12. Решения и ответы

Добавил:

mizuki Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Теория / теория по интегралам.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.01.2024

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1111

Если x2 4 t 2 ,

t 2 4 и окончательно:

x3dx tx2dt t(t2 4)dt

t(t 2 4)dt

Разминочное задание:

xn 1

(xn 1 ) (C)

(n 1)xn 1 1 0 xn

n 1

C) (ln

) (C)

(ln

(ax ) (C)

ax ln a 0 ax

ln a

(sin x C) (sin x) (C) cos x 0 cos x

(tgx C) (tgx) (C)

cos2

cos2 x

( ctgx C)

(ctgx)

(C)

sin

(C)

arctg

(x)

a2 x2

a2 (a2 x2 )

a2 x2

a a2

(C)

x2 A) 0

(x2

2 x

(2x 0)

2 x

(

A x)

x2 A

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	71

Пример 2. Решение:
1				x2 ln 5													4									1																	7
																																																	dx
																																																	dx
																			x					3			x		4											1 x						2
x																			x			3					x													1 x
		dx					ln 5 x2dx 4 x																						1												1			x				4						dx
		dx																											2 dx												1							3 dx 7						dx
																																									3
				x																																																		1 x	2
				x																																																		1 x
													1											1						1						1									1							1
ln			x			ln 5							1		x		3			4				1				x 2								1									1						x	3 7 arcsin x C
ln			x			ln 5							3		x					4				1				x 2								3										1					x	3 7 arcsin x C
													3											1												3										1

																								2
																																														3
																																														3
										(ln 5) x3																					1
ln			x							(ln 5) x3											8				x						1								7 arcsin x C, где C const
												3																			3

Проверка:																																		x
Проверка:
								(ln 5) x3
																															1
																															1
ln		x																	8					x													7 arcsin x C
ln		x																	8					x													7 arcsin x C
												3																	3			x
												3																				x
											(ln 5)																																			1
							)										(x3 ) 8(																		) (x														) 7(arcsin x) (C)
(ln					x																												x														3
(ln					x																												x														3
												3																																						4
	1					(ln 5)						3												1																		1												1

												3x				2		8																											x					3 7						0
																2



	x								3														2 x																			3											1	x2
	1		x2 ln 5											4										1																			7
	x

																	x				33					x4												1 x2

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден верно.

Пример 4. Решение:

x(1 2x)3 dx x(1 6x 12x2 8x3 )dx (x 6x2 12x3 8x4 )dx

	x2	6	x3	12	x4	8	x5	C	x2	2x3 3x4	8x5	C, где C const

2		3		4		5		2			5

В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения

(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (см. Приложение Полезные формулы)

Проверка:

x2				8x5
x2			2x3 3x4	8x5				1	(x2 ) 2(x3 ) 3(x4 )		8	(x5 ) (C)
					C
					C
	2			5				2			5
	2			5				2			5
	1	2x 2 3x2 3 4x3				8	5x4 0 x 6x2 12x3			8x4
		2x 2 3x2 3 4x3					5x4 0 x 6x2 12x3			8x4
	2				5

x(1 6x 12x2 8x3 ) x(1 2x)3

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден верно.

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	72

Пример 6. Решение:

				1							1
2x2 3 x 1		3		1	1		x2	3	1		1	1
2x2 3 x 1		3			1		x2	3	1			1
			2							x	2		ln	x	C

	dx x x					dx
2x		2			2x		2	2	1			2
2x		2			2x		2	2	1			2
									2
									2

x2 3 x 1 ln x C, где C const

2 2

Проверка:

x2																	1
				1									1				1		1
				1									1	(x2 )	3(x 2 )				1				) (C)
		3	x		ln			x	C											(ln		x
		3	x		ln			x	C											(ln		x
	2			2									2						2
	2			2									2						2
							1														2x2
	1			1			1			1	1				3			1					3 x 1
	1			1						1	1				3			1					3 x 1
		2x 3			x	2						0 x
	2			2		2				2	x							2x					2x
																2 x
																2 x

Получена исходная подынтегральная функция, что и требовалось проверить.

