- •6.1 Однородные линейные дифференциальные уравнения
- •6.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения
- •6.4. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения
- •2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Правая часть имеет вид
- •7. Уравнение колебаний
- •7.1. Свободные колебания
- •7.2. Вынужденные колебания
- •8. Системы дифференциальных уравнений
- •I. Характеристическое уравнение
- •ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •Учебное пособие
(здесь C1, C2 − постоянные интегрирования). Подставляя эти выражения для C1(x), (3), найдем общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1.1):
y = C1 y1 (x) +C2 y2 (x) + y1 (x)∫ϕ1 (x)dx + y2 (x)∫ϕ2 (x)dx
( C1, C2 − произвольные постоянные величины).
Пример 1.1. Найти частное решение уравнения y′′− y = x .
C2 (x) в
▲ Составляем характеристическое уравнение, находим его корни, фундаментальную систе-
му решений и общее решение yо |
соответствующего однородного уравнения y′′− y = 0 : |
|||||||||||||||
k2 −1 = 0, k =1, k |
2 |
= −1; y = ex , y |
2 |
= e−x ; y |
о |
= C ex +C |
e−x . |
|||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||||
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде |
|
|
||||||||||||||
|
y |
н |
(x) = C (x)ex +C |
e−x , |
|
|
|
(1.9) |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Система (1.8) для нахождения C1′(x) и C′2 (x) в данном случае имеет вид |
||||||||||||||||
|
|
|
′ |
(x)e |
x |
′ |
(x)e |
−x |
= 0, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
C1 |
|
+C2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
(x)e |
x |
(x)e |
−x |
= x. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
C1 |
|
−C2 |
|
|
|
|
|
|
складывая эти уравнения, найдем C1′′(x) = 12 xe−x . Отсюда, интегрируя, получаем
C1 (x) = − 12 (x +1)e−x ,
произвольную постоянную величину не пишем, так как ищем какое-нибудь частное решение. Подставляя выражение C1′(x) в первое из уравнений системы, найдем C2′(x) = − 12 xex ,
откуда, интегрируя, получаем C2 (x) = − 12 (x −1)ex .
Подставляя найденные выражения C1′(x) и C′2 (x) в равенство (1.9), получаем частное решение yн данного неоднородного уравнения:
yн(x) = (− 12 (x +1)e−x )ex +(− 12 (x −1)ex )e−x = −x .
Найдя, частное решение неоднородного уравнения и зная общее решение соответствующего однородного уравнения, на основании теоремы 7.3 можно записать общее решение данного неоднородного уравнения:
y = yн(x) + yо(x) = −x +C1ex +C2e−x ,
где C1 и C2 − произвольные постоянные величины. ▼
Таким образом, для того чтобы решить линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, необходимо:
1. найти его фундаментальную систему решений;
2. |
составить общее решение yо однородного уравнения y′′+ py′+ qy = 0 ; |
3. |
по методу Лагранжа найти частное решение yн уравнения y′′+ py′+ qy = f (x) ; |
4. |
по формуле y = yн + yо получить общее решение y уравнения |
y′′ + py′ + qy = f (x) .
6.4. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения
2-го порядка с постоянными коэффициентами
В предыдущем разделе был рассмотрен общий метод решения неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка – метод вариации постоянных. Однако, если в правой части уравнения
y′′+ py′+qy = f (x) |
(2.1) |
40
− многочлен, либо показательная функция, либо тригонометрическая функция sin βx или cos βx , либо линейная комбинация перечисленных функций, то частное решение может
быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.
В дальнейшем будем употреблять символы Pn (x) и Qn (x) для обозначения многочленов
степени n: Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an , Qn (x) =b0 xn + b1 xn−1 + + bn .
Рассмотрим некоторые виды правых частей уравнения (2.1), допускающие применение этого метода.
