Теория рядов Контрольная работа 7

Задание . Исследовать сходимость числового ряда .

Решение.

Для исследования данного ряда применим предельный признак сравнения. Выберем для исходного ряда эквивалентный

.

Ряд является сходящимся обобщенно-гармоническим рядом, так как степень .

По предельному признаку получаем

.

В результате применения предельного признака получили число 1, отличное от 0 и не стремящееся к бесконечности. Следовательно, ряды и действительно являются эквивалентными и сходящимися.

Ряд сходится по предельному признаку.

Ответ: ряд сходится.

Задание II. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение.

Применим признак Даламбера:

.

Отсюда следует, что при ,  ряд сходится абсолютно, при ряд расходится. Таким образом, интервал – интервал сходимости данного ряда. Исследуем на сходимость в граничных точках этого интервала, т.е. в точках и .

При получим ряд

.

Этот ряд является обобщенно-гармоническим рядом с . Такой ряд расходится.

При получим знакочередующийся ряд

.

Выясним, сходится ли полученный знакочередующийся ряд, используя признак Лейбница.

Очевидно, неравенство

выполняется для всех

Кроме того,

.

Итак, для знакочередующегося ряда выполнены оба условия признака Лейбница. Значит, данный ряд сходится. Этот ряд является условно сходящимся, так как ряд , составленный из абсолютных величин данного ряда расходится.

Окончательно получим, область сходимости исходного ряда – промежуток .

Ответ: область сходимости ряда – промежуток .

Задание III. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .

Решение.

Тригонометрический ряд Фурье имеет вид:

,

где коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

; ;

.

Найдем эти коэффициенты:

;

;

.

Запишем полученное разложение:

.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Контрольная работа 8

Задание . Дана функция . Показать, что .

Решение.

Найдем частные производные:

;

.

Подставим найденные производные в тождество:

;

;

.

Тождество выполняется.

Задание II. Дана функция и две точки и . Требуется:

1) вычислить приближенное значение функции в точке B, исходя из значения функции в точке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом;

2) вычислить абсолютную погрешность, которая получается при замене полного приращения функции ее полным дифференциалом;

3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .

Решение.

1) Приближенное значение z₁ в точке В найдём по формуле линеаризации:

z₁(B) = z₀ + dz, где z₀ = z(1, 2) = .

Найдём приращения аргументов

Δ x = x – x₀ = 1,08 – 1 = 0,08; Δ y = y – y₀ = 1,94 – 2 = – 0,06.

Найдём значения частных производных функции в точке А:

; .

Найдём значение дифференциала

.

Приближённое значение функции в точке В равно .

2) Абсолютная погрешность вычисления равна:

,

где

3) Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид:

.

Определим значения частных производных первого порядка в точке .

; ;

; .

Подставим полученные значения в формулу. Уравнение касательной плоскости:

;

;

.

Задание III. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области , заданной системой неравенств . Сделать чертеж.

Решение.

Построим область .

1. Исследуем функцию на локальный экстремум внутри области (заштрихованная область на чертеже):

 

  

 

Получили координаты стационарной точки , которая лежит в пределах области .

При поиске наибольшего наименьшего значений функции в области необязательно находить характер точек экстремума, т.е. достаточные условия можно опускать. Надо найти значения функции во всех стационарных точках и среди них выбирать наибольшее и наименьшее.

.

2. Исследуем функцию на границе области .

а) Уравнение отрезка – , . Подставляем это уравнение в функцию :

.

Дифференцируем

,

отсюда находим

.

Получили координаты точки . Вычислим значение функции в этой точке:

.

б) Уравнение прямой – , . Подставляем это уравнение в функцию :

.

Дифференцируем

,

отсюда находим

.

Полученное значение .

в) Уравнение прямой – , . Подставляем это уравнение в функцию :

.

Дифференцируем

,

отсюда находим

.

Рассмотрим точку :

.

г) Уравнение прямой – , . Подставляем это уравнение в функцию :

.

Дифференцируем

,

отсюда находим

.

Рассмотрим точку :

.

3. Сравнивая полученные величины ; ; ; , приходим к выводу: наибольшее значение функции в области , т.е. , а наименьшее значение, т.е. .

Задание IV. Дана функция и точки и .

Вычислить:

1) производную этой функции в точке по направлению вектора ;

2) .

Решение.

2) Градиент функции в точке вычисляется по формуле:

.

Определим значения частных производных первого порядка в точке :

;

;

;

;

;

.

Тогда градиент функции будет иметь вид:

.

1) Производную по направлению в заданной точке по направлению вектора будем искать по формуле:

.

Найдем координаты вектора и его направляющие косинусы, учитывая координаты точек и :

, ;

;

;

.

Следовательно, производная по направлению

.