Пример 9. Решение:

а)

cos

2sin

C, где C const

Проверка:

2sin

2 sin

(C)

2cos

0 2cos

cos

2 2

б)

45 x dx

45 x d (5x)

45 x

C, где C const

5ln 4

45 x

(45 x ) (C)

45 x ln 4 (5x)

45 x 5 45 x

Проверка:

5ln 4

Пример 11. Решение:

cos 2xdx

d (sin 2x)

сtg2xdx

sin

C, где C const

Проверка:

sin 2x

)

(C)

2x) 0

sin 2x

(ln

sin 2x

(sin

sin 2x

cos 2x (2x)

cos 2x

ctg2x

2sin 2x

sin 2x

Пример 14. Решение:

5 (1 x)4 dx (1 x)5 d (1 x)

(1 x)9

(1 x)5

C, где C const

Проверка:

5 (1

((1

x)5 ) (C)

(1 x)5 (1 x) 0 5

(1 x)

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	73

Пример 16. Решение:

x(1 x)5dx (*)

Проведём замену: 1 x t dx dt dx dt


Из 1 x t							выразим x 1 t
(*) (1 t)t5 ( dt) (t5												t6 )dt (t6 t5 )dt
		t7		t6		C t 1 x				(1 x)7					(1 x)6	C, где C const
						C t 1 x										C, где C const
7			6								7			6
Проверка:
					7			6
					7			6
	(1 x)						(1 x)		C			1	7(1 x)6 (1 x)				1	6(1 x)5 (1 x) 0
									C				7(1 x)6 (1 x)					6(1 x)5 (1 x) 0
			7				6					7				6
			7				6					7				6

(1 x)6 (1 x)5 (1 x)5 (1 x) 1 (1 x)5 1 x 1 x(1 x)5

Пример 18. Решение:

а)

xdx

(*)

9 8x

Проведем замену:

9 8x2

d (9 8x2 ) (9 8x2 ) dx 16xdx dt

откуда выражаем:

xdx

(*)

2 dt

9 8x2

C t 9 8 x 2

C, где C const

б) x2e2 x3 1dx (*)

Проведем замену:

2x3 1 t

d (2x3 1) 6x2dx dt x2dx dt6

(*)	1	t	dt	1			t	C		t 2 x3 1				1		2 x3 1		C, где C const
		e				e									e
	6	e		6		e								6	e
	6			6										6
			1								1								1
			1		2 x3		1				1		2 x	3 1			3	1) 0	1		2 x3	1		2	2		2 x3	1
Проверка:				e					C			e				(2x				e			6x		x	e
Проверка:				e					C			e				(2x				e			6x		x	e
			6								6								6

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	74

Пример 20. Решение:

3 ln( 3x 1) dx (*) 3x 1

Проведем замену:

ln( 3x 1) t
d (ln( 3x 1)) (ln( 3x 1)) dx																											3dx			dt			dx						dt
d (ln( 3x 1)) (ln( 3x 1)) dx																														dt
																										3x			1			3x 1					3
																1									4
					1							1				1				1			3		4										3 ln 4 (3x 1)
(*)					1		3	tdt				1		t 3 dt						1			3	t 3			C				t ln(3x 1)				3 ln 4 (3x 1)					C, где C	const
(*)					3			tdt				3		t 3 dt						3			4	t 3			C										4			C, где C	const
					3							3								3			4														4
Проверка:

3		ln 4 (3x 1)															1					4											1		4		1
3		ln 4 (3x 1)															1																1		4
											C								(ln 3				(3x 1)) (C)													ln 3 (3x 1) (ln( 3x 1)) 0
											C								(ln 3				(3x 1)) (C)													ln 3 (3x 1) (ln( 3x 1)) 0
						4											4																4		3


	1		3											1				(3x 1)										3 ln( 3x 1)								3	ln( 3x 1)
	1				ln( 3x				1)					1														3 ln( 3x 1)				3				3	ln( 3x 1)
					ln( 3x				1)																							3
	3												3x		1													3(3x 1)										3x 1
Пример 23. Решение:
а)				ln xdx					ln xd(ln x)													ln 2 x					C, где C const
а)						x			ln xd(ln x)														2				C, где C const
						x																	2
									ln 2 x
									ln 2 x												1		2ln x (ln x) 0											ln x
Проверка:														C
Проверка:														C
										2											2														x
										2											2														x

б) lnx2x dx (*)

Интегрируем по частям:

u ln x du

udv uv vdu

(*)

ln x

(ln x 1)

C, где C const

Проверка:

(ln x 1)

(С)

(ln x 1)

ln x

(ln x 1)

x x

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	75

Пример 25. Решение:

(x2 x)e xdx (*)

