6848
.pdf
30
4. Определяем общую площадь фигуры и вес плиты (равнодействующую системы параллельных сил).
A = A + A |
2 |
+ A |
3 |
= 12a2 +10a2 + 9a2 = 31a2 |
; |
|
|
1 |
|
|
|
||
5. |
Определяем точку приложения равнодействующей (координаты центра тяже- |
|||||
сти) |
и показываем ее на рисунке. |
|
||||
x |
|
= |
x A + x A + x A |
= |
a ×12a2 |
+ 2.5a ×10a2 + 3a ×9a2 |
|
|||||||
C |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
3 |
|
31a2 |
= 2.06a; |
|
|||
|
|
|
A + A + A |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
yC |
= |
y A + y |
A + y A |
= |
5a ×12a2 + a ×10a2 + 4a ×9a2 |
|
||||||||
1 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
3 |
|
|
= 3.42a; |
|
||||
|
|
|
|
A1 + A2 + A3 |
|
|
|
31a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
y |
|
|
|
|
|
5a |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
4a |
y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
C2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xc |
|
xc |
1.5a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.39 |
|
Решение (второй способ):
Решение задачи может стать более простым, если использовать «метод отрицательных площадей» и поместить начало исходной системы координат в центр тяжести одной из составляющих фигур.
1.Выбираем исходную систему координат xO yO .
2.Разбиваем фигуру на простые составляющие (рис. 1.39, б).
3.Определяем площади и координаты центров тяжести составных частей фигуры.
A = 5a ×8a = 40a2 |
; |
x = 0; |
y = 0; |
1 |
|
1 |
1 |
31
A = |
1 |
6a ×3a = 9a2 ; |
x2 =1.5a; |
y2 = 2a; |
|
2 |
|||||
2 |
|
||||
|
|
|
|
4. Определяем общую площадь фигуры:
A = A1 -A2 = 40a2 - 9a2 = 31a2 ;
5. Определяем координаты центра тяжести всей фигуры и показываем его на рисунке.
|
|
|
|
x A - x A |
|
|
0 × 40a2 -1.5a ×9a2 |
|||||||
x |
C |
= |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
= |
|
|
|
= -0.44a; |
||
|
A - A |
|
|
31a2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
= |
|
y A - y |
2 |
A |
|
= |
|
0 × 40a2 - 2a ×9a2 |
= -0.58a; |
|||
C |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
A - A |
|
|
|
31a2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1.18. Определение положения центра тяжести Определить положение центра тяжести плоской фигуры, показанной на рис. 1.40.
a
4a 6a
a
5a |
|
4a |
|
a |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
10a
Рис. 1.40
Решение
1.Разбиваем фигуру на простые составляющие (рис. 1.41).
2.Выбираем исходную систему координат xO yO . Для упрощения решения задачи начало исходной системы координат О совместим с центром тяжести первой фигу-
ры и ось x0 направим по оси симметрии. В этом случае неизвестным остается поло-
жение центра тяжести фигуры на этой оси, то есть координата xC .
3. Определяем площади и координаты центров тяжести частей фигуры.
A1 = 6a ×10a = 60a2 ; |
|
x1 = 0; |
|
A = π (2a )2 |
= 12.56a2 |
; |
x = 2a; |
2 |
|
|
2 |
4. Определяем общую площадь фигуры.
A = A1 -A2 = 60a2 -12.56a2 = 47.44a2 ;
|
|
32 |
|
|
yC |
y0 |
|
|
|
|
y1 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
3a |
|
|
|
|
2a |
C O C |
C |
2 |
x1 = x2 = xC |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
3a |
|
|
|
|
a |
|
xC |
2a |
|
|
5a |
|
4a |
|
a |
|
|
|
||
|
10a |
|
|
|
|
|
Рис. 1.41 |
|
|
5. Определяем координаты центра тяжести всей фигуры и показываем его на рисунке.
x |
|
= |
x A - x A |
= |
0 ×60a2 - 2a ×12.56a2 |
= -0.53a; |
||
C |
1 1 |
2 2 |
|
|||||
A - A |
47.44a2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Ответ: (-0,53а;0)
ГЛАВА 2. КИНЕМАТИКА
2.1 Кинематика точки
Рассмотрим три способа задания движения точки: 1. Векторный способ задания движения точки
33
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
R |
||
j |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||
O |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
R |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
R |
радиус вектор точки М. |
|
|
|
|
r - |
||
R
траекториягодограф радиусвектора r.
Рис.2.1
Закон движения: "# "#$%&. Траектория: годограф радиус-вектора.
Скорость: ***#) +,+-# "#.
Ускорение: /# +0+-*# ++1-,1#.
