7700
.pdfy
3 |
|
|
0 |
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|||
|
|
2 |
|
2 |
Рис. 46
г) y ctg x , D R \ n,n Z , E R.
y
x
|
|
0 |
|
|
3 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
x
Рис. 47
IV. Обратные тригонометрические функции
|
|
; |
|
а) y arcsin x , D 1;1 , E |
|
. |
|
|
2 |
|
2 |
10
y
2
-1 |
0 |
1 |
x |
2 Рис. 48
б) y arccos x , D 1;1 , E 0; .
y
2
-1 0 |
|
1 |
|
x |
|
|
|
; |
|
в) y arctg x , D R , E |
|
|
||
|
|
2 |
|
2 |
y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0
2
Рис. 49
x
Рис. 50
г) y arcctg x , D R , E 0;
11
y
2
0 |
x |
Рис. 51 |
|
Предел числовой последовательности |
|
Функция y f n , заданная на множестве |
всех натуральных |
чисел n называется числовой последовательностью и обозначается xn ,
где элемент xn |
f n соответствует номеру n . Будем задавать числовую |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последовательность x |
формулой своего общего члена x |
n |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
числовая |
последовательность |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
, |
|
|
, |
|
, , |
|
|
, |
, |
так |
|
|
как xn |
|
|
– формула общего |
члена |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 3 4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
последовательности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
При n 1: x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
При n 2 : |
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
При |
n 3: |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Пределом числовой последовательности xn называется конечное |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
действительное число |
a , если для любого сколь угодно малого числа |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 существует |
такое |
натуральное |
число |
N , |
что для всех |
членов |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
последовательности с номерами n N выполняется неравенство xn a . В краткой записи это выглядит так:
0 N n N xn a
и обозначается: lim xn a .
n
Определим – окрестность точки a как множество всех x ,
удовлетворяющих условию: x a , что эквивалентно двойному неравенству: a x a .
Тогда понятие предела геометрически означает, что какую бы малую– окрестность точки a не взяли, найдется такой номер N , начиная с которого все последующие члены последовательности будут находиться в этой окрестности (См. рис. 52).
x1 |
xN 1 |
xN 2 xn |
x2 |
a |
a |
|
a |
|
|
Рис. 52 |
|
Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся или стремящейся к этому пределу, а неимеющая конечного предела – расходящейся. «Стремление» последовательности xn к своему
пределу a будем обозначать как xn a . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Пример. Доказать по определению, что lim |
1 |
0 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Возьмем любое |
сколь угодно |
|
малое |
0 . |
Имеем: |
|||||||||
|
0 |
|
, когда |
1 |
или |
n |
1 |
. Значит существует такой номер |
N , |
|||||||||
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равный целой |
части числа |
|
1 |
, |
то есть такое |
|
целое |
число |
N , |
что |
||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
N |
1 |
N 1, то есть |
|
1 |
|
|
|
N |
|
|
, начиная с которого все последующие |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
члены с номерами |
N , |
N 1, N 2, N 3, ... будут находиться в – |
|||||||||||||
окрестности точки |
x 0, то есть в интервале ; . (См. рис.53). При |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0,2 |
N |
|
|
5, при 0,01 |
N |
|
100 . |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
N 2 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 3 |
N 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
Рис. 53 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim xn |
означает, что 0 |
N , |
n N xn |
; |
|||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim xn |
означает, что 0 |
N , |
n N xn |
. |
|||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
вычислении |
пределов числовой последовательности полезно |
использовать следующие их свойства, если существуют конечные пределы
lim xn a |
и lim yn b, то |
n |
n |
1) |
lim c c , c const ; |
|
|
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
lim |
c xn c lim xn |
c a , |
c const ; |
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
3) |
lim |
xn |
yn lim xn |
lim yn |
a b; |
|||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|||
4) |
lim |
xn |
yn lim xn lim yn a b ; |
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
x |
n |
|
lim xn |
|
a |
, если b 0; |
|||||||
5) |
lim |
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||
|
y |
|
|
lim y |
|
b |
||||||||||
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
lim |
1 |
|
0, если lim x a . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n x |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
Пусть требуется найти предел |
lim |
xn |
отношения |
двух |
||
y |
|
|||||
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
последовательностей, сходящихся к бесконечности, |
то есть |
lim xn |
и |
|||
|
|
|
|
|
n |
|
lim yn .
