8776

71

На основе обобщения многих экспериментальных фактов установлено, что если путем теплообмена с окружающей средой термодинамической системе передано количество теплоты Q и при этом система совершила против внешних сил работу A, то строго выполняется следующее соотношение:

Q=DU + A.

Количество теплоты, полученное системой, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы против внешних сил. Это положение получило название первого начала термодинамики и, по сути, является обобщением закона сохранения энергии на тепловые процессы.

Для бесконечно малого изменения состояния системы первое начало термодинамики имеет вид:

dQ=dU+dA.

Здесь dU является полным дифференциалом, поскольку зависит только от начального и конечного состояния системы. В то же время, количество теплоты dQ и работа dA не являются полными дифференциалами, а зависят от того, каким путем происходило измерение состояния системы, т.е. от конкретного вида процесса. Первое начало термодинамики показывает, что система не может совершить работу, если к системе не подводится теплота или не уменьшается внутренняя энергия системы. Это положение, сформулированное как невозможность создания вечного двигателя первого рода, является одной из альтернативных формулировок первого начала термодинамики.

Итак, обмен энергией между термодинамической системой и другими телами и системами может быть результатом двух качественно различающихся процессов:

·совершения работы системой или над системой;

·передачи или получения системой теплоты (теплообмен).

2.1.1.Работа, производимая термодинамической системой

Понятие физической работы вводилось при изучении раздела <<механика>> (предлагаем вам вновь просмотреть соответствующий материал). В термодинамике состояние системы и работу, совершаемую системой принято выражать через термодинамические параметры. В данном разделе будет получено соответствующее выражение.

Рассмотрим газ, заключенный в цилиндр с легко скользящим (без трения) поршнем (см. рис. 1.2). Пусть газ расширился, при этом поршень переместился вверх на величину dx. Элементарная работа газа при расширении равна:

δA=F×dx,

где F - сила давления на поршень. Выразим F через давление газа р и площадь поршня s:

F=p×s.

S

72

DV Dx

p, V

Рис. 2.1. Схема вычисления работы при расширении газа

Тогда δA=р×s dx, а учитывая, что s d=dV - приращение объема газа, получим:

Если dV>0 , то и δA >0 и говорят, что работу совершает газ; если dV<0, то δA <0 и в этом случае работа совершается над газом, поскольку в последнем случае будет положительной работа внешних сил (по III закону Ньютона внешние силы равны силам давления газа, но имеют противоположное направление, поэтому их работа отличается знаком от работы газа). В частности, при изохорическом процессе, когда V=const, dV=0, элементарная работа δA =0. Это обстоятельство аналогично механической ситуации, когда при наличии силы тело покоится и, следовательно, не совершает работу.

Изобразим процесс изменения объема газа графически в координатах {р,V}. Пусть начальное состояние газа соответствует точке 1 со значениями р1, V1, а конечное состояние - точке 2 со значениями р2, V2. Процесс графически можно представить кривой, соединяющей точки 1 и 2 (кривая а на рис. 2.2). Элементарная работа δA, определяемая формулой (2.1), равна площади заштрихованной площадки. Полная работа A1-2 равна сумме всех элементарных работ от точки 1 до точки 2 и может быть найдена путем вычисления интеграла:

изображающей процесс (в нашем случае 1-а-2). В случае обратного процесса 2- а-1 работа изображается той же площадью, но имеет противоположный знак (в этом случае dv отрицательно).

Если бы газ переходил из состояния 1 в состояние 2 по кривой 1-b-2 (см. рис. 2.3), лежащей ниже кривой 1-a-2, то работа газа была бы меньше. Следовательно, работа, совершаемая газом в процессе перехода из одного состояния в другое, зависит от того, как именно, по какому пути, через какие промежуточные состояния совершился этот переход.

