9357

3.3. Технология решения задач с использованием компьютера Создание программы для ПК включает в себя следующие основные

этапы, показывающие логическую последовательность действий от постановки задачи до получения решения.

Общая формулировка задачи. Этот пункт, несмотря на кажущуюся простоту, чрезвычайно важен. Здесь необходимо сформулировать задачу в содержательных терминах и определить, что является "входными" данными задачи и что мы собираемся получить в результате решения. Недопустимо требование "найти то, сам не знаю что".

Математическая формулировка задачи. Здесь необходимо определить математические величины, которые будут описывать задачу, и получить математические связи между ними, т.е. составить математическую модель.

Этот этап является критическим, поскольку неправильная или плохая модель сводит на нет все дальнейшие усилия. В то же время во многих случаях этот этап является очевидным, если есть общепринятые уравнения, описывающие рассматриваемый класс задач.

Выбор математического метода решения. Здесь необходимо на основе накопленного арсенала математических методов выбрать тот, который целесообразно использовать для решения поставленной задачи. Как правило,

этот выбор осуществляется исходя как из субъективных причин (знание тех или иных математических методов), так и объективных причин, к которым в первую очередь необходимо отнести имеющиеся ресурсы компьютера (память,

быстродействие). При этом если для получения решения требуются ресурсы,

которые превосходят имеющиеся в наличии (чрезмерное время счета или недоступный объем памяти), то необходим поиск других математических методов, либо упрощение математической модели.

Составление алгоритма решения. Этот этап тесно связан с предыдущим и должен быть направлен в первую очередь на разработку эффективных алгоритмов, т.е. таких, которые требуют наименьшего количества ресурсов компьютера для своей реализации.

31

Составление и отладка программы. Этот этап может быть весьма трудоемким, особенно для начинающих программистов. При отладке больших программ целесообразно использовать специальные программные средства,

облегчающие процесс нахождения ошибок.

Тестирование программы. На этом этапе, чтобы удостовериться в правильности работы алгоритма, решаются задачи с такими исходными данными, для которых известно достоверное решение, либо используются какие-то косвенные свидетельства. Так в ряде задач существует связь между исходными данными и результатами, например закон сохранения энергии, им-

пульса и т.д.

Решение поставленной задачи и представление результатов. Здесь наиболее существенным является удобный и наглядный вывод результатов. Во многих случаях целесообразно использовать графические программные средства для визуализации полученных данных.

При решении конкретных задач некоторые из этих этапов могут исключаться самой постановкой задачи.

3.4.Пример построения алгоритма

Вкачестве примера рассмотрим задачу о теплопроводности многослойной ограждающей конструкции здания.

Система уравнений, описывающая тепловой баланс помещения как объекта с частично распределенными параметрами, состоит из одномерных уравнений теплопроводности ограждающих конструкций и из уравнения баланса тепла воздуха в помещении и оборудования.

Введем понятие уравнения теплопроводности обобщенного вида, которое в наиболее полной форме учитывает особенности теплопередачи в основных типовых ограждающих конструкциях

. (3.1)

Граничные условия обобщенного вида можно записать так:

32

(3.2)

Здесь A1, A2, A3, a1, a2–p, a3, a4–m – постоянные величины.

Для описания процесса теплопередачи в многослойном наружном ограждении в зимнее время (без учета солнечной радиации) без внутренних источников тепла с учетом фильтрации воздуха в уравнении (2.1) следует положить: А2 = 0, А3 = 0, а в граничных условиях: а2–p = 0; n1=1; q2 = 0.

Для описания процесса теплопередачи в многослойном наружном ограждении в летнее время без учета фильтрации воздуха и без внутренних источников тепла в уравнении (2.1) следует положить: А1 = А2 = А3 = 0, а в граничных условиях: : а2–p = 0; n1=1; q1 = 0.

Наиболее хорошо разработанными и эффективными для решения уравнений теплопроводности при использовании ПК является метод конечных разностей (метод сеток).

