- •СОДЕРЖАНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
- •§ 1. Понятие неопределённого интеграла
- •§ 2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •§ 3. Таблица основных интегралов
- •2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
- •§ 3. Интегрирование по частям
- •Практическое занятие 1.
- •§ 1. Некоторые сведения о многочленах
- •§ 2. Рациональные дроби
- •§ 3. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •§ 4. Метод неопределённых коэффициентов
- •§ 5. Интегрирование рациональных дробей
- •Практическое занятие 2.
- •Практическое занятие 3.
- •Практическое занятие 4.
- •Практическое занятие 5.
- •Практическое занятие 6.
- •ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОТВЕТЫ
Практическое занятие 4.
Интегрирование по частям
Пример 1. Найти интеграл I1 = x sin 2xdx
Решение. Применим формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле
ud u du. (*)
Положим u=x, dυ=sin2xdx, откуда du=(x)\dx=dx,
υ= sin 2xdx 12 sin 2xd (2x) 12 cos 2x .
По формуле (*) получаем: I1= x sin 2xdx =
12 x cos 2x 12 cos 2xdx 12 x cos 2x 14 cos 2xd (2x) 12 x cos 2x 14 sin 2x c
=c 12 x cos 2x 14 sin 2x .
Пример 2. Найти интеграл I2= ln( x 2 |
1)dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. Применим формулу (*). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Положим u=ln(x2+1), dυ=dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
откуда du=(ln(x2+1))'dx= |
|
|
2x |
|
dx, υ= dx x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По формуле (*) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I2= ln( x 2 1)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(x2 |
1) 1 |
|
|
|
|||
x ln(x |
|
1) 2 |
|
|
|
|
dx xln(x |
|
1) |
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|||||||
|
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
xln(x2 |
1) 2 (1 |
|
1 |
|
)dx xln(x2 |
1) 2( dx |
|
dx |
) |
|||||||||||||
= |
x |
2 |
|
x |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||
|
xln(x2 |
1) 2(x arctgx) c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
Пример 3. Найти интеграл
I3= arcsin xdx
x 1
Решение. Применим метод интегрирования по частям.
Положим u=arcsinx, dυ= |
dx |
, откуда du=(arcsinx)'dx= |
dx |
, |
x 1 |
1 x2 |
υ= |
dx |
|
d(x 1) |
2 x 1 |
|||
x 1 |
|||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
||
По формуле (*) получаем: |
|
||||||
I3= arcsin xdx = |
|
|
|
||||
|
x 1 |
|
|
|
|
||
2 |
x 1arcsin x 2 |
x 1 |
dx |
||||
2 |
|||||||
|
|
|
|
1 x |
|
||
2 |
x 1arcsin x 2 d (1 x) |
|
|||||
|
|
|
|
1 x |
|
||
2 |
x 1arcsin x 4 |
1 x c |
|
2 |
x 1arcsin x 2 |
dx |
|
|
1 x |
||||
|
|
|
34
4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
I. Вычислим интеграл от рациональной функции вида
R Sin x, Cos x dx |
(4.1) |
Покажем, что этот интеграл с помощью подстановки tg 2x t сводится к ин-
тегралу от рациональной алгебраической функции. Выразим Sin x и Cos x через
tg |
x |
; |
Sin x |
2tg |
x |
|
|
|
|
2t |
; |
Cos x |
1 tg 2 |
|
x |
|
|
1 |
t2 |
; |
x |
arctg t, x 2arctg t, |
dx |
|
2 dt |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
1 tg 2 |
|
x |
|
1 t2 |
1 tg 2 |
|
|
1 |
t2 |
2 |
1 |
t2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
R |
Sin x, Cos x dx tg |
x |
|
t, Sin x |
|
2t |
|
, Cos x 1 t 2 |
, dx |
|
2dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 t |
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
1 t |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2t |
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R |
|
|
|
|
, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
1 |
t |
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример. |
|
|
|
dx |
|
x |
|
|
|
|
2t |
|
|
2dt |
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
tg |
|
t, Sin x |
|
|
|
|
|
, dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 t2 |
|
|
2t |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sin x |
2 |
|
|
1 t |
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ln |
|
t |
|
c ln |
tg |
c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотренная подстановка даёт возможность проинтегрировать всякую функцию вида (I), поэтому её называют универсальной, однако на практике эта подстановка часто проводит к громоздким вычислениям, поэтому наряду с универсальной подстановкой, нужно знать и другие
|
Sin x t, |
|
R t dt. |
II. |
R Sin x Cos x dx Cos x dx dt |
||
|
|
|
|
35
|
Cos x t, |
|
|
|
R t dt. |
|
R Cos x Sin x dx |
|
|
||
Sin x dx dt |
|
|
tg x
III. R tg x dx x
t, |
|
|
|
|
|
R t |
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
. |
||
arctgt, dx |
|
|
|
|
1 t |
2 |
|||
1 |
t |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV. R Sinn x,Cos n x dx, |
|
|
где m и n – чётные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t, |
|
|
Cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
tg x |
|
|
|
|
|
x 1 tg 2 x |
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
t |
|
|
|
m |
|
|
|
1 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
tg |
x |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
1 |
t |
|
|
1 t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Sin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 tg |
2 |
x |
1 |
t |
2 |
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
tgx |
t, |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
Sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
1 t2 |
2 |
|
2t |
2 |
t |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
arctg |
|
|
t |
|
|
|
c |
|
1 |
|
arctg tgx C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
V. Sinm x Cosn x, |
где m и n – целые числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим три случая:
а) m и n неотрицательные и по крайне мере одно из них является нечёт-
ным. Пусть n – нечётное: n 2 p 1.
