- •В. Н. Веретенников
- •ТЕОРИЯ РЯДОВ
- •Учебное пособие
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Основные понятия и свойства
- •1.1. Числовой ряд. Сумма ряда
- •1.2. Свойства сходящихся рядов
- •1.3. Критерий Коши сходимости ряда
- •2. Положительные ряды
- •2.1. Признаки сравнения
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Признак Коши
- •2.4. Интегральный признак сходимости ряда
- •3. Знакопеременные ряды.
- •Абсолютно и условно (неабсолютно) сходящиеся ряды
- •4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
- •1. Основные определения
- •СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
- •Биография
- •Научная деятельность
- •Память
- •1. Теорема Абеля
- •1.1. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •2. Свойства степенных рядов
- •2.1. Равномерная сходимость степенного ряда
- •и непрерывность его суммы
- •2.2. Интегрирование степенных рядов
- •2.3. Дифференцирование степенных рядов
- •3. Ряд Тейлора
- •3.1. Условия разложимости функции в ряд Тейлора
- •3.2. Ряды Тейлора элементарных функций
- •Таблица разложений в степенной ряд (ряд Маклорена) основных элементарных функций.
- •3.3. Приложения рядов
- •3.3.1. Вычисление значений функции
- •3.3.2. Вычисление интегралов
- •3.3.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений
- •ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •Нильс Хенрик Абель
- •ТЕОРИЯ РЯДОВ
- •Учебное пособие
1.2. Свойства сходящихся рядов
Над числовыми рядами можно совершать некоторые действия, допустимость которых обосновывается следующими теоремами.
Теорема 2.1. Если ряд
∞ |
|
a1 +a2 + +an + = ∑an |
(2.1) |
n=1
сходится, то сходится и ряд, полученный из него изменением (в частности, отбрасыванием) любого конечного числа членов. Обратно, из сходимости ряда, полученного из ряда (2.1) изменением (в частности, отбрасыванием) конечного числа членов, вытекает сходимость ряда (2.1).
▲ Для простоты рассмотрим случай, когда изменяются первые k членов ряда (2.1). Обозна-
~ |
|
|
|
|
|
|
чим через Sn n-ю частичную сумму нового ряда |
(2.2) |
|||||
|
|
|
a1 |
+a2 + +ak +ak +1 + +an + . |
||
|
|
|
~ |
~ |
~ |
|
Разность |
~ |
~ |
при n > k |
постоянна (не зависит от n). Тем самым, последо- |
||
Sn |
−Sn = Sk −Sk |
|||||
вательности Sn |
и |
~ |
|
|
|
|
Sn сходятся или расходятся одновременно и, значит, из сходимости ряда |
(2.1) следует сходимость ряда (2.2). Верно и обратное, из сходимости ряда (2.2) следует схо-
димость ряда (2.1). ▼ Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа
его первых членов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
Определение. Если в сходящемся ряде a1 +a2 + +an +an+1 |
+an+2 + = ∑an отбро- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
сить первые n членов, то получим сходящийся ряд an+1 +an+2 |
+ +an+k |
+ , который |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
называют n -м остатком данного ряда и обозначают Rn |
= ∑ak (здесь n фиксирова- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
k =n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
но). Тогда исходный ряд можно записать в виде ∑an = Sn |
+ Rn . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
Если S – сумма ряда ∑an , то остаток ряда Rn |
= S −Sn |
для любого n =1, 2, . |
|||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
Пример 2.1. n-м остатком ряда ∑aqn−1 является ряд |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn = aqn + aqn+1 + + aqn+k−1 |
+ = ∑aqk+n−1 . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
Он сходится при |
|
q |
|
<1. |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2.2. Если все члены сходящегося ряда a1 +a2 + +an + = ∑an |
умножить на од- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
но и то же число λ ≠ 0 , то ряд λa1 +λa2 + +λan + = ∑λan останется сходящимся, а |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
его сумма умножится на это число, т. е. ∑λan = λ∑an . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
n=1 |
|
|
|
|
∞∞
▲Составим n -е частичные суммы рядов ∑an и ∑λan . Имеем
n=1 n=1
7