2. Координатный способ задания движения точки
23 3$%&
Закон движения: 4 4$%& .
Траектория: из закона движения надо исключить время – y=f(x).
Скорость: |
)6 |
4. |
|
- Проекции вектора скорости: |
|
||
2)5 |
3. |
|
|
- Модуль вектора скорости: |
) )5 )6 |
||
- Направляющие косинусы: |
76 |
)6 |
⁄) |
275 |
)5 |
⁄) . |
|
Ускорение: |
|
|
|
|
/6 |
5 |
|
- Проекции вектора ускорения: |
2/5 |
). 39 |
|
|
|
6 |
|
- Модуль вектора ускорения: |
/ /5 /6 |
||
34
- Направляющие косинусы: |
:6 |
/6 |
⁄/ |
|
|
|
|
|
||||||||
2:5 |
/5 |
⁄/. |
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Естественный способ задания движения точки |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
траектория |
|
|
R |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ − единичный вектор касательной |
|
|
|
|
|
R |
|||||||||
|
R |
− единичный вектор нормали |
|
|
|
|
|
R |
v |
|||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
+ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2.2 |
|
|
|
|
|
||
Закон движения: |
; ;$%&, |
|
где s – дуговая координата. |
|
||||||||||||
Траектория: |
|
|
задана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Скорость: |
|
)# )<=# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
)< ;.- проекция вектора скорости на касательную. |
||||||||||||
Модуль вектора скорости: |
|
) |)<|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ускорение: |
***#/ /#< /#? /<=# /?7*#, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
/< |
+0@ |
;9 |
- касательное ускорение, |
|
|
||||||||||
+- |
|
|
||||||||||||||
|
/? |
01 |
|
- нормальное ускорение (направлено в сторону вогнутости |
||||||||||||
|
A |
|
||||||||||||||
траектории), |
B радиус кривизны траектории, C AD – |
кривизна. |
||||||||||||||
Модуль вектора ускорения: / / /
< ?
Знак скалярного произведения векторов ускорения и скорости позволяет определить является движение ускоренным или замедленным. При ускоренном движении оно положительно, а при замедленном - отрицательно.
Задача 2.1. Векторный способ задания движения точки
Движение точки задано в векторной форме: "# 4E# ;F7 % G# 3% C*#. Параллельно какой оси направлено ускорение точки?
Решение: |
"# 4E# ;F7 % G# 3% C |
|
|
|
|
Дифференцируя |
, |
|
находим вектор скорости: |
||
|
*# |
|
|||
|
|
. |
|
*# |
|
|
|
)# "# HI; % G# 3 C |
|
||
и вектор ускорения: |
/# )# ;F7 % G# |
|
|
||
. |
. |
|
|
||
35
Получили, что вектор ускорения параллелен оси y. Ответ: ускорение точки направлено параллельно оси Oy.
Задача 2.2. Естественный способ задания движения точки Движение точки задано в естественной форме по некоторой заданной траектории.
Закон движения: ; 1 2% 3% . Нормальное ускорение равно /? 2 см1 HI7;%. Определить радиус кривизны траектории при t=1с.
− 
траектория
O |
|
|
|
|
|
s |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+
|
Рис. 2.3 |
|
||||||
Решение: |
)< ;. 2 6%. |
|
||||||
Определяем уравнение скорости: |
мс. |
|||||||
Вычисляем модуль скорости при t=1с: )|-KD | 2 6 ∙ 1| 4 |
||||||||
Вычисляем радиус кривизны при t=1с: B |
01 |
|
N1 |
8 |
м |
. |
|
|
LM |
|
с1 |
|
|||||
Ответ: B 8 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.3. Векторный способ задания движения точки |
%O G#. |
|||||||
Движение точки задано в векторной форме: "# 0.3 % *#E 0.1 |
||||||||
Определить величину (модуль) ускорения точки при t=t1=2c. |
|
|||||||
Решение:
Дифференцируя "# 0.3 % *#E 0.1 %O G# по времени находим вектор скорости:
)# "#. 0.6 % *#E 0.3 % G#
и вектор ускорения: /# )#. 0.6 *#E 0.6 % G# .
Подстановкой определяем вектор ускорения при t=t1=2c.
/#|-K P 0.6 *#E 0.6 ∙ 2 G# 0.6 *#E 1.2 G#.
Находим модуль вектора ускорения:
/ √0.6 1.2 0.6√5 см1.
Ответ: / 0.6√5 см1.