В этом случае Sinm x Cosn x dx Sinm x Cos2 p
Sinm x 1 Sin2 x |
p |
Sinx t |
|
t m 1 |
|
Cosxdx Cosxdx dt |
|||
|
|
|
|
|
xCosxdx
t 2 p dt.
б) m и n неотрицательные чётные, m 2 p, n 2q.
В этом случае используются тригонометрические формулы понижения
степени |
Sin2 x |
1 |
1 Cos2x , |
Cos2 x |
1 |
1 Cos2x . |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
Sin |
2 p |
x Cos |
2q |
xdx |
|
1 Cos2x p |
1 Cos2x q |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
dx. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
Возведя в степень и раскрыв скобки, получим члены, содержащие Cos2x в чётных и нечётных степенях. Члены с нечётными степенями интегрируются, как указано в случае а, чётные показатели снова понижаются по тем же формулам. Продолжая таким образом, дойдём до вычисления интеграла вида Сos k xdx , который вычисляется методом введения под знак дифференциала.
в) Если m и n – чётные, причём хотя бы один из них отрицательный. В этом случае используют подстановку tgx t (или ctg x t ).
IV. Cos mx Cos n xdx
Cos mx Sin n xdx
Sin mx Sin n xdx
Используются формулы преобразования тригонометрических функций в
сумму: |
Cos m x Cos n x |
1 |
Cos m n x Cos m n x , |
|
|
2 |
|
Sin m x Sin n x 12 Cos m n x Cos m n x ,
Cos m x Sin n x 12 Sin m n x Sin m n x .
Пример. Cos3xCos2xdx 12 Cosx Cos5x dx 12 Sinx 101 Sin5x С.
§2. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций
спомощью тригонометрических подстановок
Спомощью тригонометрических подстановок интегралы от некоторых иррациональных функций приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций
I. R x, |
a2 x2 dx |
x a Sint |
|
|
. |
||
|
|
x a Cost |
37
|
|
|
|
II. |
|
R x, |
a2 x2 dx |
|
|
|
x a tg t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x a ctg t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. R x, |
x2 |
a2 dx |
|
|
x asect |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a cos ect |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Пример. Найти |
|
|
1 x2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tg 2t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dt |
|
|
|
||||||||
|
1 x2 |
|
|
|
x |
tgt, |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cos |
t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Cos |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
4 |
|
|
arctgx |
|
|
|
|
|
|
tg |
4 |
t |
Cos |
2 |
t |
tg |
4 |
t |
Cos |
2 |
t |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cos4t |
|
|
dt |
|
Cost dt |
|
|
|
|
|
Sin |
4 |
|
Sint |
Sin 3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
t d |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Sin t |
Cos t |
|
Sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
C |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3Sin3t |
3Sin3 arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. Понятие об интегралах, не берущихся
вэлементарных функциях
Как мы видим, в дифференциальном исчислении, производная от любой элементарной функции есть функция элементарная. Другое дело операция, обратная дифференцированию, – интегрирование. Можно привести многочисленные примеры таких элементарных функций, первообразные от которых хотя и существуют, но не являются элементарными функциями. Так, например, хотя по теореме существования для функций:
x2 ; |
Sinx |
; |
Cosx |
; |
1 |
; |
|
1 k 2 Sin2 x dx |
|
x |
x |
ln x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
существуют первообразные, но они не выражаются в элементарных функциях. Несмотря на это, все эти первообразные хорошо изучены и для них составлены подробные таблицы, помогающие практически использовать эти функции. В дальнейшем мы познакомимся с методами вычисления значений таких функций.
38