8203
.pdfб) |
z x y . При фиксированном y имеем степенную функцию от x . Таким |
|||
образом, z у х у 1 |
. При фиксированном x функция является показательной |
|||
|
x |
|
|
|
относительно y и z |
x y ln x . |
|
|
|
|
y |
|
|
|
Функция z f (x, y) называется дифференцируемой в точке |
(х0 , у0 ) , |
|||
если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде |
||||
|
z А x В y x y , |
(1) |
||
где A |
и B – некоторые числа; |
и - бесконечно малые при |
х 0 , |
|
у 0 |
функции z , то есть lim 0 |
и lim 0 . |
|
|
|
|
x 0 |
x 0 |
|
|
|
y 0 |
y 0 |
|
Теорема. Если функция z f (x, y) дифференцируема в точке M (х0 , у0 ) ,
то есть имеет вид (1), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
производные по каждому аргументу |
z |
и z , причем |
z |
|
|
А , |
z |
|
|
В . |
||
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
y |
|
M |
|
y |
|
M |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
В силу теоремы, равенство (1) можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|||||||
z z x z |
y x y . |
|
|
|
|
(2) |
||||||
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Дифференцирование сложных функций |
|
|
|
|
||||||||
Пусть задана функция |
z f (x, y) , |
где переменные |
x и |
y , |
в свою |
|||||||
очередь, являются функциями независимой переменной t : |
x x(t), y y(t) |
|||||||||||
Тогда функция z f [x(t), |
y(t)] |
будет |
сложной |
функцией |
независимой |
|||||||
переменной t , а переменные x |
и |
y |
будут для |
нее |
промежуточными |
|||||||
переменными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
Теорема. Если функции x x(t) и y y(t) |
дифференцируемы в точке |
t , а функция z f (x, y) дифференцируема в |
точке M x(t); y(t) , то |
сложная функция z
Пример. Найти
f [x(t), y(t)] также дифференцируема в точке t , причем
|
dz |
|
z |
|
dx |
z |
|
dy |
. |
|
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dt |
|
x |
|
dt |
|
y |
|
dt |
|
|
|
||||
dz |
, где z cos |
x |
|
x 2t t 2 , |
y |
|
|
|||||||||
, |
t . |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем сначала |
|
z |
|
, |
|
|
z |
, |
|
dx |
, |
|
|
dy |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
z |
( sin |
x |
) |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
z ( sin |
|
x |
) ( |
|
x |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2 2t , |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Тогда, согласно формуле (1), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
z |
|
|
dx |
|
z |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 2t) |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2t t 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t t 2 |
|
|
|
2t t 2 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
2t) |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
2 t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t t 2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1,5t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Дифференцирование неявных функций |
|
Пусть уравнение |
|
F(x, y, z) 0 |
(1) |
11
определяет z f x, y |
как |
|
некоторую |
|
дифференцируемую функцию двух |
||||||||||||||||||||||
переменных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем частные производные |
z |
|
и |
|
z |
неявной функции z , заданной |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
уравнением (1). Для этого, подставив в уравнение |
вместо z функцию f (x, y) , |
||||||||||||||||||||||||||
получим тождество F(x, y, f (x, y)) 0. Частные производные по |
x и по |
y |
|||||||||||||||||||||||||
функции, тождественно равной нулю, также равны нулю: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
F (x, y, f (x, y)) |
F |
|
F |
|
z |
0 , |
|
|
||||||||||||||||
|
x |
x |
z |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
F (x, y, f (x, y)) |
F |
|
F |
|
z |
0 . |
|
|
||||||||||||||||
|
y |
y |
z |
y |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
|
|
F / |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
Fy/ |
|
/ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
( F |
|
|
0 ). |
(2) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
х |
|
|
F / |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
F |
/ |
|
z |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Найти |
z |
, |
z |
, где |
e z |
z x2 y 1 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||
x |
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Здесь F(x, y, z) e z |
z x2 y 1, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
F / |
2xy , |
F / |
|
x2 , F / e z 1. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
Тогда по формуле (2) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
2xy |
|
|
, |
z |
|
|
x2 |
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x e z |
1 |
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пусть функция z f (x, y) , |
дифференцируемая в точке (х0 , у0 ) , задает в |
||||||||||||||||||||||||||
пространстве поверхность S . Пересечем эту поверхность плоскостями х х0 |
и |
||||||||||||||||||||||||||
у у0 (см. рис. 6). Плоскость х х0 |
пересекает поверхность S по некоторой |
12
линии z0 ( y) , уравнение которой |
получается |
подстановкой |
в выражение |
||||
исходной |
функции |
z f (x, y) |
вместо |
x |
числа |
х0 . |
Точка |
М 0 (х0 , у0 , f (x0 , y0 ))принадлежит кривой z0 ( y) . |
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
|
|
В силу дифференцируемости функции z f (x, y) в точке М 0 |
функция |
|||||
z0 ( y)также является дифференцируемой в точке |
у у0 . |
Следовательно, |
в |
|||
этой точке плоскости х х0 |
к кривой |
z0 ( y) |
может |
быть |
проведена |
|
касательная l1 . Проводя аналогичные рассуждения для |
сечения |
у у0 , |
||||
построим касательную l2 к кривой z0 (x) |
в точке |
х х0 . Прямые l1 и l2 |
||||
определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью |
к |
|||||
поверхности S в точке М 0 . |
|
|
|
|
|
|
Прямая, проходящая через |
точку М 0 (х0 , у0 , z0 ) и |
перпендикулярная |
касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется
нормалью к поверхности в точке М 0 (х0 , у0 , z0 ) .