Дважды интегрируем по частям:

u x2 x du (x2 x) dx (2x 1)dx

dv e x dx v e x dx e x d ( x) e x

udv uv vdu

(*) e x (x2 x) (2x 1)e xdx (*)

u 2x 1 du 2dx dv e xdx v e x

(*) e x (x2 x) e x (2x 1) 2 e xdx

e x (x2 x) e x (2x 1) 2e x C e x (x2 x 2x 1 2) C

e x (x2 3x 3) C, где C const

Проверка:

( e x (x2 3x 3) C) ( e x ) (x2 3x 3) e x (x2 3x 3) 0

e x ( 1) (x2 3x 3) e x (2x 3 0) (x2 3x 3 2x 3)e x (x2 x)e x

Пример 27. Решение:

(x 6)sin

dx (*)

Интегрируем по частям:

u x 6 du dx

dv sin

dx v sin

dx 2cos

udv uv vdu

(*) 2(x 6) cos

cos

dx 2(x 6) cos

2 2

cos

2(x 6) cos

4sin

C, где C const

Проверка:

2(x 6) cos

4sin

2(x 6) cos

4cos

2 2

2cos

2(x 6)

sin

2cos

(x 6)sin

2cos

(x 6)sin

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	76

Пример 29. Решение: используем тригонометрическую формулу sin cos 12 sin 2 и интегрируем по частям:

x sin x cos xdx											1		x sin 2xdx (*)
x sin x cos xdx													x sin 2xdx (*)
										2
u x du dx
dv sin x cos xdx														1		sin 2xdx v							1	sin 2xdx							1		cos 2x
dv sin x cos xdx												2				sin 2xdx v							2	sin 2xdx							4		cos 2x
												2											2								4
udv uv vdu
(*)					1	x cos 2x							1		cos 2xdx						1	x cos 2x						1		sin 2x C, где C const
(*)						x cos 2x									cos 2xdx							x cos 2x								sin 2x C, где C const
			4									4								4								8
Проверка:
	1							1											1	(x) cos 2x							1		x(cos 2x)					1
			x cos 2x							sin 2x C																									2cos 2x 0
	4		x cos 2x					8		sin 2x C									4								4							8	2cos 2x 0
	4							8											4								4							8
		1		cos 2x			1		x( 2sin 2x)								1	cos 2x							1	x sin 2x					1	x 2sin x cos x x sin x cos x
				cos 2x					x( 2sin 2x)									cos 2x								x sin 2x						x 2sin x cos x x sin x cos x
	4						4										4						2								2

Примечание: Похожим способом также решаются интегралы вида x sin 2 xdx ,

x cos2 xdx , где нужно понизить степень синуса / косинуса с помощью соответствующих тригонометрических формул.

Пример 31. Решение:

а) arcsin 3xdx (*)

Интегрируем по частям:

u arcsin 3x du

3dx

9x2

dv dx v x

udv uv vdu

(*) x arcsin 3x

3xdx

x arcsin 3x

d (1 9x2 )

1 9x

x arcsin 3x

1 9x2 C, где C const

Проверка:

	1						1	1
	1			2		(x) arcsin 3x x(arcsin 3x)	1	1			2	) 0
x arcsin 3x		1	9x		C				(1	9x
	3						3
								2 1 9x2
								2 1 9x2

arcsin 3x x	1		3	1	( 18x) arcsin 3x


	(3x)2			9x2
1		6 1

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	77

б) xarctgxdx (*)

Интегрируем по частям:

u arctgx du												dx

											1 x2
dv xdx v									x2
dv xdx v									2
									2
udv uv vdu
					x2					1		x2dx 1								2								(1 x2			1)dx

(*)					2			arctgx		2 1 x							2	x arctgx										1	x
					2					2 1 x							2											1	x
	1					2							1										1			2								dx
			x				arctgx			1						dx								x			arctgx			dx
			x				arctgx			1						dx								x			arctgx			dx
	2											1	x2										2										1 x2
	1		(x2arctgx x arctgx) C																		1		(x2			1)arctgx x C, где C const
	2		(x2arctgx x arctgx) C																	2			(x2			1)arctgx x C, где C const
	2																			2
Проверка:
1		(x			2		1)arctgx			x C							1		(x			2									2	1)				0

																									1) arctgx (x								(arctgx)		(x)
2																	2
															1										1
	1			2xarctgx (x2 1)											1					1					1	(2xarctgx 1 1)							xarctgx
				2xarctgx (x2 1)										x2						1						(2xarctgx 1 1)							xarctgx
	2													x2			1								2