n
Непосредственно применить свойство о пределе частного двух последовательностей нельзя. Предварительно необходимо преобразовать
выражение |
xn |
к виду, допускающему применение указанных свойств. В |
||||
yn |
||||||
|
|
|
|
|
||
связи с этим |
выражение |
|
|
называется неопределенностью, а его |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
преобразование к виду, позволяющему найти предел – раскрытие неопределенности.
0
Заметим, что выражение , когда последовательности в числителе
0
и знаменателе стремятся к нулю, также называются неопределенностью.
Пример. Вычислить lim |
n2 |
2n 3 |
. |
|||
|
n |
3 |
1 |
|
||
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Решение. Разделим числитель и знаменатель на n3 – наибольшую из степеней n в числителе и знаменателе:
|
|
|
n2 |
|
|
|
2n |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
n3 |
|
n3 |
|
n3 |
lim |
n |
n2 |
n3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
3 |
|
1 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
lim |
1 |
2 lim |
1 |
|
|
3lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 0 3 0 |
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
n n |
|
|
|
n n2 |
|
|
n n3 |
|
|
|
|
0 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 0 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел функции.
15
Пределом функции y f x в точке x x0 называется такое число
A, что для |
любой последовательности |
xn значений |
аргумента x , |
|
сходящейся |
к |
числу x0 , последовательность yn , |
yn f xn |
|
соответствующих значений функции y |
стремится к этому числу A и |
|||
обозначается: |
lim |
f x A . |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
При нахождении пределов функций нужно использовать следующие
свойства предела функции: если существуют конечные пределы lim f x
x a
и lim g x , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
lim c f x c lim |
f x , c const ; |
||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
2) |
lim |
f x g x lim |
f x lim g x ; |
|||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|
|
x a |
||
3) |
lim |
f x g x lim |
f x lim g x ; |
|||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|
x a |
|||
4) |
lim |
1 |
|
0 (или ), если lim f x (или 0); |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
f x |
|||||||||||
|
x a |
|
|
|
f x |
|
x a |
|||||
|
|
|
f x |
|
lim |
|
|
|
||||
5) |
lim |
|
|
x a |
|
, если lim g x 0 . |
||||||
|
g x |
|
lim g x |
|||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|||||
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить lim |
|
x2 |
1 |
. |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 3x2 |
|
Решение: Разделим числитель и знаменатель на x2 , получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
lim |
|
lim |
|
|
x2 |
x2 |
|
lim |
x2 |
|
|
||||||||||||
3x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
n |
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
lim 1 lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
|
|
1 0 |
|
1 |
|||||||
x |
x |
|
||||||||||
|
lim 3 lim |
1 |
|
|
|
3 0 |
|
|
3 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
x x |
|
|
|
|
|
|
|
При нахождении пределов функций также полезно знать первый
замечательный предел: lim sin x 1 и следствия из него:
x 0 x
16
|
lim |
tg x |
1; |
|
lim |
arcsin x |
|
1; |
|
|
lim |
|
arctg x |
1; |
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
x |
|
e |
|
||||||||
и второй замечательный предел: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример. Вычислить предел |
|
lim |
|
|
sin 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
arctg 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
sin 2x |
|
|
0 |
|
|
2 |
lim |
sin 2x |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
arctg 3x |
0 |
|
|
|
arctg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x 0 |
|
3 |
|
x 0 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
lim |
sin |
2x |
lim |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 x 0 |
|
2x |
x 0 |
arctg3x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
t 2x |
|
|
|
2 |
lim |
sin t |
lim |
|
y |
|
2 |
1 1 |
2 |
. |
||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 t 0 |
t |
y 0 |
arctgy |
|
3 |
|
3 |
|
2
Пример. Вычислить предел lim 1 3x x .