1. Правая часть имеет вид f (x) = Pn (x)
Частное решение yн уравнения |
|
|||
|
|
|
y′′ + py′ + qy = Pn (x) |
(2.2) |
надо искать в виде |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
если q ≠ 0 (если 0 − не корень характеристического уравнения), |
|
|
Qn (x), |
|
||
|
yн = xQn (x), |
если q = 0, p ≠ 0 (если 0 − простой корень характеристического уравнения), |
||
|
x2Q (x), |
если q = p = 0 (если 0 − двойной корень характеристического уравнения). |
||
|
|
n |
|
|
Во всех случаях за Qn (x) надо взять многочлен с неопределенными коэффициентами, которые находятся после подстановки yн в уравнение.
Пример 2.1. Найти частное решение уравнения y′′−2y′+ y = x +1.
▲ Характеристическое уравнение k 2 −2k +1 = 0 имеет корни k1 = k2 =1, которые не равны нулю. В правой части многочлен первой степени (n =1) , поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде yн = Ax + B , где A = b0 и B = b1 − неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды yн = Ax + B и подставляя yн, yн′ и yн′′ в
данное уравнение, найдем − 2A + Ax + B = x +1. Приравнивая коэффициенты, находим
x |
|
A =1 , |
|
|
|
|
x0 |
|
−2A + B =1, откуда B = 3 . |
|
|||
Поэтому искомое частное решение будет yн |
|
= x +3.▼ |
|
|
|
|
Пример 2.2. Найти частное решение уравнения y′′+ y′ = 2x +3. |
|
|||||
▲ Характеристическое уравнение k 2 +k = 0 |
|
имеет корни k |
= 0, k |
2 |
= −1, поэтому |
k = 0 есть |
|
1 |
|
|
|
простой корень этого уравнения. В правой части многочлен первой степени (n =1) , поэтому
частное решение неоднородного |
дифференциального уравнения следует искать в виде |
|
yн = x(Ax + B) . |
|
|
Находя yн′ и yн′′ и подставляя в данное уравнение, получим 2A + 2Ax + B = 2x +3. При- |
||
равнивая коэффициенты, находим |
|
|
x |
|
2A = 2, откуда A =1 , |
|
||
x0 |
|
2A + B = 3, откуда B =1 ; |
Поэтому искомое частное решение будет yн(x) = x2 + x . ▼
41
2. Правая часть имеет вид f (x) = eαx Pn (x) .
Частное решение yн уравнения |
|
y′′+ py′+ qy = eαx Pn (x) |
(2.3) |
надо искать в виде |
|
eαxQn (x), еслиα − некорень характеристическогоуравнения,
yн = eαx xQn (x), еслиα − простойкорень характеристическогоуравнения,eαx x2Qn (x), еслиα − двойнойкорень характеристическрогоуравнения.
Во всех случаях за Qn (x) надо взять многочлен с неизвестными коэффициентами, которые определятся после подстановки yн в уравнение.
Пример 2.3. Найти общее решение уравнения y′′−2y′+ y = e3x x .
▲ Характеристическое уравнение k 2 −2k +1 = 0 имеет корни k1 = k2 =1. Правая часть представляет собой произведение e3x , α = 3, на многочлен первой степени (n =1) . Так как число α, равное 3, не является корнем характеристического уравнения, частное решение yн уравнения надо искать в виде yн = e3x (Ax + B) .
Отсюда yн′ = 3e3x (Ax + B) +e3x A, yн′′ = 9e3x (Ax + B) +6e3x A и подстановка yн в уравнение дает (после сокращения на выражение e3x )
9(Ax + B) +6A −2(3(Ax + B) + A)+ Ax + B = x ,
т. е. 4(Ax + B) + 4A = x .
Приравнивая коэффициенты, находим
x |
4A =1, откуда A = |
1 |
, |
|
|
4 |
. |
||||
x0 |
4B + 4A = 0, откуда B = − |
1 |
|||
4 |
Стало быть, yн = 14 e3x (x −1) .