Особенность решаемой задачи нестационарной теплопроводности состоит в том, что вычисление тепловых потоков необходимо выполнять для большого интервала времени (отопительный период, расчетный год и т.д.).

Алгоритм решения предполагает порядок вычислений, приведенный на рис. 3.1.

33

Рис.3.1

4. Построение моделей тепломассообменного оборудования

Ограничимся ознакомлением с методами численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Получить навыки в разработке алгоритмов и программ реализующих методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Современная система теплогазоснабжения включает значительное число агрегатов и устройств, к основному числу которых относятся теплообменники поверхностного и смешивающего типов, расширители, эжекторы, испарители и целый ряд другого оборудования. Как правило, задачей расчета теплообменных аппаратов является нахождение расходов греющей или обогреваемой сред,

34

которые определяются в рамках единого подхода – на основе уравнений балансов. Последние есть не что иное, как уравнения законов сохранения массы, энергии (в термодинамическом виде) и импульса. В основу составления уравнений теплового и материального балансов положено знание принципов действия и процессов, протекающих в той или иной установке тепловой схемы.

Подогреватель поверхностного типа предназначен для подогрева основного конденсата или питательной воды за счет тепла пара, отбираемого из проточной части паровой турбины. Как правило, нагреваемая вода течет внутри трубной системы, греющий пар – в межтрубном пространстве (см. рис. 4.1).

Целью расчета подогревателя поверхностного типа является определение расхода греющего пара – Dп. Для этого необходимо составить уравнение теплового баланса, заключающееся в равенстве теплоты отдаваемого греющим паром с учетом коэффициента полезного действия теплообменника и теплоты воспринимаемой нагреваемой средой.

температура нагреваемого вещества; t″2 – конечная температура нагреваемого

Рис. 4.1. Принципиальная схема (а) и температурный график (б) работы подогревателя поверхностного типа

35

Энтальпия греющего пара является функцией его давления и температуры: i1 = h(Pп,tп). Энтальпия конденсата греющего пара равна энтальпии насыщенной воды, определяемой по давлению греющего пара iн = h'(Pп).

Энтальпия нагреваемой воды на выходе из подогревателя поверхностного типа зависит от давления и температуры воды: iв = h(t,Pв), где t″2 – температура нагреваемой воды на выходе из подогревателя, определяемая в свою очередь,

как разность температуры конденсата греющего пара и величины недогрева: t″2

= ts(Pn) – ϑ . Значение ϑ в инженерных расчетах для подогревателей высокого давления (ПВД) принимается 2 ÷ 4 С, а для подогревателей низкого давления

(ПНД) – З ÷ 6 С. Величина энтальпии нагреваемой среды на входе в теплообменник определяется типом элемента тепловой схемы стоящего перед рассчитываемым элементом против хода движения нагреваемой среды. Нагрев теплоносителя в таких теплообменниках осуществляется в основном за счет скрытой теплоты, выделяющейся при изменении агрегатного состояния

(конденсации) греющего пара. Все теплообменники, работающие по вышеизложенному принципу, называются собственно подогревателями (СП).

Для повышения эффективности работы подогревателей поверхностного типа современные установки выполняют многозонными. В общем случае количество зон составляет три, а их классификация осуществляется по принципу теплообмена на охладитель пара (ОП), собственно подогреватель и охладитель конденсата (ОД) (см. рис. 4.2). В охладителе пара происходит охлаждение пара до температуры на 10 ÷ 15 С больше температуры насыщения греющего пара: t'n = ts(Ри) + (10 ÷ 15) С. В охладителе конденсата нагреваемая среда подогревается за счет тепла, выделяющегося при переохлаждении конденсата греющего пара с температуры насыщения до температуры на 6 ÷ 10 С больше температуры нагреваемой воды на входе в теплообменник.