75

Для равновесных процессов, протекающих в газах, элементарная работа, производимая газом против внешних сил, состоит в работе расширения (2.1),

поэтому первое начало термодинамики может быть записано в виде:

dQ=dU+p×dV

Изохорный процесс (V=const). В этом случае, как уже отмечалось, работа, совершаемая газом против внешней силы, равна нулю. Первое начало термодинамики для изохорного процесса примет вид:

Таким образом, в изохорном процессе вся теплота, подведенная к газу, идет на увеличение его внутренней энергии. Используя уравнение (2.5), выразим изменение теплоты dQ через изменение температуры dT

δQ = mμ × Cυ × dT ,

где Сυ - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Согласно (2.7) приращение внутренней энергии при этом процессе примет вид:

С другой стороны ранее было получено выражение для внутренней энергии идеального газа в зависимости от числа i степеней свободы составляющих его молекул: U=i mRT/(2μ). Продифференцировав это соотношение по T, получим формулу:

Таким образом, молярная теплоемкость при постоянном давлении для идеального газа не зависит от термодинамических параметров, а определяется характером газа (числом степеней свободы молекул).

Изобарный процесс (p=const). Примером изобарного процесса может служить процесс теплообмена с газом, находящимся в цилиндре под поршнем (рис.2.1), нагруженным постоянной внешней силой. В соответствии с (2.2) работа, совершаемая газом против внешней силы, равна:

и может быть найдена как площадь фигуры под линией изобары, которая в координатах (p,V) имеет вид прямоугольника. Уравнение первого начала термодинамики для изобарного процесса имеет вид (2.6), в котором давление следует считать постоянным.

Если обозначить через Ср молярную теплоемкость газа процесса, протекающего при постоянном давлении, то согласно (2.5) выражение для притока тепла при изобарическом нагревании можно записать в виде:

76

Приравнивая правые части соотношений (2.6) и (2.12), получим:

mμ × C p × dT = dU + p × dV

и делением обеих частей равенства на m dT/μ преобразуем эту формулу к виду:

Значение производной dU/dT, входящей в правую часть полученного равенства, можно подставить из формулы (2.9). При вычислении dV/dT можно воспользоваться уравнением состояния pV=m/μ RT, но необходимо помнить, что процесс изобарический (p=const). В результате dV/dT=mR/(μp) и выражение (2.13) перейдет в следующее:

Это соотношение называется уравнением Майера. Из него следует, что

теплоемкость при изобарическом нагревании всегда больше такого же процесса, происходящего при постоянном объеме (Ср>Cυ). Уравнение Майера справедливо в случае идеального газа, но вывод, что (Ср>Cυ) имеет место в случае любых газов и многих других систем. Он обязан способности тел расширяться при нагревании. При изохорном нагревании подведенная теплота идет только на увеличение внутренней энергии системы, а при изобарном процессе дополнительно затрачивается на работу, производимую телом при его расширении против сил внешнего давления. Поэтому для нагревания на один градус в изобарическом процессе требуется затратить большее количество тепла, а процесс имеет большую теплоемкость.

Таким образом, молярная теплоемкость Cр идеального газа в процессе изобарического нагревания тоже не зависит от термодинамических параметров:

Изотермический процесс (T=const). Согласно первому началу термодинамики для любого процесса справедливо:

Q=DU+A

Для идеального газа внутренняя энергия U$ определяется его температурой T, следовательно для изотермического процесса (поскольку T=0 и U=0) первое начало дает:

Таким образом, при изотермическом процессе вся подведенная теплота расходуется на совершение работы газа. При этом подвод тепла не приводит к изменению температуры газа. Теплоемкость газа в таком процессе бесконечна

77

(CТ= ∞ ). Действительно, какое бы ни было большое количество тепла подведено к газу, изменить его температуру (даже на один градус) не удастся (поскольку

T=const).

Найдем работу расширения газа при изотермическом процессе. В соответствии с формулой (2.2)

V2

A = ∫ p × dV .

V1

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа найдем закон изменения давления:

p = m RT ,

μ V

который подставим под знак интеграла и вынесем постоянные за знак интегрирования (T=const):

полученные при этом формулы сохраняют свой вид и в обратном процессе сжатия и охлаждения газа. В последнем случае все перечисленные величины имеют ту же абсолютную величину, но обратный знак. Это означает, что для сжатия газа необходимо совершать работу внешними силами (над газом), а тепло газом отдается другим телам.

