e |
j( |
E 2 |
900 |
) |
. |
||
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
m2 |
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
Im1 |
Z1 |
3. Находим комплексные сопротивления: |
|
|
|
|
||||||||||||
Em1 |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z2
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
Рис.5.31
86
Z |
1 |
R |
j( L |
1 |
1 ), |
Z |
2 |
R |
j( L |
1 |
). |
|||||
|
|
1 |
|
C1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
C2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Переходим к |
|||
символической схеме замещения (рис.5.31). |
|
|
|
|||||||||||||
5. Находим комплексную амплитуду тока. |
|
|
|
|||||||||||||
I |
m |
Em1 |
Em2 |
I |
m |
e |
j |
I . |
|
|
|
|
|
|||
Z1 |
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Находим мгновенное значение тока. |
|
|
|
|
||||||||||||
i( t ) |
Im sin( t |
I ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
5.18. Топографические диаграммы |
||||||||||
|
|
|
XC = 2 Ом |
|
|
|
|
|
|
Т о п о г р а ф и ч е с к и м и д и а г р а м - |
||||||
|
|
|
|
|
|
м а м и |
называют изображение на комплексной |
|||||||||
|
|
|
d |
c |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
плоскости комплексных потенциалов различных |
|||||||||
|
|
|
|
R2 = 2 Ом |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
точек |
электрической |
цепи. |
Нулевой потенциал |
||||||||
Em |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
b |
|
|
|
соответствует началу координат. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
обход |
XL = 5 Ом |
|
|
|
|
Пример 5.12. |
Построить топографическую |
||||||
|
|
|
|
|
Im = 1 А диаграмму для цепи рис.5.32 и найти Em. |
|||||||||||
0 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
На схеме цепи заданы активные и реактив- |
|||||||
|
|
|
R1 = 2 Ом |
|
|
|
ные сопротивления и комплексная амплитуда то- |
|||||||||
|
|
|
Рис.5.32 |
|
|
|
ка. Начальную фазу тока будем считать нулем. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Заземлим нижнюю точку цепи и выполним расчет |
комплексных потенциалов для всех точек цепи, обходя цепи против направления тока:
ma |
Im R |
2 В; |
|
|
|
|
|
|
|
||
mb |
ma |
j5 Im |
2 j5В; |
|
|
|
|
|
|
||
mc |
mb |
2Im |
4 j5В; |
|
|
|
|
|
|
||
md |
mc |
j2 Im |
4 j3В Em . |
|
|
|
|
|
|||
|
Модуль комплексной амплитуды Em |
|
16 |
9 |
5 В. |
|
|||||
|
|
1А |
Изобразим рассчитанные комплексные по- |
||||||||
+j |
|
|
2 В |
тенциалы |
точками |
на |
комплексной |
плоскости |
|||
|
φmb |
φmc |
|
|
|
|
|
|
|
||
j5 |
|
рис.5.33. Получим |
топографическую |
диаграмму. |
|||||||
|
Umdb |
Построим |
на топографической |
диаграмме вектор |
|||||||
j3 Umba Em |
|||||||||||
φmd |
тока Im = 1 А. Вектор Em |
4 |
j3В , направлен- |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
φma |
|
ный из нуля в точку с потенциалом md , изобража- |
||||||||
0 |
2 |
4 Im |
+1 |
ет комплексную амплитуду напряжения. |
|
||||||
|
Рис.5.33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 |
|
87
Топографическая диаграмма позволяет определять комплексные амплитуды напряжения между различными точками цепи. Например, век-
тор Umdb md mb на топографической диаграмме направлен к точке,
соответствующей первому индексу d , равен 2 j2 В и определяет комплексную амплитуду напряжения между точками d и b.
Если векторы направлены в сторону условно более высокого потенциала при обходе цепи против направления тока, то они будут правильно
ориентированы относительно вектора тока. Так вектор Umba mb ma
определяет комплексную амплитуду напряжения на индуктивности и опережает вектор тока Im на 90o.
5.19. Энергетические соотношения в цепях переменного тока.
Мгновенная и средняя мощность
i(t )
Пассивный u(t) 2-х
полюсник
Рассмотрим пассивный двухполюсник, подключенный к напряжению u( t ). Входной ток равен i( t ).