Пример 33. Решение:

sin 2x cos 4x dx (*)

Используем формулу sin cos																					sin( ) sin( )												:
Используем формулу sin cos																																	:
																										2
				x				x					x			x
			sin								sin								1					3x			1			x
			sin								sin
(*)					2 4								2			4					sin				dx			sin				dx
(*)											2								2		sin		4		dx		2	sin	4			dx
											2								2				4				2		4
	1	4				3x				3x			1					x		x
				sin			d							4		sin			d
				sin			d							4		sin			d
	2	3			4						4		2				4			4
	2					3x									x							2			3x				x
		cos							2			cos				C							cos			2cos					C, где C const
		cos							2			cos				C							cos			2cos					C, где C const
	3					4									4							3			4			4

Примечание: здесь и далее я не всегда буду переписывать проверку со своих черновиков – надеюсь, у вас уже сложилась устойчивая привычка проверять результаты

Пример 35. Решение: используем формулу

sin 2

1 cos 2

2 3x

sin

(1 cos3x)dx

sin 3x

C, где C const

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	78

Пример 37. Решение:

		2				2					2	1				2
sin			x cos				xdx		(sin		x cos x) dx
												2
														sin 2x dx
	1			2				1		1			1		1
			sin		2xdx						(1 cos 4x)dx			x		sin 4x	C, где C const
	4		sin		2xdx			4		2	(1 cos 4x)dx		8	x	4	sin 4x	C, где C const
	4							4		2			8		4

Пример 39. Решение:

а) отделяем косинус и используем формулу cos2 1 sin 2 :

	cos3 xdx																				cos2 x cos xdx																						(1 sin									2 x) d (sin x)												sin x t
	cos3 xdx																				cos2 x cos xdx																						(1 sin									2 x) d (sin x)

3 sin 4 x																								3			sin 4 x																								3		sin 4 x
3 sin 4 x																								3			sin 4 x																								3		sin 4 x
			(1 t						2			) dt																	4					2														1				3			5
			(1 t									) dt																	3					3														3				3			3							t sin x
							3																		t					t						dt					3t											5		t			C
							3			t		4													t					t						dt					3t													t			C
										t
							3												3 3
							3												3 3					sin			5		x C,									где C const
				3															5
						sin x
						sin x
б)
cos5 xdx cos4																									x cos xdx (cos2																									x)2 cos xdx (1 sin 2 x)2 d (sin x) sin x t
(1 t									2		)			2		dt (1 2t															2		t				4		)dt t											2	t	3				1		t	5	C				t sin x
									2					2																	2						4													2		3				1			5					t sin x
																																																		3					5
sin x											2				sin 3 x											1		sin 5					x C, где C const
sin x															sin 3 x													sin 5					x C, где C const
											3														5
в)
sin 3 x cos8																		xdx sin 2 x cos8																							x sin xdx (1 cos2 x) cos8 x ( d (cos x)) cos x t
(1 t 2 )t8dt (t 2 1)t8dt (t10 t8 )dt
		t11						t9						C									t cos x						cos11 x												cos9 x							C, где C const
		11						9						C																	11											9						C, где C const
		11						9																							11											9
Пример 41. Решение:
																								2	x																				2		x
																																				1				cos									dx
			2 x																	sin					2 dx											1				cos							2		dx											1
			2 x																	sin					2 dx																						2													1
tg							dx																																																									1 dx
tg			2				dx																				x																			x																	x	1 dx
			2																						2		x																	2		x															2		x
																						cos																			cos																	cos
																						cos					2														cos					2												cos				2
																											2																			2																2
							x
						d																										x
						d
2							2										dx								2tg										x C, где C const
2									2				x				dx								2tg							2			x C, где C const
					cos				2				x																			2
					cos								2
													2

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	79

Пример 44. Решение:

cos7 2x sin 2xdx (*)

Проведем замену: cos2x t

d (cos 2x) 2 sin											2xdx dt sin 2xdx
(*)					1	t7dt						1			t8		C			cos8			2x
(*)					2	t7dt					2						C
					2						2					8					16
Пример 45. Решение:
	3
	3		tg5xdx						(*)

		cos2 5x
Проведём замену: tg5x t
d (tg5x)									5dx			dt							dx				dt

								cos2 5x										cos2 5x					5
							1							4
				1			1			1	3			4					3 3			tg4 5x
(*)				1	t 3 dt					1	3		t 3			C			3 3			tg4 5x
(*)				5	t 3 dt					5	4		t 3			C					20
				5						5	4										20

