![](/user_photo/_userpic.png)
- •Общие понятия теории о.Д.У., примеры моделей динамических процессов Общие понятия:
- •Примеры задач:
- •Уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах
- •Уравнения Бернулли и Риккати
- •Уравнения, не разрешенные относительно производной. Задача коши
- •Теорема Коши о голоморфном решении
- •1) Построение формального решения
- •2) Сходимость
- •Метод малого параметра.
- •Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные системы д.У. Общие свойства
- •Линейные системы с постоянными коэффициентами
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Вид
ai (const) ∈
R или
C
ОДНОРОДНЫЕ f(x)=0
Общ решение: Лин Комби с постоянными коэф-ми фундам сист решений
Поиск решения:
L(D) – лин диф-ый оператор
L(D)y(x) = 0
Составим характеристическое ур-ие след.образом
y(n) = λ(n) , y(n-1) = λ(n-1) , y = 1 =>
Находим корни λ1… λn
Случай 1) Все λ – различные действит корни. Тогда решение записывается в виде:
y(x) = C1*eλ1x + C2*eλ2x + …+ Cn*eλnx
Случай 2) Корни кратные и R(действит)
λ1,
λ2
… λm
с кратностью k1,
k2…
km
Общ реш: y(x)= eλ1x * (C1+C2x+C3x2 +…. +Сk1 xk1-1)+ …+ eλmx *(Cn-km+Cn-km+1x+…+Cnxkm-1)
Случай 3) λ1, λ2 = α1 ± iβ1 (вещест и мнимая) α1,β1 ∈ R
λ3, λ4 = α2 ± iβ2
eiφ = cosφ + isinφ
Формулы
Эйлера sin y
=
cos
y
=
y(x) = eα1x*(C1cosβ1x+ C2sinβ1x) + eα2x*(C3cosβ2x+ C4sinβ2x) + …
В ходе
решения применяем формулу Муавра: z=|z|
*(cosφ+isinφ)
=> z1/n
=
|z
|1/n
*(cos
+
)
где k
= 0,1,2..n-1
НЕОДНОРОДНЫЕ f(x) ≠ 0
Случай 1) Метод вариации произвольной постоянной
Сначала решаем однородное ур-ие
yo = eλ1xC1 …. или yo = С1Y1(x)+ С2Y2(x)+…+ СnYn(x), где Y1…n= ex(C1cosβ1x+ C2sinβ2x)
Пусть С1… Cn = C1(x)…C1(n)
Составляем систему
+ далее находим все константы методом Крамера
W= | | W1= … Wn= || C1’=W1/W … Cn’=Wn/W C1= ∫(W1/W)...Cn=∫(Wn/W) Случай 2) Метод неопределенных коэф
Найти
общее:
y
= yo
+
(реш
однор + реш частн)
f(x) = Pn(x)*eαx Pn – полином или f(x) = eαx (Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx)
- решаем однородное характ-е ур-ие
- разбиваем f(x) на слагаемые и решаем каждое слаг-ое
(f(x) = f1(x) +
f2(x)
(x)+
(x)
=
+
)
- = xSAn(x) eαx – находим общ вид постановки и находим коэф при подобных слагаемых
S – кол-во λi (кратность компл числа каждого корня хар ур-ия)
n – макс степень мн-на, т.е макс степень одного из полиномов в f(x)
λ1…n = α λ1…n = α+iβ
λk = α => резонансный случай S = кол-во λi
λk не= α => нерезонансный случай S=0
Подставляем в ур-ие и находим коэф-ты многочлена.
y = yo
+ Σ
Линейные системы д.У. Общие свойства
Система линейных дифференцируемых уравнений - система вида
В
векторной форме:
X
=
=
F(t) =
Если
,
то система линейная однородная, иначе
- линейная неоднородная.
Линейный
дифференциальный оператор:
Свойства
:
Решением называется вектор-функция x = φ(t), которая дифференцируема на некотором промежутке ⟨α, β⟩ ⊆ I и при подстановке в векторное ОДУ дает тождество по t. Производная решения непрерывна.
Для
любых начальных данных
∈ I,
=
∈
решение задачи Коши
(
)
существует и единственно на интервал
I.
В
общем случае все переменные
Комплексная система сводится к
вещественной порядка 2n
x = u + vi , u = Rex : I → Rn, v = Im x : I → Rn
=
+ i
= (ARe
+ iAIm)(u
+ iv) + fRe
+ ifIm
⇒
=>, общие результаты теории вещественных линейных систем ОДУ переносятся на комплекснозначный случай.
Линейные системы с постоянными коэффициентами
Пусть
A = const
. Займемся вначале построением
фундаментальной матрицы
однородной
линейной системы
x-матрица
в виде одного столбца.
Пусть
корни λj
характеристического полинома χ(λ) = |λE
− A| матрицы A различны. Ищем нетривиальное
решение в форме:
Подставляем.
Это
алгебраическая задача поиска собственных
чисел и собственных векторов. Получаем
|λE
− A|
- мы ищем нетривиальное решение.
Чтобы
- решение, то
=
L(
)
– характеристический
полином
Получаем, что - собственное число А, а b - собственный вектор А.
-
Пусть в
характеристическом полиноме
n различных корней
φ1
=
При
t=0 получается линейная комбинация
векторов
.
Различным собственным числам соответствует
ЛНЗ собственный вектор.
-
независимы и все
Общим
решением является вектор-функция
(
)
или для решения можно воспользоваться методом исключения:
x’(t) = AX(t) + f(t) – в матричном виде
Однород. x’(i) =AX(t)
Метод исключения:
x1, x2 – некоторые функции от t
=>
– лин
ур-ие 2 порядка
x1
= 0
ур-ие высш поряд однор с постоянн коэф
λ2 –()λ - ()=0
x1 = C1e λ1t+C2e λ2t => , x2-найти