Так как корни характеристического уравнения k1 = k2 =1, то общее решение однородно-
го уравнения будет y |
о |
= C ex +C |
xex , а общее решение интересующего нас уравнения |
||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = C ex +C |
2 |
xex + |
1 |
e3x (x −1) . ▼ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
||
Пример 2.4. Найти общее решение уравнения y′′− y = 2ex . |
|
|
|||||||||
▲ Характеристическое уравнение k 2 −1 = 0 |
имеет корни k =1, k |
2 |
= −1. Правая часть урав- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
нения представляет собой произведение |
ex , α =1, на многочлен нулевой степени (n = 0) . |
Так как число α, равное единице, совпадает с одним (но не с обоими!) из корней, то α − простой корень характеристического уравнения. Поэтому частное решение следует искать в ви-
де yн = ex xA , где A − неизвестная постоянная (ведь у нас Pn (x) = 2 , т. е. многочлен нулевой степени).
Тогда yн′ = Aex + Axex , yн′′ = 2Aex + Axex и подстановка yн в дифференциальное уравнение дает (после сокращения на ex ) 2A = 2 .
Отсюда A =1, yн = xex и, т. к. yо = C1ex +C2e−x , то y = C1ex +C2e−x + xex . ▼
Пример 2.5. Найти общее решение уравнения y′′−2y′+ y = xex . ▲ Характеристическое уравнение k 2 −2k +1 = 0 имеет корни k1 = k2 =1.
42
|
|
|
В данном случае Pn (x) ≡ x , т. е. n =1, и число α, равное единице, |
является двукратным |
||||||||||||||||||
корнем характеристического уравнения. |
Поэтому частное решение yн(x) следует искать в |
|||||||||||||||||||||
виде yн(x) = ex x2 (Ax + B) = ex (Ax3 + Bx2 ) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Отсюда |
yн′ = ex (Ax3 + Bx2 ) +ex (3Ax2 +2Bx) , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
yн′′ = ex (Ax3 + Bx2 ) +2ex (3Ax2 +2Bx) +ex (6Ax +2B) . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Подставляя выражения yн, |
yн′ и yн′′ |
в дифференциальное уравнение и сокращая на ex , |
|||||||||||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Ax3 + Bx2 + 2(3Ax2 + 2Bx) + (6Ax + 2B) − 2((Ax3 + Bx2 ) + (3Ax2 + 2Bx))+ Ax3 + Bx2 = x |
||||||||||||||||||||
или 6Ax + 2B = x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Приравнивая коэффициенты, находим |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
6A =1, откуда A = |
1 |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
2B = 0, откуда B = 0 |
|
|
|
|
||||||
и y |
н |
= |
1 |
|
x3ex . Окончательно y = C ex |
+C |
2 |
xex + |
1 |
x3ex . ▼ |
|
|
|
|
||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Правая часть имеет вид f (x) = a cos β x + b sin β x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Частное решение yн |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
надо искать в виде |
|
|
y′′+ py′+qy = a cos β x +b sin β x |
|
|
(2.4) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
yн |
Acos β x + Bsin β x, |
если βi − не корень характеристического уравнения, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
если βi − не корень характеристического уравнения. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x(Acos β x + Bsin β x), |
|
|||||||||||||||
Числа A и B определяются после подстановки yн в уравнение. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 2.6. Найти общее решение уравнения y′′+ 4y′+13y = 80 cos 3x . |
|
|
|
||||||||||||||||
▲ Характеристическое уравнение k |
2 + 4k +13 = 0 имеет корни k = −2 |
+3i, k |
2 |
= −2 −3i и по- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
тому y |
о |
= e−2x (C |
cos3x +C |
2 |
sin 3x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как βi = 3i не является корнем характеристического уравнения, то
yн = Acos3x + Bsin 3x .
Замечание. Предостерегаем читателя от распространенной ошибки. В правой части дифференциального уравнения нет члена b sin βx . Не следует думать, что и в решении
такой член должен отсутствовать. Ведь b не обязано равняться B, и потому из того, что B = 0 , не вытекает, что и b = 0 .
Тогда yн′ = −3Asin 3x +3B cos3x, yн′′ = −9Acos3x −9Bsin 3x .
Подстановка yн в дифференциальное уравнение дает
−9Acos 3x −9B sin 3x + 4(−3Asin 3x +3b cos 3x) +13(Acos 3x + B sin 3x) = 80 cos 3x .