2.2.Адиабатический процесс

Вуравнение состояния газа входят три термодинамических параметра: p,V,T. Первое начало термодинамики также оперирует тремя величинами

δQ,dU, δА. Выше мы рассмотрели простейшие процессы, при которых один из термодинамических параметров остается постоянным. При этом, поскольку внутренняя энергия идеального газа определяется только температурой (U=m/μCυT), изотермический процесс является в то же время процессом постоянной внутренней энергии (dU=0). Аналогично этому можно сказать, что изохорный процесс (V=const) является процессом без совершения работы (δA=0). Таким образом, из простейших процессов, описываемых названными шестью величинами, мы не рассмотрели только процесс, в котором δQ=0.

р

1

3

79

ln T + R × lnV = const , или ln(T ×V R / Cυ ) = const .

Cυ

Логарифм какой-либо величины имеет постоянное значение, если под знаком логарифма также стоит постоянная величина, поэтому

Это соотношение дает связь термодинамических параметров при адиабатическом процессе.

Безразмерная величина γ=CР/Cυ называется показателем адиабаты и определяется числом степеней свободы молекулы газа. Подставив значения CР

Через величину γ удобно выразить показатель степени в уравнении

(2.21). Действительно, из уравнения Майера (2.14) можно получить: R= CР-Cυ в

результате показатель R/ Cυ можно преобразовать:

Из этого выражения следует, что T=const/Vγ-1, а поскольку согласно (2.22) γ-1>0, температура уменьшается при адиабатическом расширении и, наоборот, увеличивается при сжатии. Этот вывод мы уже сделали раньше, исходя из первого начала термодинамики, но выражение (2.23) позволяет вычислить изменение температуры количественно. Например, если в начальном состоянии объем V1 и температура $T1 известны, а также известен конечный объем V2, то можно записать уравнение (2.21) для начального и конечного состояний:

T1 ×V γ −11 = T2 ×V γ −12 (const) .

Из этого равенства найдем:

Характер изменения давления при адиабатическом процессе также можно найти, исходя из (2.23), если заменить в нем температуру, воспользовавшись уравнением Клайперона - Менделеева (T=pVµ/mR). В результате получим:

T ×V γ −1 = pV γ × μ / mR = const .

Поскольку m, µ, R являются постоянными для данной массы газа,

Это соотношение называется уравнением адиабаты Пуассона.

Работа при адиабатическом расширении газа равна площади под кривой процесса 1-2 (см. рис.2.2). Если известны начальная и конечная температуры процесса, то нет необходимости вычислять эту площадь - достаточно

80

воспользоваться формулой (2.18) и выражением для внутренней энергии идеального газа. Это приведет нас к соотношению:

2.3. Второе начало термодинамики

Первое начало термодинамики устанавливает неизменность общего количества энергии в изолированной термодинамической системе и эквивалентность разных видов энергии при их превращениях в

1.Невозможен процесс, единственным конечным результатом которого является передача энергии в форме теплоты от холодного тела к горячему (формулировка Р.Клаузиуса).

2.Невозможен процесс, единственным результатом которого является отнятие от некоторого тела энергии в форме теплоты и превращение этой энергии в эквивалентную ей работу (формулировка В.Томсона).

Обе формулировки эквивалентны. Действительно, пусть существует процесс, с помощью которого можно было бы повысить температуру одного тела за счет охлаждения другого, при одинаковых начальных температурах обоих тел. Тогда, используя известные процессы, можно было бы превратить полученную разность температур в механическую энергию без каких-либо изменений в состоянии окружающей среды.

Таким образом, если бы могли происходить процессы, запрещенные вторым началом термодинамики, то за счет отбора энергии в форме теплоты,

например от мирового океана, имелся бы практически неисчерпаемый источник механической энергии. Подобное устройство было бы равноценно вечному двигателю. Поэтому второе начало термодинамики иногда

формулируют так: <<Невозможен вечный двигатель второго рода>>.

2.3.1. Термодинамические циклы. Цикл Карно

Циклом, как указывалось ранее, называется такой процесс, в результате которого термодинамическая система возвращается в исходное состояние. Циклы или круговые процессы используются во всех тепловых машинах: