727
.pdf
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
||||||||
в) |
|
; |
г) |
|
|
|
|
|
; |
д) |
sin |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n 1 |
(n 1) 3n |
|
n 2 |
n (n 1) |
n 1 n3 5 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
а) Сравним общий член |
1 |
данного ряда с общим чле- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ном |
1 |
расходящегося гармонического ряда |
1 |
: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
для всех членов, начиная с первого. Т.к. члены иссле- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дуемого ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда; ряд также расходится.
|
|
|
б) Сравним общий член |
1 |
данного ряда с общим чле- |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ln n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ном |
1 |
|
расходящегося гармонического ряда |
1 |
: |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
для всех членов, начиная с n = 2. Т.к. члены исследу- |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
ln n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
емого ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда; ряд также расходится.
|
в) Сравним общий член |
|
|
|
|
|
1 |
|
данного ряда с общим |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(n |
|
1) 3n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
членом |
сходящегося ряда |
1 |
|
, |
|
члены которого являются |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 3 |
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
геометрической прогрессией, для которой q |
1 |
1: |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
1 |
|
|
1 |
. Т.к. члены исследуемого ряда меньше соот- |
||||||||||||
|
(n 1) 3n |
3n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ветствующих членов сходящегося ряда, ряд также сходится.
г) Сравним общий член |
1 |
|
данного ряда с общим |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
n (n 1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
членом |
расходящегося гармонического ряда |
, т.к. в |
|||||||
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
n 1 n |
|
||
|
|
|
21 |
|
|
|
|
знаменателе общего члена данного ряда |
1 |
|
|
1 |
старшая |
|||||||||||||||
|
|
|
n1 |
|||||||||||||||||
|
n2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
степень равна 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
. Таким образом, |
члены иссле- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n (n 1) |
|
n |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n2 n |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
дуемого ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда; ряд также расходится.
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 n |
|||
|
|
д) Сравним общий член |
|
данного ряда с общим |
|||||||
n3 5 |
|||||||||||
членом |
1 |
сходящегося обобщенного гармонического ряда |
|||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
(для него p 3 1), исходя из следующих рассуждений: |
|||||||
3 |
|
||||||||||
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sin n |
|
|
1 |
для любых целочисленных n; |
sin 2 n |
1; в знамена- |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теле общего члена данного ряда старшая степень переменной
равна 3. Тогда |
sin 2 n |
|
|
1 |
, т.е. члены исследуемого ряда |
|
n3 5 |
n3 |
|||||
|
|
|
меньше соответствующих членов заведомо сходящегося ряда, значит, и данный ряд тоже сходится.
9. |
|
Используя первый признак сравнения, исследовать на |
||||||||||||||||||||||
сходимость ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
sin n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
в) |
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
(2n |
1) 22n 1 |
|
|
|
n5 |
|
|||||||||||
|
|
|
n(1 n2 ) |
|
||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
|
|
|
|
; |
|
|
д) |
n |
; |
|
|
е) |
ln n |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
3 n |
2 |
|
|
|
n 1 |
|
n3 |
|
|
n 2 |
|
n |
|
|
II Признак сравнения (предельный признак)
Если для рядов (2.3) и (2.4) с положительными членами существует конечный отличный от нуля предел отношения их общих членов, то есть
lim |
un |
k 0, |
(2.5) |
|
|||
n vn |
|
то ряды сходятся либо расходятся одновременно.
22
10. Исследовать |
сходимость рядов, |
используя |
|
второй |
||||||||||||||||||||
признак сравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3n2 5 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
а) sin |
|
|
|
|
; |
|
б) |
|
|
|
; |
|
в) |
|
|
tg |
|
|
|
; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n 1 |
|
n |
|
|
|
n 1 |
4n3 (2n 3) |
n 1 n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
г) ln |
n |
|
|
; |
д) |
sin |
|
; |
е) |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
n2 1 |
n2 (n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
1) |
|
n 1 |
3 (4n2 1)5 |
Решение.
а) Для исследования сравним общий член данного ряда
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
sin |
|
|
|
|
с общим членом |
гармонического ряда (1.6): |
|||||||
|
n |
|
n |
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
n |
|
1 (использован |
первый замечательный предел |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
sin |
1). Т.к. сравнили с расходящимся гармоническим |
|||||||||||
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рядом и получили конечный отличный от нуля предел отношения общих членов рядов, исследуемый ряд так же, как и гармонический, расходится.
б) Для сравнения общего члена данного ряда
|
3n |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
с общим членом другого, заранее известного |
|||
4n3 (2n |
3) |
|||||
n 1 |
|
ряда, нужно выбрать наиболее удобный для такого сравнения ряд. Проведем некоторые вспомогательные операции:
1)найдем старшую степень знаменателя: n3 n n4 ,
2)выясним старшую степень числителя: она равна 2,
3)из старшей степени знаменателя вычтем старшую степень числителя: 4 2 2.
|
1 |
|
|
Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом |
, кото- |
||
2 |
|||
n 1 n |
|
рый является сходящимся обобщенным гармоническим рядом (1.5), т.к. для него p 2 1. По мере накопления опыта решения эти три пункта можно проводить мысленно.
Сравним общие члены:
23
|
|
|
|
|
|
|
3n2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n4 5n2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4n3 (2n 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n2 |
5)n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
lim |
lim |
|
|
|
|
n4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n3 (2n 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n 8n4 12n2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
const 0 . Исследуемый ряд сходится. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Сравним общий член ряда |
|
|
tg |
|
|
|
с общим членом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
сходящегося |
|
|
|
обобщенного |
гармонического |
ряда |
(1.5) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, для которого p 1,5 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
tg |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
lim |
n |
|
n |
|
1 const 0 (использовали формулу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
для эквивалентных бесконечно малых величин: |
при 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg ~ ). Таким образом, данный ряд сходится. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
г) Сравним общий член ряда ln |
|
|
с общим членом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходящегося обобщенного гармонического ряда (1.5) |
|
1 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для которого p 2 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
1 |
|
lim |
|
|
|
|
n |
1 |
lim |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 const 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(использовали формулу для эквивалентных бесконечно малых величин: при 0, ln(1 ) ~ ), данный ряд сходится.
|
3n 1 |
|
|
|
д) Сравним общий член ряда sin |
|
с общим |
||
|
|
|||
n2 (n2 |
1) |
|||
n 1 |
|
|||
24 |
|
|
|
членом сходящегося обобщенного гармонического ряда (1.5)
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
, для которого p 3 |
1: |
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
sin |
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
3n4 |
n3 |
|
||
lim |
n2 (n2 1) |
|
lim |
(3n 1) |
lim |
3 const 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(n2 1) |
|
n2 |
|||||
n |
|
1 |
|
|
n n2 |
n n4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(использовали формулу для эквивалентных бесконечно малых величин: при 0, sin ~ ). Данный ряд сходится.
|
|
n |
|
|
|
е) Для исследования данного ряда |
|
|
выбе- |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
3 |
(4n2 1)5 |
||||
n 1 |
|
|
рем наиболее удобный для сравнения ряд. Старшая степень
|
n |
|
|
1 |
|
10 |
|
|||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||
2 |
3 |
|
n |
|
|
|
||||
|
3 |
|
. Старшая степень числителя 1. Из |
|||||||
знаменателя: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень
числителя: |
|
|
10 |
1 |
7 |
. |
Таким образом, наш ряд нужно срав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
нить с рядом |
|
|
|
|
|
, который является сходящимся |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
3 n7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
обобщенным |
|
гармоническим |
рядом |
|
(1.5), т.к. |
для него |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|
7 |
|
|
1. Сравним общие члены: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
(4n2 1)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 n7 |
|
|
|
|
|
|
|
n10 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(4n2 1)5 |
(4n2 1)5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
1 |
|
|
|
const 0. Данный ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
11. Исследовать сходимость рядов, используя второй |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
признак сравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2n |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
||||||||||||||||
а) ln 1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2n2 3n |
n 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n 1) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) 2n sin |
|
; |
|
|
|
|
|
|
д) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||
3n |
|
|
|
|
|
|
|
3n4 3n2 |
|
|
2 |
(4n 3)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ж) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
з) |
|
|
ln |
; |
|
|
и) |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
(n 2)(2n 3)3 |
|
|
n 1 |
3 n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n6 2n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
к) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л) arcsin 2 |
|
|
; |
|
|
м) |
tg |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||
5n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
n n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
2 |
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
н) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 1 |
|
|
|
n4 |
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Признак сходимости Даламбера
Если в ряде с положительными членами (2.3) отношение (п+1)-го члена к п-му при n имеет конечный предел q,
то есть |
lim |
un 1 |
q , |
(2.6) |
|
||||
|
n |
un |
|
то ряд (2.3) сходится при условии, что q < 1 и расходится при условии, что q > 1. Если q = 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Признак Даламбера рационально использовать, когда в общем члене ряда имеется показательная зависимость или факториал некоторого выражения.
