9562

1.4. Эпюры внутренних сил

Если взять для рассмотрения несколько поперечных сечений стержня и в каж-

дом из них найти внутренние силы, то будет видно, что они изменяются в зависимости от расположения сечения. Расположение сечения определяется координатой z. То есть,

усилия являются функциями z, и эти функции могут быть представлены в виде графи-

ков.

Графики функции называются эпюрами внутренних сил.

При рассмотрении стержня на плоскости Oyz может быть построено только три

эпюры .

Для выполнения расчета на прочность необходимо знать наибольшее значение каждого из усилий и расположение сечений, в которых они этих значений достигают.

Сечения, в которых усилия достигают наибольших значений (по модулю),

принято считать «опасными».

а) Усилие N (продольное усилие).

На рис. 23 показан рассеченный стержень, в сечении которого возникает поло-

жительное (растягивающее) усилие N.

Рис. 23

Неизвестное усилие N должно находиться из уравнения Z = 0, которое состав-

ляется для одной из частей стержня. Чтобы сила N и нагрузка уравновесили друг друга,

они должны быть направлены в разные стороны.

Из рис. 23 видно, что внешние силы, вызывающие растягивающее усилие N, на-

правлены «от рассматриваемого сечения». То есть:

(для левой части стержня),

(для правой части стержня).

Соответственно, нагрузка, направленная «к сечению», будет вызывать отрица-

тельное усилие N.

б) Усилие

На рис. 24 показан рассеченный стержень с положительно направленным усили-

ем . Неизвестное усилие должно находиться из уравнения ∑Y = 0, составленного для одной из частей стержня. Чтобы и нагрузка уравновесили друг друга, они долж-

ны быть направлены в разные стороны. Из рис.24 видно, что внешние силы, вызы-

вающие положительную поперечную силу, стремятся повернуть отсеченную часть стержня “ по часовой стрелке» относительно оси х, проходящей через сечение.

То есть

(для левой части стержня),

(для правой части стержня).

Соответственно, нагрузка, направленная «против часовой стрелки» будет вызы-

вать отрицательное усилие .

в) Усилие (изгибающий момент).

На рис. 25 показан рассеченный стержень с положительным усилием .

Рис. 25 Неизвестный внутренний момент следует искать из уравнения равновесия

(х проходит через центр тяжести сечения), составленного для левой или пра-

вой частей стержня. Из рис. 25 видно, что, если усилие направлено против часовой стрелки, то уравновешивающая его нагрузка должна давать относительно х момент по часовой стрелке (и наоборот). То есть, другими словами, внешние силы вызывают по-

ложительный изгибающий момент, если стремятся изогнуть часть стержня выпукло-

стью вниз (вызвать растяжение в нижних волокнах стержня). Тогда

(для левой части стержня),

(для правой части стержня).

Соответственно, нагрузка, направленная иначе, чем на рис. 25, будет вызывать отрицательное усилие .

Нагрузка в виде сосредоточенного момента никогда не входит в выражения для усилий N и , поскольку не входит в уравнения для их определения ∑Y = 0, ∑Z = 0. На любую ось момент, представляющий собой пару разнонаправленных равных сил (рис. 25), всегда проектируется в нуль.

1.5 Связьвнутреннихивнешних сил

Из уравнения ∑Z = 0, записанного для одной из частей стержня, следует, что продольная сила N равна отрицательной сумме проекций на ось z всех сил, приложен-

ных к левой части стержня, или положительной сумме проекций на ось z всех сил, при-

ложенных к правой части стержня.

Обозначая проекции внешних сил как , запишем

Из уравнения ∑у = 0, записанного для одной из частей стержня, следует, что по-

перечная сила равна отрицательной сумме проекций на ось у всех сил, приложенных к левой части стержня, или положительной сумме проекций на ось y всех сил, прило-

женных к правой части стержня.