Пример 47. Решение:

dt2

C, где C const


						dx								1					d ( 7x)									1
а)						dx								1					d ( 7x)									1					ln				7x							7x			2		3			C, где C const

						7x	2		3					7									2								7
							2												( 7x)				2	3
б)																			( 7x)					3
б)

				dx							1						d ( 7x)								1			1						ln					7x 2							C						1					ln		7x 2		C, где C const

		7x2 4																											2 2																						4
		7x2 4										7		( 7x)2 22											7				2 2									7x 2													4				7				7x 2
Пример 49. Решение:
						dx													dx														dx													d (x 1)

	x2 2x 10															x2 2x 1 9												(x 1)2 9																	(x 1)2 32
		1						x 1
			arctg											C, где C const
		3	arctg								3			C, где C const
		3									3
Пример 52. Решение:
						dx													dx							1									dx								1														dx

		2x2 2x 1													2 x2				x			1				2				x2 x										1			2					x2 2						1		x		1		1		1


																																								2															2			4 2			4
																							2																	2															2			4 2			4
																										1																											1
		1								dx								1			d x															1				1								x
																										2

																																																				2
																																										arctg													C
		2								1 2								2					1 2									2				2					1	arctg								1					C
		2								1 2				1				2					1 2				1					2				2					1									1
					x															x																				2										2
					x															x
										2				4									2				2
										2				4									2				2
											2x 1
arctg							2											C arctg(2x 1) C, где C const
arctg							2						2					C arctg(2x 1) C, где C const
													2

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	80

Пример 54. Решение:

																													13			d (x2 1) 8dx																												d (x2 1)
а)				8 13x										dx														2				d (x2 1) 8dx																						13						d (x2 1)							8					dx

					x		2				1																										x			2		1																			2 x				2	1						x	2	1
					x						1																										x					1																			2 x					1						x		1

13									x2 1 8ln																			x								x2 1										C, где C const
б)
б)
	(2x 10)dx																						d (1 x x2 ) 9dx																														2						d (1 x x2 )											9								dx

		1		x x									2															1					x x											2															2 1				x x				2												1		1	1
		1		x x																								1					x x																										2 1				x x													2			1		1	1
																																																																									1 x				2			x
																																																																									1 x				2			x
																																																																															2		4	4
																																														1
																																				d x																																							2x 1
																																				d x										2
																		2																												2																						2
2					1 x x																	9																																			2 1 x x													9arcsin									C, где C const

																																									2																																				5
																																			5						2											1			2																						5
																																													x
																																													x
																																	2																			2
																																	2																			2
Пример 56. Решение:
		x2dx												(x2 5 5)dx																																					5
																																											1														dx
																																											1														dx
x2 5																				x2 5																												x2
x2 5																				x2 5																												x2						5
dx 5																			dx												x											5					ln			x						5		C, где C const
															2													2
												x			2		(							5)				2												2 5										x
												x					(							5)																2 5										x					5
Пример 58. Решение:
	(x3 3)dx																				x2			(x 1) x(x 1) (x 1) 2																																					dx
				x 1																																					x 1																				dx
				x 1																																					x 1
					2																		2															x3								x2
					2																		2															x3								x2
				x			x 1																																											x 2ln									x 1					C, где C const
				x			x 1																								dx																			x 2ln									x 1					C, где C const
																							x				1												3							2
Пример 60. Решение:
а)								dx											(*)
а)				5 3cos x															(*)
				5 3cos x
Проведем универсальную тригонометрическую подстановку:
tg			x	z,							cos x													1 z2

			2																					1 z2
x 2arctgz dx																														2dz

																											1 z2
												2dz
																																													dz																		dz							dz
(*)										1 z									2							2																			dz												2						dz							dz
										1 z
						5					3(1 z2 )																							5 5z2												3 3z2																8z2 2							4z2		1
						5							1			z2
													1			z2
																																												z tg					x
		1				d (2z)																	1																									2 1																x
																									arctg2z C																												arctg 2tg													C, где C const
																									arctg2z C																												arctg 2tg													C, где C const
		2 (2z)2 1 2																																																	2												2

