Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8203

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2023

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Пример. Найти производную от

функции

z ln( x2 2 y)

в точке

М(1;2) по направлению вектора a 3i 4 j .

Решение.

Направление

задано координатами

вектора a ,

поэтому

воспользуемся формулой (2).

f /

/ (x , y

) f / (1,2)

2 1

0,4 ,

x2 2 y

x 0

12 2 2

f /

f / ( x , y

)

f / (1,2)

0,4 ,

2 y

12 2 2

(1,2) 0,4

0,4

0,08.

( 4)2

Рассмотрим понятие градиента функции z f (x, y) .

Градиентом grad z

функции

z f (x, y)

точке M 0 x0 , y0

называется вектор с координатами { fx/

, f y/

9. Свойства градиента

1. Производная

функции

z f (x, y)

по

направлению l

равна

скалярному

произведению

градиента

grad z

единичного

вектора

e {cos , cos }, задающего направление l :

grad z e .

2. Модуль градиента grad z функции z f (x, y) в данной точке – это

«скорость» изменения функции в направлении вектора e наибольшего

возрастания функции в данной точке, причем

z
z	\| grad z \|		f x/ 2 f y/ 2 .

e
e
	3. Если градиент grad z дифференцируемой функции z f (x, y) в
точке М 0 (х0 , у0 )		отличен от нуля, то вектор grad z перпендикулярен линии

уровня, проходящей через данную точку.

Пример. Найти градиент функции z 3x4 xy y3 в точке М(1,2).

Решение. Находим

fx/ 12x3 y , fx/ (x0 , y0 ) fx/ (1,2) 12 13 2 10 , f y/ x 3y2 , f y/ (x0 , y0 ) f y/ (1,2) 1 3 22 11.

Следовательно, grad z(1,2) {10, 11}.

§2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.Частные производные высших порядков.

Экстремумы функции двух переменных

Если частные производные f x/ и f y/ функции z f (x, y) сами являются

дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка,

то есть

/ /

/ / .

x x

x y

y x

y y

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.

Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Имеет место следующая теорема.

Теорема.

Если

частные

производные

второго

порядка

функции

z f (x, y) непрерывны в точке

М 0 (х0 , у0 ) , то в этой точке смешанные

частные производные равны, то есть f //

(x , y

) f // (x , y

) .

yx 0

Пример.

Найти

частные

производные

второго

порядка

функции

z 3x4 xy y3 .

Решение. Так как

f / 12x3

y ,

f /

x 3y2 ,

то

12x3 y /

36x2 ,

f // 12x3

y /

f // x 3y2 /

// x 3y2 /

6 y .

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных

аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.

Пусть функция

z f (x, y)

определена в некоторой окрестности точки

(х0 , у0 ) . Точка (х0 , у0 ) называется точкой максимума (минимума) функции z f (x, y) , если существует такая - окрестность точки (х0 , у0 ) , что во всех

ее точках (х, у) ,	отличных от (х0 , у0 ) , выполнятся неравенство
f (x, y) f (x0 , y0 )	( f (x, y) f (x0 , y0 ) ).

Рис. 9

На рисунке 9: N1 – точка максимума, а N 2 – точка минимума функции z f (x, y) . Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.

Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке (х0 , у0 )

дифференцируемая функция z f (x, y)

имеет экстремум,

то ее частные

производные в этой точке равны нулю:

/ (х , у

) 0 ,

/ (х

, у

) 0 .

x 0

Геометрически равенства f / (x , y

) 0 и

f / (x

, y

) 0 означают, что в

x 0

точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности,

изображающей функцию z f (x, y) , параллельна плоскости Оху , так как

уравнение касательной плоскости есть z z0 .

Замечание. Функция может иметь		экстремум в точках, где хотя бы одна из

частных производных не	существует.	Например, функция z 1	х2 у 2
имеет максимум в точке	х 0, у 0 (см. рис. 10), но не имеет в этой точке
частных производных.

Рис. 10

Точки,	в которой частные	производные первого порядка функции
z f (x, y)	равны нулю, то есть f /	0 и	f /	0 , и точки, в которых хотя бы
	x		y

одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция		z f (x, y) может иметь экстремум, а
может и не иметь. Условия f /	0 и	f /	0 являются необходимыми, но не
x		y

достаточными условиями существования экстремума. Так, например, для

функции		z x 2 y 2 точка (0,0) является критической (в ней	z /	2x и
			x
z /	2 y	обращаются в ноль), однако, очевидно, никакого экстремума в этой
y

точке нет (см. рис. 11).

Рис. 11

Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности стационарной точки (х0 , у0 ) функция z f (x, y) имеет

непрерывные частные производные до второго порядка включительно причем

f // (x , y

) A,

f // (x

, y

) B ,

f // (x

, y

) C .

xx 0 0

xy 0

Обозначим

AC B2 .