12. С помощью признака Даламбера исследовать ряды на сходимость:
а)
un
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||
|
n! |
; |
б) |
n (n 1) |
; |
в) |
n |
|
; |
г) |
n!(2n 1)!. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n 110n |
|
|
n 1 |
3n |
n 1 n! |
n 1 |
(3n)! |
||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) Для ряда |
|
|
|
составим (n+1)-ый и n-ый члены ряда: |
|||||||||||||||
|
n 110n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n! |
|
; un 1 |
(n |
1)! |
. Найдем предел их отношения: |
|||||||||||||
|
10n 1 |
|
|||||||||||||||||
10n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(n |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! (n 1) 10n |
|
n 1 |
|
|
lim |
un 1 |
lim |
|
10n 1 |
|
lim |
lim |
1, |
|||||
|
|
|
|
10n 10 n! |
|
|
|||||||
n |
un n |
|
n! |
|
|
n |
n |
10 |
|
|
|||
|
10n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
ряд расходится.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n (n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
б) Для ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
составим (n+1)-ый и n-ый члены |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ряда: un |
|
|
|
n (n 1) |
; |
|
|
un 1 |
|
(n 1)(n 2) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем предел их отношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)(n 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)(n 2) 3n |
|
|
|
||||||||||||||
lim |
un 1 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
un |
|
|
|
n (n 1) |
|
|
|
|
|
3n 3 n (n 1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1, ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
3n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в) Для ряда |
|
составим (n+1)-ый и n-ый члены ряда: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
un |
|
nn |
; |
|
un 1 |
|
|
|
(n 1)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Найдем предел их отношения: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n! |
|
|
|
|
|
(n |
1)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
u |
n 1 |
|
lim |
|
|
(n 1)! |
|
|
lim |
(n 1)n (n 1) n! |
lim |
(n 1)n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
un |
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
n! |
(n 1) nn |
|
|
nn |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
e 1, |
ряд расходится. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!(2n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
г) Для ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n-ый и (n+1)-ый члены: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(3n)! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
un |
n!(2n 1)!; |
|
|
|
|
|
|
un 1 |
|
(n 1)!(2(n 1) 1)! |
|
(n 1)!(2n 3)!. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3(n 1))! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n 3)! |
|
||||||||||||||||
Найдем предел их отношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)!(2n 3)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
un 1 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
(3n 3)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n!(2n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
un |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
n!(n 1)(2n 1)!(2n 2)(2n 3)(3n)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n (3n)!(3n 1)(3n 2)(3n 3)n!(2n 1)! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
(n 1)(2n 2)(2n 3) |
|
4 |
1, ряд сходится. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n (3n 1)(3n 2)(3n 3) |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
13. С помощью признака Даламбера исследовать ряды |
|||||||||||||||||||||||||
на сходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
n |
|
|
|
|
(n!) |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
3 |
|
|||||||
а) |
|
|
n!; |
б) |
|
; |
|
в) |
(n!) |
|
; |
г) |
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
|
|||||||||||||
n 1 |
|
nn |
n 1 |
(2n)! |
|
|
n 1 2n2 |
|
|
n 1 |
1)! |
||||||||||||||
|
|
4 |
n 3 |
|
|
|
1 4 7 |
... (3n 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
д) |
|
; |
е) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
|
n 3n |
n 1 |
2 7 12 ... (5n 3) |
|
|
|
|
|
|
|
Интегральный признак сходимости Коши
Рассмотрим n-й член ряда как функцию от n: un = f(n). Следовательно, всякий ряд может быть представлен в виде f(1) + f(2) + … + f(n)+….
Пусть функция f(х) определена для x > 0, положительна, монотонно убывающая и стремится к нулю при x .