Мгновенная мощность определяется как скорость изменения энергии:
p( t ) u( t )i( t ) |
dW ( t ) |
u( t ) |
dq |
(5.72) |
||
dt |
|
dt |
||||
|
|
|
Пусть в цепи гармонического тока:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u( t ) |
Um sin t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем комплексную амплитуду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
U |
m U me j0o |
Um . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Входное сопротивление двухполюсника: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ze j , Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
. |
||||
Z R jX |
|
|
|
|
|
R2 |
X 2 , |
|
arctg |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
Находим ток: Im |
|
U |
m |
|
Ime |
j |
|
Um |
|
e |
|
j |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ze j |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Мгновенное значение тока равно: i( t ) |
Im sin( t |
). |
|
|
|||||||||||||||||||
Мгновенная мощность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p( t ) u( t ) i( t ) |
|
Um sin t |
Im sin( t |
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
Um Im cos |
cos( 2 t |
) . |
|
|
(5.73) |
||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График мгновенной мощности показан на рис.5.34.
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
88
p(t)
+
|
|
|
|
|
|
Pср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
- |
- |
|
t |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис.5.34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенная мощность изменяется с частотой |
2 и может прини- |
мать положительные и отрицательные значения. Положительная мгновенная мощность поступает в цепь и потребляется в ней. Отрицательная мгновенная мощность отдается из цепи в источники.
Среднее значение мгновенной мощности за период называется ак-
тивной мощностью:
1
Pср P T
T |
|
Um Im |
|
|
|
p( t )dt |
|
cos . |
(5.74) |
||
2 |
|||||
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
В пассивном двухполюснике |
аргумент |
входного сопротивления |
||||
|
arctg |
X |
лежит в пределах |
( |
|
|
). Следовательно, |
R |
|
||||||
|
cos |
|
|
2 |
|
2 |
|
0 |
1 и активная мощность |
|
P |
0 . Активная мощность будет |
равна нулю в пассивном двухполюснике без потерь, когда R 0.
5.20. Действующие значения токов и напряжения
i(t) u(t)
R
Рис.5.35
Вычислим мощность, которую выделяет гармонический ток в активном сопротивлении Z R . В нем
|
arctg |
X |
|
arctg |
0 |
0, cos |
1. |
||||
R |
R |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ток совпадает по фазе с напряжением. По форму- |
|||||||||||
ле (5.74) находим активную мощность: |
|
||||||||||
P |
Pср |
Um Im |
|
Im2 R |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
, |
(5.75) |
||||
2 |
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
89
так как Um Im R.
Постоянный ток выделяет в том же сопротивлении мощность:
P UI I 2R . |
(5.76) |
О п р е д е л е н и е . Действующее значение переменного тока
(напряжения) равно по величине такому постоянному току (напряжению), который выделяет в сопротивлении R то же количество тепла, что и переменный ток.
Приравниваем мощности (5.75) и (5.76):
I |
2 |
R |
Im2 R |
|
|
|
|
. |
(5.77) |
||
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
Получим действующее значение тока
I |
Im |
|
. |
(5.78) |
||
|
|
|
||||
2 |
||||||
|
|
|
|
Аналогично получим действующие значения напряжений:
U |
U |
m |
|
, E |
E |
m |
|
. |
(5.79) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Вместо комплексных амплитуд в расчетах можно применять комплексные действующие значения. Их обозначают подчеркиванием, но индекс амплитуды «m» не ставят:
|
I |
|
I |
m |
|
, U |
U |
m |
|
Em |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, E |
|
|
|
. |
(5.80) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
В электрической сети и электрических приборах указывают номи- |
||||||||||||||||||||||
нальные действующие значения напряжений и токов. Так, для |
стандарт- |
|||||||||||||||||||||
ного действующего напряжения в сети U |
220 В амплитудное значение |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
будет равно Um 220 2 |
|
311В . Действующие значения напряжений |
и токов измеряют вольтметрами и амперметрами. Амплитудные значения измеряют осциллографами.
Через комплексные действующие значения комплексное сопротив-
ление выражают так: |
|
|
|
|
|
Z |
U |
|
. |
(5.81) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
I |
|
|
Если расчет проведен для комплексных действующих значений, при переходе к мгновенным значениям модуль действующего тока надо умно-
жить на 2 :
|
|
|
|
|
|
i( t ) I 2 sin( t |
) |
Im sin( t |
) . (5.82) |
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016