, y

)

A B

Тогда:

1)если (x0 , y0 ) 0 , то функция z f (x, y) в точке (х0 , у0 )

имеет экстремум: максимум, если A 0, и минимум, если A 0;

2)если (x0 , y0 ) 0 , то функция z f (x, y) в точке (х0 , у0 )

экстремума не имеет;

3)если (x0 , y0 ) 0 , то экстремум в точке (х0 , у0 ) может быть,

может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

	Пример. Найти точки экстремума функции z 3x2 y x3 y 4 .
	Решение.	1)	Найдем частные производные первого порядка:
f /	6xy 3х2 ,	f /	3x2 4 y3 . Точки, в которых частные производные не
x		y

определены отсутствуют.

2) Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

6ху 3х2 0,

3х2 4 у3 0.

Отсюда получаем две точки: М1 (6,3) и М 2 (0,0) .
3) Находим		частные производные второго порядка данной функции:
f // 6y 6х ,		f // 6х ,	f // 12y2 .
xх		xy	yy
4) В	точке	М 1 (6,3)	имеем:	A 6 3 6 6 18,		B 6 6 36,
C 12 32	108 , отсюда		(6,3) 18 ( 108) 362		648 0,		то	есть
М1 (6,3) – точка		экстремума. Так		как A 18 0, то	М1 (6,3)		–	точка
максимума.
В точке М 2 (0,0) : A 0, B 0, C 0, отсюда (0,0) 0 . Проведем
дополнительное исследование.			Значение функции z 3x2 y x3 y 4				в точке

М 2 (0,0) равно нулю. Рассмотрим точки из окрестности точки М 2 (0,0) такие,

что х 0, тогда z(х 0, у) y 4 0 , а теперь рассмотрим точки из той же окрестности, но с условием у 0 , х 0: z(х 0, у 0) x3 0 . Таким образом, в любой окрестности точки М 2 (0,0) функция z 3x2 y x3 y 4

принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в

точке М 2 (0,0) функция экстремума не имеет.

z x3

z y4

Рис. 12

2.Наибольшее и наименьшее значение функции

взамкнутой области

Пусть функция z f (x, y) определена и непрерывна в ограниченной области D . Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией в точках,

расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z f (x, y) :

1) Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и

вычислить значения функции в них;

2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции z f (x, y) на

границах области;

3) Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них

наибольшее и наименьшее.
Пример.		Найти	наибольшее и		наименьшее значение функции
z x2 y ху 2	ху в замкнутой области,			ограниченной линиями: x 1,		x 2,
у 1,5, у	1	.
у 1,5, у		.
	х
Решение. Здесь z /			2xy y2 y ,	z /	2xy x2 x .
		х		y

1)Находим все критические точки:

2xy y 2	y 0,	y(2x y 1) 0,

2xy x 2	x 0,	x(x	2 y 1)	0.

Решением системы являются точки (0,0) , ( 1,0) , (0, 1) , ( 13 , 13). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .

Рис. 13

2) Исследуем функцию z x2 y ху 2 ху на границе области,

состоящей из участков АВ , ВС, СЕ и ЕА (см. рис. 13).

а)

В плоскости x 1

A	0		B
3	-1	1	y
2		3	y
		3
		4
	-1

Рис.14

Участок

AB –отрезок вертикальной прямой

x 1 при

y 1 (см.

рис.

13).

При

x 1

функция z y y2 2 y

является функцией одного

переменного y . Находим производную z y2

2y 2 . Приравнивая ее к

нулю

2 y 2 0 ,

находим

стационарную

точку

y 1

. Значение

функции

z y y2

2 y

при

y 1 равно:

z 1 1 2 2 1 1 2 1, а

значение функции z y

на концах отрезка

;1 :

		3	3 2		3	9		3	,
z				2			3
z				2			3
		2	2		2	4		4
	z 1 12 2 1 1 2 3.
Следовательно, наименьшее значение функции								z на отрезке AB равно
1, а наибольшее 3 , то есть zнаим.				1,	zнаиб.	3 . (см. рис. 14).
б)
	z					2;0,5;3,5
				1;1;3

1	1	B
1

2	C

Рис. 15

Участок BC – дуга гиперболы	y	1	при 1 x 2 (см. рис. 13). При
		x

функция z x

является

функцией одного переменного

x .

Находим

производную

Приравнивая

ее к

нулю

0 ,

находим

x 1,

из

которых

только

одна

точка

принадлежит отрезку 1;2

(см. рис. 15). Значение функции

z x x

при

x 1

равно: z 1 1

1 3, а значение

z x

на правом конце отрезка 1;2

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.202388.3 Кб082.pdf
#
21.11.2023153.93 Кб0820.pdf
#
24.11.20231.44 Mб08200.pdf
#
24.11.20231.44 Mб08201.pdf
#
24.11.20231.44 Mб08202.pdf
#
24.11.20231.44 Mб08203.pdf
#
24.11.20231.44 Mб08204.pdf
#
24.11.20231.44 Mб08205.pdf
#
24.11.20231.44 Mб08206.pdf
#
24.11.20231.44 Mб08207.pdf
#
24.11.20231.44 Mб08208.pdf