9562

Если сечение несимметрично относительно нейтральной линии – тавр, мы полу-

чим два момента сопротивления: один для волокон А (рис. 44б): и другой для

волокон В: . Теперь следует вводить: W1 − при вычислении напряжений в точке

А и W2 − при вычислении напряжений в точке В.

Для круга

Для прокатных профилей (двутавра, швеллера, уголка) Mx приводится в табли-

цах сортамента.

Формулой удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала в уп-

ругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак на-

пряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, и ус-

ловие прочности при изгибе балки в форме призматического стержня получает вид

где maxMx — максимальное значение изгибающего момента (легко определяе-

мое по его эпюре), [σ] - допускаемое напряжение на простое растяжение (сжатие). На-

помним, что чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее волокон (нерав-

номерному в отличие от деформации растяжения (сжатия) призматического стержня,

при котором σ=const).

При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растя-

гивающие maxσp и наибольшие сжимающие maxσc напряжения, которые также опреде-

ляются по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми напряжениями на растяжение [σp] и сжатие [σc]. Условие прочности в этом случае будет иметь вид:

В зависимости от того, чему лучше сопротивляется материал, приходится соот-

ветсвующим образом конструировать сечение, выбирая его форму и размеры так, что-

бы удовлетворяли условию прочности.

Формулируют три рода задач на прочность при изгибе:

1.Проверка прочности: задана балка, нагрузка, известен материал. Строится эпюра Mx – определяется Mmax, вычисляется Wx и проверяется условие прочности.

2.Определение максимально допустимой нагрузки по условию прочности.

Заданы размеры балки, характер нагрузки, материал балки.

Строится эпюра Mx – определяется Mmax от параметра нагрузки, вычисляется Wx

ипо (8) находят наибольший параметр нагрузки.

3.Конструирование балки – определение размеров ее поперечного сечения.

Строится эпюра – определяется , вычисляется правая часть и подбира-

ются размеры поперечного сечения, удовлетворяющие.

Для прямоугольного сечения

Обычно задаются отношением

Тогда

отсюда

Задаваясь шириной b и получим h.

Для двутаврового сечения по таблице сортамента подбирают номер двутавра с

Wx большим, чем правая часть.

Рассмотрим примеры определения нормального напряжения в произвольной точке сечения изгибаемой балки.

Лекция №6

1. Касательные напряжения при поперечном изгибе. Вывод формулы Журавского. Главные напряжения при изгибе

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибаю-

щий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сече-

ниях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению не-

равномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки, строго говоря, не остаются плоскими. Однако при h/l<<1 (где h − высота поперечного сечения, l − длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений σ применяют ту же формулу.

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dz (рис. 45,а).

Рис. 45

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от ней-

тральной оси, разделим элемент на две части (рис. 45,в) и рассмотрим равновесие верх-

ней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности каса-

тельных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 45,б). С

учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади bdz распределены равномерно, используя условие Σz = 0 получим:

откуда

где − равнодействующая нормальных сил в левом поперечном сечении элемента dz в пределах заштрихованной площади :

С учетом (5) последнее выражение можно представить в виде

где − статический момент части поперечного сечения, располо-

женной выше координаты y (на рис. 45,б эта область заштрихована). Следовательно,

можно переписать в виде

откуда

поэтому окончательно

Полученная формула носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Дмитрий Иванович Журавский – русский механик и инженер – принимал уча-

стие в постройке Николаевской железной дороги из Петербурга в Москву, спроектиро-

вал и построил металлический шпиль Петропавловского собора в Петербурге. Его ра-

боты посвящены применению математических методов в строительной механике. Он впервые дал определение касательных напряжений в изгибаемых балках и вывел фор-

мулу для определения касательных напряжений при изгибе.

Условие прочности по касательным напряжениям:

где - максимальное значение поперечной силы в сечении; - допускае-

мое касательное напряжение, оно, как правило, равно половине .

3. Расчеты на прочность при изгибе

При прямом поперечном изгибе в поперечном сечении бруса действуют нормальные (σ) и касательные (τ) напряжения.

Нормальные напряжения вызваны изгибающим моментом и определяются по формуле:

σZ = − M X × y

I X

Где Мx – величина изгибающего момента в сечении; у – ордината точки, где определя-

ется σz (рис. 46); Ix – главный центральный момент инерции сечения бруса.

По формуле можно определять нормальные напряжения в любой точке, лежа-

щей на горизонтальной линии поперечного сечения бруса и отстоящей от нейтральной оси X на расстоянии у. Знак "минус" перед формулой поставлен для того, чтобы при принятых правилах знаков для изгибающих моментов знак полученного нормального напряжения соответствовал характеру деформации точек сечения: "плюс" – растяже-

нию, "минус" – сжатию.

Рис. 46

Из соотношения видно, что нормальное напряжение зависит от величины у ли-

нейно. График, изображающий закон изменения нормальных напряжений по высоте сечения, называемый эпюрой напряжений. Наибольшее нормальное напряжение будет в точке, для которой величина у в формуле принимает максимальное значение, т.е. в

наиболее удаленной от нейтральной оси точке сечения.

При прямом изгибе нейтральная ось совпадает с главной центральной осью по-

перечного сечения, перпендикулярной плоскости действия сил.