Тогда если несобственный интеграл f (x)dx сходится, то
1
сходится и ряд (2.3). Если несобственный интеграл f (x)dx
1
расходится, то расходится и ряд (2.3).
(2.7)
14.Исследовать на сходимость с помощью интегрального признака ряды:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|||||||
а) |
|
; |
б) |
; в) |
e |
|
|
|
; |
г) |
1 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n 11 |
n2 |
|
n 1 n(n 3) |
n 1 |
|
n |
n 1 n p |
Решение.
а) Применим интегральный признак сходимости Коши. Чтобы составить функцию f(x), достаточно в формуле общего
члена ряда заменить п на х. Таким образом, |
f (x) |
1 |
. Как |
|
|
|
|||
1 x2 |
видно, функция f(х) на промежутке [1, + ) является непрерывной, положительной и убывающей. Рассмотрим соответствующий несобственный интеграл:
28
|
|
dx |
|
b |
|
dx |
lim arctg x b lim arctg b arctg1 |
||
|
|
|
lim |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
1 x2 |
b |
1 x2 |
b |
1 |
b |
||||
|
|||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
π2 π4 π4 const . Так как несобственный интеграл сходит-
ся, то, по признаку Коши, сходится и исследуемый ряд.
|
|
|
|
б) Для данного ряда |
f (x) |
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x(x 3) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
b |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 b 1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||
1 x(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3) |
|
b 1 |
x(x 3) |
|
|
b 3 |
1 x |
|
|
|
x 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x b |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
ln |
|
x |
ln |
|
x 3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 b |
|
|
x |
3 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
ln |
|
|
b |
ln |
1 |
|
|
1 |
|
ln 1 ln |
1 |
|
|
1 |
ln 4 ln 3 |
|
const. |
|||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 b |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
Так как несобственный интеграл сходится, то, по признаку Коши, сходится и исследуемый ряд.
|
|
|
|
в) Для данного ряда f (x) |
e |
|
|
x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
|
|
e |
x |
|
1 |
lim |
x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
x |
|
|
2 b |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 b |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 b e |
|
|
|
e |
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как несобственный интеграл сходится, то, по признаку Коши, сходится и исследуемый ряд.
г) 1 , где р – любое действительное число.
n 1 n p
Общий член ряда un n1p .
Если p 0, то общий член ип не будет стремиться к нулю при n . Следовательно, не выполняется необходимый признак сходимости ряда; ряд в этом случае будет расходиться.
29
|
|
|
|
|
Для р>0 применяем признак Коши. Для данного ряда |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) |
|
1 |
|
. Рассмотрим отдельно три случая: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) Пусть р = 1; тогда общий член u |
|
|
1 |
, ряд – гармониче- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ский. Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
b |
dx |
|
|
|
|
ln |
x 1b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
lim |
|
|
lim |
|
lim |
|
ln b ln 1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
b |
1 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, гармонический ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) Пусть р > 1. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
b |
dx |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
x p 1 b |
|
|
1 |
|
1 b |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
x p dx lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
p 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
x |
|
|
|
|
b |
1 |
x |
|
|
|
b |
1 |
|
|
|
|
|
|
b |
p 1 1 |
1 |
b x |
|
1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 p |
lim |
|
|
p 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
b b |
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3) Если p<1, то |
lim |
1 |
|
и несобственный интеграл рас- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b b p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, ряд |
|
|
|
сходится при р > 1 и расходится |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при p 1. Этот ряд (обобщенный гармонический (1.5)) часто используют для сравнения с другими рядами при исследовании вопроса о сходимости. В частности, свойства этого ряда были использованы при решении вопросов о сходимости рядов с помощью признаков сравнения.
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так, ряд |
сходится, так как в этом случае р=2 > 1; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
ряд |
|
|
|
|
|
|
сходится, так как в этом случае p |
1; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n 1 n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
ряд |
|
|
|
|
расходится, так как в этом случае |
p |
|
|
1. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15. Исследовать ряды на сходимость с помощью инте- |
|||||||||||||||||||||||
грального признака: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
а) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) |
|
|
; |
в) |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n 1 2n |
1 |
|
|
|
|
n 1 |
3n 2 |
|
|
|
n 1 |
(2n 1)2n |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|