- •1. Определённые интегралы
- •1.1. Понятие определённого интеграла
- •1.2. Некоторые свойства определённого интеграла
- •1.3. Простейшие определённые интегралы
- •1.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •1.5. А если подвести функцию под знак дифференциала?
- •1.6. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •1.7. Геометрический смысл определённого интеграла
- •1.8. Как вычислить площадь фигуры с помощью определённого интеграла?
- •1.9. Объём тела вращения
- •1.10. Интеграл от чётной функции по симметричному относительно 0 отрезку
- •1.11. А если подынтегральная функция нечётная?
- •2. Несобственные интегралы
- •2.1. Понятие несобственного интеграла
- •2.2. Несобственный интеграл первого рода
- •2.3. Несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом
- •2.4. Что делать, если оба предела интегрирования бесконечны?
- •2.5. Несобственные интегралы второго рода
- •2.6. Когда разрывы на обоих концах и / или внутри отрезка интегрирования
- •2.7. Интегралы-«ассорти»
- •3. Решения и ответы
И в заключение курса коротко о более редких случаях:
2.6. Когда разрывы на обоих концах и / или внутри отрезка интегрирования
Итак, тот же интеграл b f (x)dx , но разрывы уже на обоих концах отрезка. По
a
аналогии с несобственными интегралами 1-го рода, здесь можно записать двухстаночный предел, и мне таки придётся добавить пару новых букв, «эпсилон» и «ню»:
b |
|
|
|
|
f (x)dx lim F (x) |
b |
lim (F (b ) F (a )) |
0 |
a |
0 |
|
|
|||
a |
0 |
|
0 |
Но усложнять оформление мы не будем, ведь такой интеграл можно разделить на две части – с дальнейшим вычислением знакомых интегралов. А иногда всё ещё проще.
Редко, да метко, и, между прочим, задачка с «заочки»… прям как Маяковский:)
Пример 39
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
2 |
|
||
2 |
|
|
Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы на обоих концах отрезка интегрирования, но это не помеха:
2 |
|
dx |
|
|
|
0 |
|
dx |
|
|
|
2 |
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
– и в то же время, помеха :) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
4 x |
|
2 |
4 x |
|
0 |
|
4 x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку подынтегральная функция является чётной, а промежуток интегрирования симметричен относительно нуля, то… правильно представили:
И чётностью пользоваться МОЖНО. Ибо если одна половинка конечна или бесконечна, то другая – такая же. Поэтому не будем допускать математический грех, интеграл споловиним, а результат удвоим:
2 |
|
dx |
|
|
22 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 x |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
b |
|
|
|
|
|
|
b 2 |
|
|
|
b |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
lim |
arcsin |
|
|
|
|
|
0 2 |
|
lim |
|
arcsin |
|
|
arcsin 0 |
|
|
0 |
2 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
b 2 0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
b 2 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…опять это удивительное число.
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
42 |
|
Следующий интеграл для самостоятельного решения:
Пример 40
2
tgxdx
2
Точно так же, как у аналогичных интегралов 1-го рода, нечетностью функции пользоваться НЕЛЬЗЯ. Да, если интеграл сходится, то он действительно будет равен нулю, но если расходится, то… – смотрите образец решения!
Но, разумеется, подынтегральная функция может оказаться «обычной», да и промежуток интегрирования не симметричным относительно нуля:
Пример 41
2 |
dx |
|
|
||
|
||
x(x 2) |
||
0 |
|
Заметим, что подынтегральная функция отрицательна на интервале (0; 2) , а значит,
сразу можно сказать, что результат (конечный или бесконечный) должен получиться отрицательным. И алгоритм тот же, делим интеграл на две части:
2 |
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x(x 2) |
|
x(x 2) |
x(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Чтобы не «таскать за собой» пределы интегрирования, сначала удобно найти |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неопределённый интеграл. Выделяем полный квадрат в знаменателе и используем |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
табличную формулу |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln |
|
x a |
|
– с той поправкой что ВМЕСТО x у нас |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 a2 |
2a |
|
x a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x 1) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (x 1) |
|
1 |
ln |
|
x 1 1 |
|
|
1 |
|
ln |
|
x 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x(x 2) |
|
|
x2 2x |
|
x2 2x 1 1 |
(x 1)2 1 |
2 |
x 1 1 |
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
x (x 2) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Контроль: |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x 2 |
ln |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x 2 x |
|
|
|
2(x 2)x |
|
|
|
|
|
x(x 2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим первый интеграл – с разрывом в точке a 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
1x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
1 |
ln 1 ln |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ln |
1 |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 x |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Разберитесь, что куда стремится! И второй, с разрывом b 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
lim |
ln |
|
x 2 |
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
lim |
|
ln |
|
x 2 |
|
ln |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
ln |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
ln( |
0) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(x 2) 2 |
|
|
x |
2 0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
x 2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом: 2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
, т.е. несобственный интеграл расходится. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(x 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
43 |
|
Как быть, если точка разрыва находится прямо на отрезке интегрирования? Точно так же! Алгоритм такой же. Самостоятельно:
Пример 42
3 |
dx |
||
|
|||
|
|
||
x2 |
1 |
||
0 |
|
|
Встречаются ли такие примеры на практике? Да, реально встречаются, и поэтому со всей серьёзностью отнеситесь к этим, вроде бы несерьёзным примерам.
Следует отметить, что для интегралов 2-го рода тоже вводится понятие сходимости по Коши, но я оставлю эту информацию за кадром, т.к. она не входит в аптечку скорой математической помощи. И напоследок что-нибудь вкусное:
2.7. Интегралы-«ассорти»
Такие интегралы включают в себя и бесконечность, и точки разрыва, например:
Пример 43
dx
0 x
Этот интеграл похож на интеграл 1-го рода, но, кроме того, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке a 0 . Как быть? Точно так же, делим интеграл на 2 части, в качестве точки «распила» удобно выбрать единицу:
dx |
1 |
dx |
dx |
||
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
|||
0 |
|
0 |
|
1 |
|
Разделаемся с несобственным интегралом второго рода:
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
lim ln |
|
x |
|
|
1x |
lim (ln 1 ln |
|
x |
|
) 0 ln( 0) ( ) , |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||
|
x 0 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
– уже найден ранее. |
||
а несобственный интеграл первого рода |
|
||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом: dx , т.е. интеграл-«ассорти» расходится.
0 x
Но если вам встретился подобный интеграл, то, скорее всего, это опечатка. А
может, и нет. Особенно, если у вас углублённый курс обучения. Так или иначе, здесь имеет смысл проконсультироваться с преподавателем.
И я вас поздравляю! Теперь вы во всеоружии на долгие многие темы вышмата!
Места осталось мало, и поэтому оставляю ссылку на соответствующий раздел портала, также читайте: К.А. Бохан 1-й том, Г.М. Фихтенгольц, 2-й том, Н.С. Пискунов.
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
44 |
|