Обозначая проекции внешних сил как , запишем

Из уравнения , записанного для одной из частей стержня, следует, что изгибающий момент равен отрицательной сумме моментов относительно оси х (прохо-

дящей через центр тяжести рассматриваемого сечения) всех сил, приложенных к левой части стержня или положительной сумме моментов относительно оси х всех сил, при-

ложенных к правой части стержня.

Обозначая моменты нагрузок как momx (P), запишем

.

1.6 Дифференциальные зависимости Журавского.

Продольное усилие N связано с распределенной нагрузкой (действующей вдоль оси z) дифференциальной зависимостью

.

Поперечная сила связана с распределенной нагрузкой дифференциальной зависимостью

Изгибающий момент связан с поперечной силой дифференциальной за-

висимостью

.

Положительные значения функций N ( z ) , откладываются вверх. Положи-

тельные значения изгибающего момента по традиции откладываются вниз.

2. ПОСТРОЕНИЕЭПЮРПРОДОЛЬНЫХ СИЛПРИЦЕНТРАЛЬНОМРАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ

Центральным растяжением-сжатием (ЦРС) называется вид сопротивления,

при котором в поперечных сечениях стержня из шести возможных усилий возникает только одно ‒ продольная сила N.

Из дифференциальной зависимости следует, чтоприотсутствиина участке стержня

Если на участке приложена постоянная распределенная нагрузка qz(z) = const, из

(1.4) следует, что N(z) изменяется по линейному закону (рис. 26) .

Рис. 26

Кроме того, из (1.4) следует, что если нагрузка qz положительна (направлена впра-

во), то на участке наблюдается уменьшение усилия N. Если qz отрицательна (направлена влево) - усилие N увеличивается. Причем изменение усилия N равняется (как это следует из 1.1) равнодействующей распределенной нагрузки qz. В сечении, в котором действует сосредоточенная продольная нагрузка F, имеет место скачкообразное изменение про-

дольного усилия N («скачок»). Это вытекает из зависимости 5. Изменение усилия N равно величине внешней силы F.

При положительной нагрузке F усилие N равно величине внешней силы F (направлен-

ной вправо), усилие N уменьшается на величину F.

При отрицательной (направленной влево) - увеличивается на величину F (рис. 27).

Рис. 27

2.1«Аналитический» способ построения эпюр

1.Определяются опорные реакции, если это необходимо.

2.Стержень разбивается на участки. Границами участков являются:

а) края стержня,

б) точки приложения сосредоточенных сил и моментов (включая реакции),

в) границы распределенных нагрузок.

Участки нумеруются последовательно слева направо, а в консольных стержнях - по направлению к заделке.

3. На каждом из участков произвольно выбирается сечение. Его положение задается переменным расстоянием zi (где i- номер участка). Это расстояние отсчитывается обычно от левого или от правого краев стержня.

4. На каждом i-м участке записываются аналитические выражения для усилий, по-

казывающие, как усилия зависят от расстояния zi. Усилия при этом выражаются через на-

грузку, приложенную либо к левой, либо к правой частям стержня (в зависимости от точки отсчета zi).

5. Полученные функции изображаются графически, для чего сначала подсчитыва-

ются их значения в ряде сечений. Графики усилий (эпюры) строятся на осях, параллельных оси стержня, и штрихуются вертикальной штриховкой. Символами + и - отмечаются знаки усилий. Вычисленные значения наносятся на чертеж. Описанный способ построения эпюр называется «аналитическим».

3. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА ПРИ ЧИСТОМ КРУЧЕ-

НИИ СТЕРЖНЯ

Кручением называется вид сопротивления, при котором в поперечных се-

чениях стержня из шести возможных усилий возникает только одно - крутящий момент Mz (Mк).

Задача 3.1. Построить эпюру крутящего момента Mz для стержня. Для экономии места

сам стержень и построения, выполненные в процессе решения, показываются на одном

рисунке (рис. 28).

