- •Билеты по алгебре
- •1. Элементарные преобразования матриц
- •2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •3. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка
- •4. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными
- •5. Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Формулы Крамера
- •6. Определение определителя n-го порядка
- •7. Свойства определителя n-го порядка
- •8. Критерий единственности решения системы n уравнений с n неизвестными
- •9. Основная теорема для определителей (теорема Лапласа)
- •10. Теорема о разложении определителя по произвольному столбцу
- •11. Теорема Крамера
- •12. Теорема об определителе с углом нулей
- •13. Сложение матриц и умножение их на число
- •14. Умножение матриц
- •15. Транспонирование матрицы. Свойства операции транспонирование
- •16. Ранг матрицы
- •17. Теорема об определителе произведения
- •18. Обратная матрица
- •19. Решение матричных уравнений. Формулы Крамера
- •20. Алгебраическая форма комплексного числа
- •21. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •22. Извлечение корня из комплексного числа
- •23. Корни n-ой степени из единицы
- •24. Построение кольца многочленов от одной переменной
- •25. Алгоритм деления с остатком
- •26. Алгоритм Евклида
- •27. Кольцо многочленов от n переменных
- •28. Симметрические многочлены
- •29. Основная теорема о симметрических многочленах
- •30. Неприводимые многочлены. Критерий Эйзенштейна неприводимости в q[X]
- •31. Рациональные дроби
- •32. Простейшие дроби
- •33.Разложение правильных дробей на простейшие.
19. Решение матричных уравнений. Формулы Крамера
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)
20. Алгебраическая форма комплексного числа
Комплексное число – пара чисел, одно из которых мнимое, числа вида a + ib, где: a,b ∈ R, а i – мнимая единица.
Рассмотрим уравнение 𝑥2−1=0
Оно имеет корни 𝑥=±√1=±1
Теперь рассмотри уравнение 𝑥2+1=0
Его корни 𝑥=±√−1
Поскольку на множестве вещественных чисел нет таких, после взятия корня из которых результатом будет минус один, в математике решили доопределить, что 𝑖=√−1
Алгебраическая запись числа z = (x,y) это z = x + yi, где
x – действительная часть числа, а yi – мнимая.
z’ = x – yi – сопряжённое z число
21. Тригонометрическая форма комплексного числа
Так как комплексное число является парой чисел, мы можем изобразить его как точку на графике: ось X является осью действительных чисел, а ось Y - осью мнимых чисел соответственно.
Грубо говоря, комплексное число z – это радиус вектор из начала координат в точку z.
Чтобы связать нашу систему координат с полярной, можно представить z как вектор длины r с углом φ.
Рассмотрим треугольник OZX: OZ – Гипотенуза, ZX и OX – катеты.
По тригонометрическим формулам:
Из чего получаем, что комплексное число z представимо как
из чего получаем
где
Поскольку cos и sin периодические функции, точка z будет повторяться каждые 2π.
22. Извлечение корня из комплексного числа
Корень комплексного числа вычисляется по формуле
Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число w такое, что:
Множество всех корней n-ой степени из z обозначается через:
Доказательство: пусть
число z будем искать в виде
Преобразуем уравнение zn=ω, используя формулу Муавра:
Отсюда вытекают равенства:
Из которых для модуля искомого корня получается определенное значение:
тогда как его аргумент
может принимать различные значения при разных k.
При этом значениям k = 0, 1, 2, …, n-1 соответствуют различные значения корня, а при k= n значение корня совпадает с его значением при k=0. То есть при k = n+1 получим значение корня, что и при k=1, и так далее.
Таким образом, число различных значений корня равно n - это
что и требовалось доказать.
Все n корней zk лежат на окружности радиусом с центом в начале координат; они делят окружность на n дуг величиной каждая и являются вершинами вписанного в нее правильного n-угольника.
23. Корни n-ой степени из единицы
Существует теорема, которая гласит:
Существует ровно n различных корней n-ной степени из единицы, и все они вычисляются по формуле:
где t:
Доказательство: данная теорема является следствием формулы Муавра (о возведении комплексного числа, записанного в тригонометрическом виде в n-нную степень для любого целого n):
Из данной формулы следует и обратная ей, о вычислении корня n-нной степени из ненулевого комплексного числа:
где t:
Добавление 2πt необходимо, чтобы создать n разных чисел таких, что при возведении их в n-нную степень они все давали изначальное число z.
При подстановке:
Из-за того, что 1 не имеет мнимой части, следственно лежит на оси вещественных чисел в комплексной плоскости, угол φ = 0° = 360° = ... = 2πt, где t является целым числом, а расстояние r от (0;0) до 1 будет равно единице.
Значит:
И по формуле по вычислению корня:
где t:
Что на плоскости будет отображаться как правильный n-угольник с центром в точке (0;0), причем одна из вершин будет всегда расположена в точке (1;0).