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	81

б) Используем формулы sin								2		1 cos 2			, cos2	1 cos 2			:
											2				2
			dx								dx

	4sin 2		x 5cos2 x				(1 cos 2x)					(1 cos 2x)
					4						5
					4			2			5	2
								2				2
			dx										dx				2dx

			5		5cos 2x				4 4cos 2x 5 5cos 2x							1 9cos 2x
		2	2cos 2x
		2	2cos 2x	2		2						2

Проведём универсальную тригонометрическую подстановку:

tgx z,	cos 2x	1 z2
		1 z2
x arctgz dx			dz

		1 z2

			2			dz
(*)			2		1 z		2		2				dz			2			dz				dz
							2


			1		9(1 z2 )						1 z2 9 9z2							8z2		10			4z2	5
			1			1 z2
						1 z2
	1		d (2z)						1	1			2z	5			z tgx		1			2tgx		5
	1		d (2z)						1	1		ln	2z	5	C				1		ln	2tgx		5	C, где

	2			2				2	2
		(2z)		2		( 5)		2		2 5			2z	5					4	5		2tgx		5
		(2z)				( 5)				2 5			2z	5					4	5		2tgx		5

Пример 62. Решение:

(*)

C const

d (tgx)

tgx

C, где C const

sin x cos x

sin x

cos2

tgx cos2 x

tgx

cos x

Пример 64. Решение:

–3 – 3 = –6 – целое отрицательное и чётное число

(tg2 x 1)2 d (tgx)

tgx t

sin 3

x cos3 x

sin 3 x

cos6 x

tg3 x (cos2

x)2 cos2

tg3 x

cos3 x

(t 2 1)2 dt

(t 4 2t 2

1)dt

t 2

t tgx

2ln

tg2 x

2ln

tgx

C, где C const

2tg2 x

Пример 66. Решение: а)

sin 2

x 4sin x cos x 5cos2

(sin 2

x 4sin x cos x 5cos2 x)

cos2

cos2 x

d (tgx)

tgx t

(tg2 x 4tgx 5) cos2 x

(tg2 x 4tgx 5)

arctg(t 2) C t tgxarctg(tgx 2) C, где C const

t 2

4t 5

(t 2)2

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	82

б)

sin 2xdx

2sin x cos xdx

sin 4

x 4cos4 x

sin 4 x 4cos4

(sin 4

x 4cos4

cos4 x

2sin xdx

2tgxdx

2tgxd(tgx)

tgx t

(tg4 x 4) cos3

(tg4 x 4) cos2 x

tg4 x 4

2tdt

d (t 2 )

t tgx

tg2 x

arctg

C, где C const

)

Пример 68. Решение:

(*)

x2 x

x(x 1)

Методом неопределённых коэффициентов разложим подынтегральную функцию в

сумму дробей:

x(x

x 1

A(x 1) Bx 1

A B 0

A 1, B A 1

(*)

dx ln

x 1

где C const

x 1

Пример 70. Решение:

(43x 67)dx

(*)

(x 1)(x2

x 12)

(x 1)(x 4)(x 3)

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в

сумму элементарных дробей:

(43x 67)

(x 1)( x 4)( x

x 1

x 3

A(x 4)( x 3) B(x 1)(x 3) C(x 1)(x 4)

43x 67

(x 1)(x 4)(x 3)

A(x2 x 12) B(x2

2x 3) C(x2

5x 4) 43x 67

A B C 0

C A B

12 A 24

A 2B 5C 43

4 A 7B 43

7B 67

12 A 3B 4C 67

16 A

A 2,

B 5,

C 7

Примечание: в правой части у нас нет слагаемого с x 2 , поэтому в первом

уравнении системы справа ставим ноль.

(*)

dx 2ln

x 1

5ln

x 4

7 ln

x 3

C, где C const

1 x

x 3

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	83

Пример 72. Решение: x6 25x3 12

x(x 2)3 (x2 4)(x2 4)

Шаг 1. Проверяем, правильная ли у нас дробь Старшая степень числителя: 6

Старшая степень знаменателя: 8 ( x x3 x2 x2 ) 6 8 , значит, дробь является правильной.

Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители?