Решение

Стержень загружен только моментами, действующими относительно оси z. По-

этому в пространственной заделке А из шести возможных реакций не равна нулю толь-

ко одна ‒ реактивный момент MA.

Найдем его из уравнения ∑ mz = 0.

MА =M1 -M2 -M3 +m·1,2=0

MА =M1 -M2 +M3 -m·1,2=8-5+7-5·1,2=4кНм.

Новым в данной задаче является наличие распределенной моментной нагрузки m=5 кНм/м, что означает, что на каждый метр длины участка действует распреде-

ленный момент 5 кНм.

На участок длиной l=1,2 м в этом случае будет действовать равнодействую-

щий момент М = m l =5 1,2 = 6 кНм.

Поочередно рассекая каждый участок, будем, отбрасывая правую часть стержня, запи-

сывать уравнение равновесия для левой: ∑ mz=0 , из которого будем определять вели-

чину крутящего момента Mz . Его первоначальное направление будем считать на всех участках положительным

1-й участок

MА+Mz=0; Mz=МА= -4 кНм = const.

Проводим горизонтальную прямую.

2-й участок

На участке приложен распределенный момент m, поэтому значение усилия Mz

будет зависеть от расположения сечения. Рассматриваемое сечение свяжем с перемен-

ным расстоянием от края участка (можно от края стержня) z2, который изменяется в пределах от 0 (левый край участка) до 1,2 (правый край).

Итак , 0≤z2≤1,2м

Mz =-MA –M 1 +m· z2=0

Mz =-MA –M 1 +m ·z2=-4+8-5 z2=4-5 z2.

Строим прямую по двум точкам:

при z2 =0 Mz =4-5·0= 4 кНм,

при z2 =1,2 Mz =4-5 1,2 =-2 кНм.

3-й участок

Mz +MA –M 1 +M2 +m·1,2=0 , откуда

4. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛ В БАЛКАХ ПРИ ИЗГИБЕ

Балкой называется брус или стержень, работающий преимущественно на из-

гиб. При этом нагрузки, действующие на балку, направлены перпендикулярно к оси стержня.

Если изгиб происходит в двух главных плоскостях (плоскостях, проходящих через главные центральные оси и ось z), то такой изгиб называют сложным.

Частный случай сложного изгиба, при котором нагрузка в вертикальной плоскости подобна (отличается множителем) нагрузке, приложенной в горизонтальной плос-

кости, называется косым изгибом.

При сложном и косом изгибах в сечениях стержня возникают поперечные силы

Qх, Qу и изгибающие моменты Мx, My.

Если вся нагрузка, действующая на балку, приложена в вертикальной (или гори-

зонтальной) плоскости, в сечениях возникает только два усилия: поперечная сила Qх и

изгибающий момент Мy (или соответственно Qх и Мy ). Это прямой поперечный из-

гиб.

Рассмотрим подробное построение эпюр Qy и Мx при прямом поперечном из-

гибе.

При построении эпюр будем использовать правило знаков, а также зависимости Журавского и выражение усилий через нагрузку.

Эпюры усилий в простейших балках

Очень часто в конструкциях встречаются балки, имеющие простую расчетную схему и нагрузку. Характер усилий для ряда таких балок грамотный инженер должен помнить наизусть. Эти балки вместе с эпюрами Qy и Mx приведены на рис. 29 – 34.

Рис. 33 Рис. 34

Лекция №4

ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ– СЖАТИЕ

1. Напряжение в поперечных сечениях стержня

Нормальная сила N приложена в центре тяжести сечения, является равнодейст-

вующей внутренних сил в сечении и, в соответствии с этим, определяется следующим образом:

Считается, что при ЦРС нормальное напряжение в любом сечении стержня по-

стоянно, то есть поперечные сечения перемещаются параллельно друг другу, а все по-

верхностные и внутренние продольные волокна удлинятся одинаково, что соответству-