Приравнивая коэффициенты, находим
cos3x 4A +12B = 80 , sin 3x −12A + 4B = 0 .
Отсюда A = 2, B = 6 и yн = 2cos3x +6sin 3x .
Общее решение, как всегда, есть сумма y = yо + yн .
y = e−2x (C1 cos 3x +C2 sin 3x) + 2 cos 3x + 6sin 3x . ▼
Пример 2.7. Найти частное решение уравнения y′′+9y = 6 cos 3x −30sin 3x .
43
▲ Характеристическое уравнение k 2 +9 = 0 имеет корни k = 3i, k |
2 |
= −3i . В данном случае |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
α = 0, β = 3, |
поэтому число βi = 3i |
является корнем характеристического уравнения. Зна- |
||||||
чит, yн = (Acos3x + Bsin 3x)x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
yн′ = 3(−Asin 3x + B cos3x)x +(Acos3x + Bsin 3x) , |
|
|
|||||
|
yн′′ = −9(Acos3x + Bsin 3x)x +6(−Asin 3x + B cos3x) . |
|
|
|||||
Подстановка в дифференциальное уравнение дает |
|
|
|
|
||||
|
6(−Asin 3x + Bcos3x) = 6cos3x −30sin 3x . |
|
|
|||||
Сравнивая коэффициенты, находим |
|
|
|
|
|
|||
|
cos3x |
|
6B = 6, откуда B =1, |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin 3x |
|
− |
= − |
5 , |
|
|
|
|
|
|
6A |
30, откуда A |
|
|
|
|
yн = x(5cos3x +sin 3x) . ▼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.8. Найти частное решение уравнения y′′+ 4y = sin 2x +cos 7x . |
▲ Для решения этого уравнения надо применить принцип наложения и решить два других уравнения: y′′+4y = sin 2x, y′′+4y = cos7x .
Для первого из них yн1 = x(A1 cos 2x + B1 sin 2x , yн2 = A2 cos7x + B2 sin 7x .
Дальнейшее предоставляем читателю. ▼
4. Правая часть имеет вид f (x) = eαx (Pn (x) cos β x + Pm (x) sin β x), где Pn (x) − много-
член степени n, а Pm (x) |
− многочлен степени m . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Частное решение yн |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y′′+ py′+qy = eαx (Pn (x) cos β x + Pm (x) sin β x) |
|
(2.5) |
||||||||
надо искать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αx |
(Q1(x)cos β x +Q2 (x)sin β x), |
если α + βi − не корень |
|
|
|
|
|
||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристического уравнения, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
yн = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xeαx (Q1(x)cos β x +Q2 (x)sin β x), если α + βi − корень |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристического уравнения, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример 2.9. Найти общее решение уравнения y′′− y = 3e2x cos x . |
|||||||||||||||
▲ Характеристическое уравнение k 2 −1 = 0 имеет корни k =1, k |
2 |
= −1. В данном случае |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
α = 2, β =1, |
поэтому числа α ±βi = 2 ±i 1 не являются корнями характеристического урав- |
|||||||||||||||
нения; Pn (x) ≡ 3, Pm (x) ≡ 0 , значит, частное решение уравнения следует искать в виде |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
yн = e2x (Acos x + Bsin x), A, B = const . |
|
|
|
|
|
||||
|
Отсюда |
|
yн′ = 2e2x (Acos x + Bsin x) +e2x (−Asin x + B cos x) , |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
yн′′ = 4e2x (Acos x + Bsin x) +4e2x (−Asin x + B cos x) −e2x (Acos x + Bsin x) . |
||||||||||||
|
Подстановка в дифференциальное уравнение дает |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2A + 4B) cos x + (2B − 4A) sin x = 3cos x . |
|
|
|
|
|
||||
|
Приравнивая коэффициенты, находим |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
2A + 4B = 3 , |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
2B − 4A = 0 . |
|
|
|
|
|
||
Откуда A = |
3 |
, B = |
3 |
. Таким образом, частное решение yн = e2x ( |
3 |
cos x + |
3 |
sin x). |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
10 |
5 |
10 |
5 |
44