13
Теорема. Если функция |
z f (x, y) дифференцируема в точке (х0 , у0 ) , |
||||||||||||||||||||||||||
то касательная плоскость к поверхности, |
заданной уравнением z f (x, y) , в |
||||||||||||||||||||||||||
точке М 0 (х0 , у0 , z0 ) определяется уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
z z |
0 |
f / (x |
0 |
, y |
0 |
) (x x |
0 |
) f / |
(x |
0 |
, y |
0 |
) ( y y |
0 |
) , |
(1) |
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x x0 |
|
|
= |
|
|
y y0 |
|
|
= |
z z0 |
. |
|
|
(2) |
|||||||||
|
|
|
f |
/ |
(x |
0 |
, y |
0 |
) |
f |
/ (x |
0 |
, y |
0 |
) |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если поверхность задана неявно уравнением |
F(x, y, z) 0 |
и функция |
F(x, y, z) дифференцируема в точке М 0 (х0 , у0 , z0 ) , то касательная плоскость |
|||||||||||||||||||||||||||||
к этой поверхности в точке М 0 (х0 , у0 , z0 ) |
определяется уравнением |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F / |
|
|
(x x |
0 |
) F / |
|
( y y |
0 |
) F / |
|
|
(z z |
0 |
) 0, |
(3) |
||||||||||||||
x |
|
M0 |
|
|
|
|
|
y |
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
M0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x x0 |
|
= |
y y0 |
= |
z z0 |
. |
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||||||||
|
|
|
|
F / |
|
|
|
|
F / |
|
|
|
F / |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
M |
0 |
|
|
|
y |
|
M |
0 |
|
|
|
z |
|
M |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности |
|||||||||||||||||||||||||||||
получены для обыкновенных, |
то есть не особых точек поверхности. Точка М 0 |
поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.
Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: а) z x 2 y 2 в точке М 0 (1, 1, 2), б) x2 4y2 2z2 6 в точке
М0 (2, 2, 3).
Решение. а) Поверхность задана явно, поэтому воспользуемся формулами
(1), (2). Здесь
14
f / 2x, |
f / |
(1, 1,2) 2 1 2, |
|
x |
|
x |
|
f / 2 y , |
f |
/ (1, 1,2) 2 ( 1) 2 . |
|
y |
|
y |
|
Тогда искомое уравнение касательной плоскости имеет вид:
z2 2 (x 1) ( 2) ( y ( 1)) или 2x 2 y z 2 0
иуравнение нормали:
|
x 1 |
= |
y 1 |
= |
z 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
2 |
|
1 |
||
б) Поверхность задана неявно, поэтому воспользуемся формулами (3), (4). |
|||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
||
F (x, y, z) x 2 4 y 2 2z 2 6 , |
|
|
F |
/ 2x , |
F / (2,2,3) 2 2 4 , |
||||||
|
|
x |
|
x |
|
|||||
|
F / |
8y , F / (2,2,3) 8 2 16, |
||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
||
|
F / |
4z , |
F / (2,2,3) 4 3 12 . |
|||||||
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
||
Тогда искомое уравнение касательной плоскости имеет вид: |
||||||||||
4 (x 2) ( 16) ( y 2) 12 (z 3) 0 |
||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 y 3z 3 0 |
|
|||||
и уравнение нормали: |
x 2 |
|
= |
y 2 |
|
= |
z 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
16 |
12 |
|
|
|||
7. Полный дифференциал функции двух переменных и |
||||||||||
|
|
его геометрический смысл |
||||||||
Дифференциалом dz |
дифференцируемой |
в точке (х0 , у0 ) функции |
||||||||
z f (x, y) называется |
|
главная |
|
линейная, |
относительно приращений |
независимых переменных x и y , часть полного приращения этой функции в
точке (х0 , у0 ) , то есть
15
dz z х z |
у . |
(1) |
|
х |
y |
|
|
Если положить z х , то dz dx 1 х 0 у x, то есть dx x . |
|||
Аналогично, полагая z у , получим, |
что |
dу у . Таким |
образом, |
дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, то есть
dz |
z |
dх |
z |
dу . |
(2) |
|
х |
y |
|||||
|
|
|
|
Геометрический смысл дифференциала: если полное приращение функции z представляет геометрически приращение AC аппликаты поверхности z f (x, y) , то дифференциал функции dz есть приращение AB
аппликаты касательной плоскости к поверхности |
z f (x, y) в данной точке, |
|
когда переменные x и y получают приращения x и y (см. рис.7). |
||
z f ( x, y) |
|
|
|
M ( x, y, z) |
|
M |
N ( x, y, Z ) |
|
0 |
|
|
|
P( x, y, z0 ) |
MP z |
|
|
|
|
|
NP dz |
|
z0 |
|
x0 , y0 |
|
|
|
( x, y) |
|
|
Рис. 7 |
|
Напомним, что если |
функция z f (x, y) |
дифференцируема в точке |
(х0 , у0 ) , то ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
16
z xz (x0 , y0 ) x yz (x0 , y0 ) y ( х, у) x ( x, y) y (3)
Из соотношений (2) и (3) следует, что при достаточно малых | x | и | y |
имеет место приближенное равенство z dz . Отсюда получаем формулу для приближенных вычислений:
|
|
|
f (x0 х, y0 |
у) f (x0 , y0 ) fx/ (x0 , y0 ) x |
f y/ (x0 , y0 ) y |