Анализ формулы для определения нормальных напряжений при прямом изгибе и их эпюра позволяют записать условия прочности при прямом изгибе по нормальным напряжениям. Для пластичных материалов (при Rt = Rc = R) это условие имеет вид:

стояние от нейтральной (центральной) оси до наиболее удаленной точки сечения, взя-

тое по модулю; R – расчетное сопротивление материала по пределу текучести.

Для хрупких материалов, когда расчетные сопротивления материала на рас-

тяжение (Rt) и на сжатие (Rc) не равны между собой, т.е. Rt ¹ Rc, условия прочности для растянутой и сжатой зон записываются отдельно:

от нейтральной оси сечения соответственно до наиболее растянутого и сжатого волок-

на. В таких случаях в первую очередь с помощью эпюры изгибающих моментов нужно

выяснить, какая часть сечения работает на растяжение, какая – на сжатие.

В приведенных условиях прочности при прямом изгибе max M X означает наи-

большее по модулю значение изгибающего момента и берется из эпюры МХ.

Как и для других видов деформации, условия прочности при прямом изгибе по-

зволяют решать три типа задач:

1. Проверочная задача – проверка прочности по нормальным и касательным напряже-

ниям при всех известных данных непосредственно с помощью приведенных формул. 2. Проектная задача – подбор сечения балки. Для решения задач этого типа из условия прочности по нормальным напряжениям определяют требуемое значение осевого мо-

находим неизвестный размер сечения или номер профиля для прокатного элемента из таблицы сортаментов. Производится проверка по касательным напряжениям.

3. Определение допускаемого значения изгибающего момента, т.е. определение несу-

щей способности балки с заданными размерами и характеристиками:

[M ]= WX TP ×[σ ]

Производится проверка по касательным напряжениям. Касательные напряжения в сечении при прямом поперечном изгибе возникают от поперечной силы и определя-

где QY – поперечная сила в том сечении, в точках которого определяются касательные

напряжения; S Xотс – статический момент отсеченной части площади поперечного сече-

ния (части площади выше или ниже точки, в которой определяются касательные на-

пряжения τ ) относительно центральной (нейтральной) оси X, взятый по абсолютной величине; b(y) – ширина сечения на уровне точки, для которой определяется касатель-

ное напряжение (на расстоянии у от нейтральной оси); [τ] – допускаемое касательное напряжение.

Определение b(y) и S Xотс для произвольной точки произвольного сечения, а так же характер распределения нормальных и касательных напряжений покажем на приме-

ре сечения в виде трапеции (рис. 47).

Рис. 47

Наибольшие по модулю касательные напряжения τ max будут в тех точках, где

b(y) = const = b наибольшие по модулю касательные напряжения возникают в точках нейтральной оси, так как статический момент полусечения относительно центральной оси всегда больше, чем для других частей сечения.

Наибольшие по модулю значения изгибающего момента maxМx и поперечной силы maxQy, берут из соответствующих эпюр.

4. Полная проверка прочности. Опасные сечения и опасные точки сечения при прямом поперечном изгибе

Для проверки на прочность при изгибе по действующим на балку внешним на-

грузкам строят эпюры изменения внутренних усилий по ее длине и определяют опас-

ные сечения балки, для каждого из которых необходимо провести проверку прочности.

При полной проверке прочности таких сечений будет, как минимум, три (иногда они совпадают):

1.Сечение, в котором изгибающий момент Мх - достигает своего максимального по модулю значения, - именно по этому сечению подбирают сечение всей балки;

2.Сечение, в котором поперечная сила Qy, достигает своего максимального по модулю значения;

3. Сечение, в котором и изгибающий момент Мx и поперечная сила Qy достигают по модулю достаточно больших величин.

В каждом из опасных сечений необходимо, построив эпюры нормальных и каса-

тельных напряжений, найти опасные точки сечения (проверка прочности проводится для каждой из них), которых также будет, как минимум, три:

1. Точка, в которой нормальные напряжения σz, достигают своего макси-

мального значения, - то есть точка на наружной поверхности балки наиболее удаленная от нейтральной оси сечения;

2.Точка, в которой касательные напряжения τ достигают своего максимального значения, - точка, лежащая на нейтральной оси сечения;

3.Точка, в которой и нормальные напряжения, и касательные напряжения, дос-

тигают достаточно больших величин (эта проверка имеет смысл для сечений типа тавра или двутавра, где ширина резко изменяет свое значение).

Лекция №7

Перемещения в балках при изгибе

В соответствии с требованиями строительных норм и правил ряд строительных конструкций должны быть рассчитаны не только на прочность, но и на жёсткость. К

элементам конструкций, рассчитываемых на жёсткость, относятся, в частности, балки.

Прогибы балок, т.е. вертикальные перемещения поперечных сечений, не должны пре-

вышать значений, определяемых нормами. Условие жёсткости выражается следующим неравенством:

f ≤ [ f ],

т.е. максимальный прогиб (стрела прогиба f ) не должен превышать допустимого нор-

мами значения [ f ]. Значение допускаемого прогиба зависит от назначения и условий работы рассчитываемой балки и колеблется в широких пределах. Обычно допускаемую стрелу прогиба указывают в долях пролёта l балки. Например, вертикальный предель-

ный прогиб равен [ f ] = l / 400.

Для расчёта на жёсткость необходимо уметь определять перемещения попереч-

ных сечений балок. Можно выделить следующие методы расчета балок:

∙метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изо-

гнутой оси балки;