7700
.pdfФормула интегрирования по частям для определенного интеграла
записывается в виде:
b
udv u v ba
a
1
Пример. Вычислить xex dx .
b
v du .
a
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Решение. Обозначая u x , dv ex dx , |
получаем du dx , v ex . |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
1 |
1 |
|
1 e e1 e0 e e 1 1. |
||
xex dx xex |
|
ex dx 1 e1 0 e0 ex |
|
||||
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 1. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Вычисление площади плоской фигуры |
|
|||
Если уравнение заданной линии есть |
y f x , |
то, как было |
|||||
показано, площадь S криволинейной трапеции определяется формулой: |
|||||||
|
|
|
a |
|
|
||
|
|
|
S f x dx . |
|
|
||
|
|
|
a |
|
|
||
Обобщим полученные результаты на случай вычисления площади |
|||||||
произвольной плоской фигуры. |
|
|
|||||
Площадь |
Q , ограниченная кривыми |
y f1 x |
и y f2 x и |
||||
прямыми x a , |
x b, при условии f1 x f2 x , будет, |
очевидно, равна |
разности площадей криволинейных трапеций S1 a,b и S2 a,b , то есть
Q S1 a,b S2 a,b
или
b |
b |
b |
x f2 |
|
|
Q f1 |
x dx f2 |
x dx f1 |
x dx . |
(2.7) |
|
a |
a |
a |
|
|
|
59
Пример. Вычислить площадь, ограниченную кривыми y 2x и
y x2 (см. рис. 21).
2
y |
y x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
y 2x |
0 |
2 |
x |
|
|
Рис. 21
Решение. Находим абсциссы точек пересечения заданных кривых:
2x x2 ;
2 x2 b 2.
2 |
|
|
|
|
2x |
||||
Q |
||||
0 |
|
|
|
2x |
x4 |
; |
8x x4 ; |
|
|
x x3 |
8 0, |
откуда |
x a 0 |
, |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, в |
|
соответствие |
|
с формулой (2.7) |
||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 2 |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|
4 |
(кв. ед.) |
|
3 |
6 |
3 |
||||||
|
|
|
|
4
Ответ: 3 кв.ед.
60
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные задания |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найти неопределенные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||
2.01 |
а) x |
1 |
dx ; |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||
2.02 |
|
x 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||
2.03 |
а) |
x4 |
|
1 |
dx ; |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.04 |
а) |
3x 4 xex |
б) 3 |
|
x 1 2 dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.05 |
а) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) xe |
|
|
dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x cos x 3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|||||||||||||||||||||||
2.06 |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
б) 3 |
|
4x dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.07 |
|
2x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx ; |
б) |
2 |
|
|
|
|
|
5 ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||
2.08 |
а) |
x 1 3 |
dx ; |
|
|
|
|
б) |
|
x dx |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.09 |
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
б) |
x |
|
|
|
|
5 ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||
2.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) 2 x 1 dx ; |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
3x |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
в) x 1 cos xdx
.
в) x3 ln xdx.
в) 3x 1 ex dx .
в) x sin xdx.
в) 1 x ex dx .
в) x ln xdx.
в) x cos xdx.
в) x sin xdx.
в) x5 ln xdx.
в) x 1 ln xdx .
Задание 3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
3.01y x2 ; x y 2 0.
3.02y 16x ; y 17 x .
3.03xy 4; x 1; x 4 ; y 0.
3.04 |
y ln |
x ; |
x e ; |
y 0. |
|||
3.05 |
y e2 x |
|
; |
x 1; y 1. |
|||
|
|
1 |
|
x |
|
y 9; |
x 0. |
3.06 |
y |
|
|
; |
|||
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
y 4 ; |
x 4 . |
|
3.07 |
y |
|
|
; |
|||
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3.08 |
y 4 x2 ; |
y 0. |
3.09y ex ; y x2 ; x 1; x 2 .