x 0
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
lim 3 x |
2 |
|
1 |
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim 1 3x |
x |
1 lim |
1 3x |
3 x |
|
|
ex 0 |
x e 6 |
|
|
. |
|||||||||
e |
|
|||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Общий метод (правило Лопиталя) вычисления пределов в случаях |
||||||||||||||||||||
неопределенности |
|
0 |
|
и |
|
|
|
рассматривается в дифференциальном |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исчислении.
Пусть y f x функция от x , имеющая пределом число A, когда
x стремится к числу a . Предположим, |
что все значения величины x |
|
меньше, |
чем число a , то есть x a . Символически это выражается очень |
|
удобной |
записью: x a 0 (вместо |
x a, x a). Тогда предел |
lim f x A1 называют пределом функции |
f x в точке |
x a слева |
x a 0 |
|
|
или левосторонним пределом. |
|
|
17 |
|
|
Аналогично, при x a, x a , то |
есть |
x a 0 предел |
lim f x A2 называют пределом функции |
f x |
в точке x a справа |
x a 0 |
|
|
или правосторонним пределом.
Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке называются односторонними пределами.
Дадим определение непрерывности функции в точке.
Функция y f x называется непрерывной в точке x x0 , если:
1)функция f x определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности, содержащей эту точку x0 ;
2)функция f x имеет одинаковые односторонние пределы в этой
точке x0 , то есть lim f x |
lim |
f x ; |
|
x x0 0 |
x x0 0 |
|
|
3) эти односторонние пределы должны быть равны значению |
|||
функции f x в этой точке x0 |
: lim |
f x f x0 . |
|
|
x x0 |
|
|
Функция y f x называется разрывной в точке |
x x0 , если она |
||
определена в сколь угодно малой окрестности точки x0 , |
но в самой точке |
x0 не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.
Точки разрыва функции можно разделить на два типа.
Точка разрыва x0 функции y f x называется точкой разрыва 1-
го рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в этой точке, которые не равны между собой или равны между собой, но не равны значению функции в этой точке. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0 не существует или равен бесконечности, то x0 – точка разрыва функции 2-го рода.
18
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и построить ее
|
|
1 |
, при x 0 |
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
||
|
|
|
|
график y x2 , при 0 x 1. |
|||
|
2 x, при x 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Областью определения данной функции y является вся числовая ось, то есть D R . Точками «подозрительными» на точки разрыва являются точки x1 0 и x2 1, так как при переходе через эти точки функция y меняет свое аналитическое выражение с дробно –
рациональной на квадратичную и с квадратичной на линейную, соответственно.
Исследуем непрерывность функции y в точке x1 0 :
lim |
y lim |
1 |
|
|
1 |
|
|
||
x |
0 |
|
|||||||
x 0 0 |
x 0 |
|
|
|
|||||
lim |
y lim x2 |
0 2 0 |
|
||||||
x 0 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
y 0 x2 |
|
|
|
|
02 |
0 |
|
||
|
|
x 0 |
|
|
|||||
Поскольку |
условие |
непрерывности функции |
y в точке x1 0 |
||||||
нарушается, то |
x1 |
0 – |
точка разрыва функции y , |
т.к. левосторонний |
предел функции y в точке x1 0 равен бесконечности, то x1 0 – точка
разрыва 2-го рода.
Исследуем непрерывность функции y в точке x2 1:
lim y lim x2 |
1 0 2 |
1 |
|
x 1 0 |
x 1 0 |
|
|
lim y lim x2 |
2 x 2 |
2 1 0 1 |
|
x 1 0 |
x 1 0 |
|
|
y 1 2 x x 1 2 1 1
19