Множитель x2 4 разложить нельзя, а вот x2

4 – можно:

x6 25x3 12

x(x 2)3 (x2 4)(x2 4)

x(x 2)3 (x 2)(x 2)(x2

x(x 2)4 (x 2)(x2

Шаг 3. Разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

x6 25x3 12

A B

Gx H

x(x 2)4 (x 2)(x2

x 2

(x 2)2

(x 2)3

(x 2)4

(x 2)

x2 4

Пример 74. Решение:

а)

(x2 23)dx

(*)

(x 1)(x2

6x 13)

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в

сумму элементарных дробей:

x2 23

Bx C

(x 1)(x2 6x 13)

x 1

(x2

6x 13)

A(x2 6x 13) (Bx C)( x 1)

x2 23

(x 1)( x2 6x 13)

(x 1)(x2 6x 13)

A(x2 6x 13) B(x2 x) C(x 1) x2 23

A B 1

B 1 A

C 1

8A 24

6A B C 0

13A C 23

13A C

A 3, B 2, C 16

2x 16

d (x2

6x 13) 10dx

(*)

6x 13)

d (x2 6x 13)

3ln

(x2

6x 13)

6x 9 4

3ln

ln( x

6x 13) 10

d (x 3)

(x 3)2 22

x 3

3ln

ln( x

6x 13) 5arctg

C, где C const

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	84

б)	(2x3 2x2 5)dx	(*)
	(x 1)2 (x2 4)

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

(2x3 2x2 5)	A		B	Cx D
(x 1)2 (x2 4)	x 1		(x 1)2	(x2 4)
A(x 1)(x2 4) B(x2		4) (Cx D)( x2 2x 1)			2x3 2x2 5
	(x 1)2 (x2 4)				(x 1)2 (x2 4)

A(x3 x2 4x 4) B(x2 4) C(x3 2x2 x) D(x2 2x 1) 2x3 2x2 5

A C 2	C 2 A	C 2 A

A B 2C D 2	A B D 2	D 2 A B		5B 5
				5B 5
4 A C 2D 0	3A 2D 2	5A 2B	2
4 A 4B D 5	4 A 4B D 5	5A 3B 3

B 1, A 0, C 2, D 1

2x 1

d (x2 4)

(*)

(x 1)

x 2

ln( x2 4)

arctg

C, где C const

x 1

Пример 76. Решение:

(x3 3)dx

(1)

(x3 3)dx

(2)

(x3

x2 x 1) x2 x 4

(3)

(x 1)(x2 1)

x3 x2

x 1

x3 x2 x 1

x2 x 4

(4)

(x2 x 4)dx

(*)

(x 1)

(1) Поскольку старшие степени числителя и знаменателя равны: 3 = 3, то мы имеем дело с неправильной дробью. Для того чтобы разделить числитель на знаменатель придётся временно раскрыть скобки в знаменателе.

(2)-(3) Теперь можно разделить x3 0 x2 0 x 3 на x3 x2 x 1, но делать этого… я не буду. Здесь удобно применить искусственный приём из Примеров 55-58.

Запишем в числителе x3 x2 x 1 и добавим ТАКИЕ слагаемые, чтобы при упрощении всей суммы получился исходный числитель x3 3 .

(4) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель оставшейся, уже правильной, дроби снова записываем в виде произведения множителей. Тут я немного подсократил разложение, надеюсь, всем понятно, что:

(x 1)(x2 1) (x 1)(x 1)(x 1) (x 1)2 (x 1)

Далее решение идёт по накатанной колее:

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	85

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

x2 x 4

(x 1)2 (x 1)

x 1

(x 1)2

x 1

A(x 1)( x 1) B(x 1) C(x 1)

x2 x 4

(x 1)2 (x 1)

A(x2 1) B(x 1) C(x2 2x 1) x2 x 4

A C 1

C 1 A

2B 2 B 1, A 2, C 1

B 2C

2A B 3

A B

2A B 5

и главное, не забыть о первом слагаемом:

(*) x

dx x

2ln

x 1

C, где C const

x 1

Пример 78. Решение:

(*)

x 3

Проведём замену: x t 2 dx 2tdt

2tdt

tdt

(t 3 3)dt

t x

(*)

dt 2(t 3ln

t 3

) C

t 3

x 3ln

x 3

) C, где C const

Пример 80. Решение:

(*)

5x 3 1

Проведем замену 5x 3 t3 . Навешиваем дифференциалы на обе части: d (5x 3) d (t3 )

(5x 3) dx (t3 ) dt

5dx 3t 2dt dx 53 t 2dt

! Примечание: вот почему дифференциалы нужно именно навешивать и добросовестно раскрывать. Дабы не допустить машинальную ошибку dx 3t 2dt .