3.10 y x3 ; |
x 0; |
y 8 . |
62
Литература
1. Важдаев В.П., Коган М.М., Лиогонький М.И., Протасова Л.А. 64
лекции по математике. Книга 1 (лекции 1-39): монография; Нижегор. гос.
архитектур.-строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2012.– 284 с.
2. Важдаев В.П., Коган М.М., Лиогонький М.И., Протасова Л.А. 64
лекции по математике. Книга 1 (лекции 1-39): монография; Нижегор. гос.
архитектур.-строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2012.-284 с.
3.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. - М.: «АЙРИС-ПРЕСС», 2002. –608.с.
4.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа:
Учебн. пособие / Г. Н. Берман.- СПб.: «Профессия», 2003. – 432 с
5. Иванова С.В. Построение графиков функций и кривых. – М.:
МФТИ, 2007. – 78 с.
6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.– М.: ООО Изд-во «Мир и образование»,
2008 – 368 с.
7. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление:
Учеб. пособие для втузов. Т.2 / Н.С.Пискунов.- М.: Интеграл - Пресс,
2001.-544 с.
8. Шипачев, В.С. Высшая математика: Учеб. для студентов вузов/
В.С.Шипачев. 4-е изд., - М.: Высш. шк., 2000.-480 с.
9. Минорский,В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб.
пособие для втузов /В.П.Минорский. -М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2004.-336с
10. Сборник задач по математике для втузов/ под ред. А.В.Ефимова,
Б.П.Демидовича. - М.: Наука, 1981. – 304 с.
63
|
Содержание |
|
§1. |
Функция одного переменного......................................................... |
3 |
|
Основные понятия............................................................................... |
3 |
|
Основные элементарные функции..................................................... |
6 |
|
Предел числовой последовательности.............................................. |
11 |
|
Предел функции................................................................................... |
15 |
|
Производная......................................................................................... |
19 |
|
Производная сложной функции......................................................... |
24 |
|
Производные высших порядков......................................................... |
25 |
|
Дифференциал функции...................................................................... |
26 |
|
Правило Лопиталя................................................................................ |
27 |
|
Исследование функций и построение их графиков.......................... |
29 |
|
Симметрия функции............................................................................ |
29 |
|
Асимптоты графика функции............................................................. |
30 |
|
Участки возрастания и убывания функции. Точки минимума и |
|
|
максимума............................................................................................ |
31 |
|
Интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба....... |
34 |
|
Основные требования к результатам исследования и построения |
|
|
графика.................................................................................................. |
36 |
|
Контрольные задания.………………………………………….......... |
41 |
§2. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные |
|
|
|
приемы интегрирования |
|
|
Основные понятия ……………………………………….................. |
42 |
|
Таблица основных интегралов ………………………….................. |
44 |
|
Основные свойства неопределенного интеграла ………................ |
46 |
|
Простейшие способы интегрирования....…………………….......... |
46 |
§ 3. |
Определенный интеграл |
|
|
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ............ |
50 |
|
Площадь криволинейной трапеции ..……………………................ |
50 |
|
Масса линейного неоднородного стержня ……………................... |
51 |
|
Работа переменной силы на прямолинейном участке пути ........... |
52 |
|
Свойства определенного интеграла …………………….................. |
53 |
|
Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона- |
|
|
Лейбница ..………………………………………………………........ |
55 |
|
Вычисление определенного интеграла заменой переменной ......... |
57 |
|
Вычисление определенного интеграла интегрированием по |
|
|
частям ..………………………………………………………............. |
58 |
|
Вычисление площади плоской фигуры .……………………........... |
59 |
|
Контрольные задания ………………………………………….......... |
61 |
|
Литература………………………………………………………….63 |
64
Антонина Вячеславовна Бесклубная
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям
по дисциплине «Математический анализ» для обучающихся по направлению подготовки 38.03.01 Экономика,
направленность (профиль) Бухгалтерский учет, анализ и аудит
=========================================================
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, Ильинская, 65 http://www.nngasu.ru.srec@nngasu.ru
65