36

Рис. 4.2. Подогреватель поверхностного типа с охладителем пара (ОП), собственно подогревателем (СП) и охладителем конденсата (ОД)

Задачей расчета теплообменника такого типа является определение расхода греющего пара Dп, энтальпий нагреваемой среды на выходе из охладителя пара ion и охладителя конденсата iод. С целью определения неизвестных величин составляют уравнения теплового баланса для каждой

где i'п = h(Pп,t'п) – энтальпия греющего пара на выходе из охладителя пара; iд = h(Pп,t'д) – энтальпия конденсата греющего пара на выходе из охладителя конденсата.

Если в балансовых уравнениях все слагаемые с неизвестными величинами перенести в левую часть, а с известными в правую, то в результате получим совместную систему трех линейных алгебраических уравнений с

37

тремя неизвестными, решить которую можно одним из известных численных методов.

Подогреватель смешивающего типа. Предназначен для подогрева воды за счет теплоты пара, отбираемого из проточной части турбины. Нагрев осуществляется путем непосредственного контакта и смешения греющей и нагреваемой сред (см. рис.4.3).

Рис. 4.3. Расчетная схема подогревателя смешивающего типа При расчете теплообменников смешивающего типа искомыми

величинами являются, как правило, расход греющего пара Dп и нагреваемой среды после подогревателя G'в. Для определения неизвестных величин при расчете подогревателей смешивающего типа необходимо составить два уравнения: материального и теплового балансов. Если уравнение теплового баланса характеризует равенство отданного и воспринятого количества тепла соответственно между греющей и нагреваемой средой, то уравнение материального баланса выражает равенство всех материальных потоков,

поступающих в теплообменник и выходящих из него.

Уравнение материального баланса записывается в следующем виде:

Dп + Gв = G'в

Уравнение теплового баланса:

Dп∙iп∙η + Gв∙с∙t = G'в∙c∙t'

где c∙t' = h'(Pп) – энтальпия нагреваемой среды на выходе из подогревателя смешивающего типа равна энтальпии насыщенной воды, определяемой по давлению греющего пара.

38

Водо-водянной теплообменник. Целью расчета теплообменников, в ко-

торых греющим теплоносителем является вода (дренаж греющего пара, про-

дувочная вода и др.), является энтальпия и соответственно температура на-

греваемой среды на выходе из аппарата. Принцип расчета такой установки совпадает с принципом расчета охладителя конденсата (ОД) подогревателя по-

верхностного типа.

Определение расходов греющего пара на регенеративный подогрев в получаемых системах линейных алгебраических уравнений производится с использованием численных методов решения подобных систем. Для этого уравнения балансов приводят к следующему виду:

где аij – значения коэффициентов при неизвестных; хi – искомые корни системы (неизвестная величина); bi – значения правых частей уравнения.

Так, применительно к расчету теплообменника поверхностного типа состоящего из охладителя пара, собственно подогревателя и охладителя конденсата (рис. 4.2) такая система будет выглядеть следующим образом:

п (п – ′п) − в с oп =– в с ′оп,

{п (′п – ′к) + в с ′од = в с ′оп,п (к – ′к) − в с ′оп = – в с ′од,

Для решения систем линейных алгебраических уравнений применяют в основном два класса методов: прямые и итерационные. Прямые методы являются универсальными и применяются для решения систем сравнительно

39

невысокого порядка (п <200). К числу таких методов относятся метод Крамера,

метод Гаусса и т.д.

Метод Крамера для решения систем алгебраических уравнений основан на их матричном представлении: Ах = В,

Согласно методу, определение матрицы неизвестных величин х осуществляется по формуле:

определителей, образованных из главного путем замещения соответствующего i – го столбца матрицы А на столбец значений правой части системы – В .

Количество вспомогательных определителей в данном случае будет равно числу искомых переменных

Метод Гаусса является одним из самых распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Этот метод называют также методом последовательного исключения неизвестных.

Вычисления с помощью метода Гаусса состоят из двух основных этапов,

называемых прямым ходом и обратным ходом.

Прямой ход метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из системы линейных алгебраических уравнений для

40