				3		t	2	dt			t 2dt
(*)					5	t		dt		3	t 2dt			3		t(t 1) (t 1) 1					dt		3	t 1			1	dt
										5 t 1				5									5

				3 t3 1
				3 t3 1															t 1								t 1
																		3
		t 2											t 3						(5x 3)2
	3	t 2											t 3		5 x 3		3		(5x 3)2
					t ln				t 1			C								3		5x 3 ln			3	5x		3 1	C, где C const
					t ln				t 1			C								3		5x 3 ln			3	5x		3 1	C, где C const
	5		2														5		2
	5		2														5		2

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	86

Пример 82. Решение:

			xdx					(*)

	1 4
	1 4			x
Проведём замену: x t 4 dx 4t3dt

(*)								t 4 4t3dt												t 2		4t3dt				4			t5dt				4			t5dt
											4											1 t							1 t							t 1
							1				4			t	4
							1							t
				t 4			(t 1) t3										(t 1) t 2 (t 1) t(t 1) (t 1) 1
4																																						dt
4																									t 1													dt
																									t 1
																									1						t5			t	4		t3		t 2
						4						3				2																			4								t 4	x
						4						3				2																											t 4	x
4					t				t					t			t 1										dt	4												t ln	t 1	C
4					t				t					t			t 1										dt	4												t ln	t 1	C

																								t 1									5	4 3 2
			4													4
						x5												x3
													x										x
													x										x
4																									4		x	ln		4		x 1				C, где C const
4																									4		x	ln		4		x 1				C, где C const
					5								4				3					2
					5								4				3					2

Пример 84. Решение:
		x3dx								(*)

		x2				4
		x2				4
																															4)			1
Представим интеграл в виде x3 (x2																															4)			2 dx и выпишем коэффициенты:
m 3, n 2 ,															p				1		.
m 3, n 2 ,															p						.
																	2

1)p 12 – целое? Нет.

2)m 1 3 1 4 2 – целое, значит у нас второй случай. n 2 2

Проведём замену x2 4 t 2 . Тогда:

x2 4 t2 t d (x2 4) d (t 2 ) 2xdx 2tdt

xdx tdt

Чтобы выразить x3dx , домножим обе части на x2 : xdx x2 tdt x2

x3dx tx2dt

(x2 4)3 4 x2 4 C, где C const

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	87

b xan

Пример 86. Решение:

			dx		(*)


			(x2 1)3
			(x2 1)3

Представим интеграл в виде x0 (x2 1) 2 dx и выпишем коэффициенты: m 0 , n 2 , p 32 , a 1, b 1

1)p 32 – целое? Нет.

2)m 1 0 1 1 – целое? Нет. n 2 2

3)		m 1	p		0 1				3				1			3	1 – целое! Поэтому следует провести замену
3)			p														1 – целое! Поэтому следует провести замену
		n				2		2					2			2
t N , в данном случае:										1					1	t 2
t N , в данном случае:										1					x2	t 2
															x2
Из замены выражаем											1			1 t 2 x2							1		и подставляем под корень:
Из замены выражаем											x2			1 t 2 x2						1 t 2			и подставляем под корень:
											x2									1 t 2
																			3						3
												3
						1		1				3					1 1 t2						t2			t6				t3
	(x2 1)3					1											1 1 t2						t2			t6				t3



							2											2						2			2		3		2		3
				1 t			2										1 t	2				1 t		2		(1 t	2	)	3	(1 t	2	)	3
				1 t													1 t					1 t				(1 t		)		(1 t		)

Выразим оставшуюся часть подынтегрального выражения, т.е. dx :

d 1

d (t

)

2dx

2tdt

tdt

dx tx3dt

из

выражаем x

и окончательно:

1 t 2

t 2 )3

dx tx3dt t

tdt

(1 t 2 )3

tdt

(1 t 2 )3

(1 t2 )3 dt

(*)

C (*)

t 2

(1 t2 )3

(1 t 2 )3

Обратная замена. Если

t 2

, то t 2

x2 1

(*)

C, где C const

x2 1

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	88

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1111

Соседние файлы в папке Теория

#
28.01.20241.47 Mб14теория по интегралам часть 2.pdf
#
28.01.20241.64 Mб12теория по интегралам.pdf
#
28.01.20241.15 Mб8теория по пределам.pdf
#
28.01.20241.39 Mб11теория по производным.pdf