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример. Вычислить приближенно ln 1,98 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y) ln x |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
Рассмотрим |
функцию |
|
y |
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln 1,98 |
|
|
|
|
ln (x0 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1,01 |
|
|
x) |
y0 y |
где |
|
|
|
x0 |
|
2, |
x 0,02, . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
0 |
|
1, |
y 0,01. Воспользуемся формулой (4), |
предварительно найдя f / и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
f |
/ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x/ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
f x/ (x0 , y0 ) f x/ (2,1) |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
/ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
/ |
|
/ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
f y (x0 |
, y0 ) |
f y (2,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
ln 1,98 1,01 ln 2 1 1 ( 0,02) ( 0,5) 0,01 0,025.
Для |
сравнения: |
используя |
микрокалькулятор, |
находим: |
ln 1,98 1,01 0,025305051.
8. Производная по направлению. Градиент |
|
||
Пусть в области D , |
в которой |
определена функция z f (x, y), |
в |
некоторой внутренней точке |
M 0 x0 , y0 |
задано направление вектором l (см. |
|
рис. 8). Нас интересует поведение функции при движении точки M (x, y) |
в |
17
этом |
направлении. |
Пусть |
t |
расстояние |
между точками |
M 0 и |
M , а |
||
|
|
|
– единичный вектор заданного направления l . |
Тогда |
|||||
e cos i sin j |
|||||||||
координаты |
точки |
M (x, y) |
равны: x x0 |
t cos , |
y y0 |
t sin . |
Если |
||
точка M стремится к точке |
M 0 по заданному направлению, то t 0. |
|
y
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M x, y |
|
D |
||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 x0 , y0 |
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Рис. 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производной функции |
z f (x, y) |
в точке |
M 0 x0 , y0 в заданном |
||||||||||
направлении l называется предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
f x0 t cos ,y0 |
t sin f x0, y0 |
|
df |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||||
t 0 |
|
|
|
|
|
|
dl |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В частности, частные |
производные |
z |
; |
z |
это производные по |
||||||||
x |
y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положительному направлению координатных осей Ox и Oy соответственно.
Оказывается, что для функции, имеющей непрерывные частные производные,
производная по направлению выражается через частные производные в данной точке. Чтобы это доказать, нам необходимо научиться находить частные производные сложных функций.
18
|
|
|
Производная |
|
|
z |
|
характеризует |
|
скорость |
изменения |
|
|
функции |
в |
||||||||||||||||||
|
|
l |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
направлении l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Теорема. Если функция |
z f (x, y) дифференцируема в точке (х0 , у0 ) , |
|||||||||||||||||||||||||||||
то производная |
|
z |
|
по направлению l {cos , |
sin } в точке |
(х0 , у0 ) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
(x , y ) f / (x , y ) cos f / (x , y ) sin , |
|
|
|
(1) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
0 |
|
|
|
|
y |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
где |
e |
cos , sin – единичный вектор заданного направления l . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Замечание. |
Если |
направление |
l |
задано |
вектором |
a {a1, a2}, |
то |
|||||||||||||||||||||||
производная |
|
z |
функции |
|
z f (x, y) |
по |
направлению l |
может быть |
|||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
подсчитана по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
, y0 ) |
|
a1 |
|
|
|
/ |
|
, y0 ) |
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(x0 , y0 ) |
fx |
|
(x0 |
|
|
|
|
f y |
(x0 |
|
|
|
|
|
. |
(2) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
a2 a2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 a2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Найти производную |
от |
функции |
|
z 3x4 |
xy y3 |
в точке |
М(1,2) в направлении, составляющим с осью Ox угол в 600 .
Решение. Направление задано углом наклона к оси Ox , поэтому
воспользуемся формулой (1).
|
f / 12x3 |
y , |
f |
/ (x , y |
) f / (1,2) 12 13 2 10 , |
|||
|
x |
|
x 0 |
0 |
x |
|
|
|
f / |
x 3y2 , |
f / (x , y |
) f |
/ (1,2) 1 3 22 |
11, |
|||
y |
|
|
y |
0 |
0 |
|
y |
|
zl (1,2) 10 cos 60 11 sin 60 10 0,5 11 0,53 5 5,53.
19