36
Задача 2.4. Координатный способ задания движения точки
Найти траекторию точки М, радиус кривизны траектории, а также скорость и |
||
ускорение в момент времени |
Q R, |
если движение точки задано уравнениями |
S T UVWXQ м, Y Z W[\XQ м. |
|
|
Решение
1. Уравнение траектории. Используем тригонометрическое тождество W[\X]
UVWX] ^ и исключим время из уравнений движения:
$S⁄T&X $Y⁄Z&X ^.
Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс с полуосями
5 м и 3 м, центр которого находится в начале координат. |
S|QKR 5 м, |
||||||||||
2. Положение точки при |
Q R |
определим через ее координаты: |
|||||||||
Y|QKR 0, откуда следует, что точка М – |
крайняя точка эллипса (см. рис.). |
||||||||||
3. Скорость точки найдем по ее проекциям: |
|
|
|||||||||
|
|
_S S. ^R W[\XQ, |
|
_Y Y. ` UVWXQ. |
|
||||||
При |
Q R |
_S|QKR R, |
_YaQKR ` |
м⁄с, |
откуда видно, что вектор скорости |
||||||
направлен по оси y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
_ b |
|
` м⁄с. |
|
|||||||
Модуль скорости равен |
_SX _YX |
|
|||||||||
4. Ускорение точки тоже определяем по проекциям: |
|
||||||||||
|
!S |
_. XR UVWXQ, |
! |
Y |
_. ^X W[\XQ. |
|
|||||
|
|
S |
|
|
|
|
Y |
!YaQKR R, откуда видно, ускорение |
|||
При |
Q R |
имеем: !S|QKR XR |
|
м⁄сX, |
|||||||
направлено против оси y. |
! !SX !cX XR м⁄сX. |
|
|||||||||
Модуль ускорения равен |
|
||||||||||
Из рисунка 2.4 видно, что ускорение перпендикулярно скорости, то есть является нормальным ускорением. Касательное ускорение в данный момент времени отсутствует. Убедимся в этом.
37
y |
|
|
|
3 |
|
R |
|
|
|
v |
|
R |
R |
|
|
a |
= an |
5 |
x |
−5 |
|
M
−3
Рис.2.4
Касательное ускорение найдем по формуле :
|!d| e_S!Sf__Y!Ye R.
Нормальное ускорение вычислим как геометрическую разность между полным и
касательным ускорениями:
!\ !X !dX XR м⁄сX.
5. Радиус кривизны траектории найдем из формулы g !_\X XR`X ^. h м.
Задача решена
Задача 2.5. Координатный способ задания движения точки
В координатной форме задан закон движения груза, сброшенного с самолета:
2S `R Q
Y T QX.
Высота полета самолета равна h=320м. Найти: траекторию груза (точки М), расстояние по горизонтали между точками сброса и падения, скорость и ускорение в точке падения, радиус кривизны в точке падения.
Решение:
1. Определяем траекторию. Для этого исключаем время из закона движения точки М.
Q |
S |
, |
откуда |
Y TQX T |
QX |
|
^ |
SX. |
|
`R |
`RX |
iXR |
|
||||||
Так как Q j R , то |
S j R и Y j R. |
Y |
|||||||
Следовательно, траекторией является правая ветвь квадратной параболы |
|||||||||
iXR^ SX .
|
38 |
O |
|
|
x |
|
M |
h |
|
y |
480 м |
|
|
|
Рис.2.5 |
2.Определяем положение точки М1 момент времени t1 при y=h=320м.
Так как Y TQX, то Q^ bkT bZXRT hU. При этом S^ `RQ^ `R ∙ h hR м.
3.Определяем скорость и ускорение груза в момент падения.
Определяем проекции вектора скорости на координатные оси:
_S S. `R,
_Y Y. ^RQ.
Определяем проекции вектора ускорения на координатные оси:
!S _S. S9 R,
!Y _Y. Y9 ^R.
Вычисляем модуль вектора скорости:
_ b_SX _YX `RX $^RQ&X ^R√`X QX.
При Q Q^ hU значение скорости будет равно _ ^R√`X hX ^RR мс. Найдем модуль ускорения: ! b!SX !YX √RX ^RX ^R смX.
4. Вычисляем нормальное и касательное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|||||||||||
|!d| e |
l_ |
e m^R |
|
|
XQ |
|
|
m m |
|
^RQ |
|
m, |
|
|
|
|
|||||||
lQ |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Z`fQ |
X |
Z`fQX |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
!\ !X !dX b |
^RR Z`fQ^RRQXX |
|
|
`R |
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Z`fQ |
X |
g !_\X ZT $Z` QX&XZ, |
|||||||||||||||||||||
5. Определяем радиус кривизны траектории : |
|||||||||||||||||||||||
откуда получаем радиус кривизны в момент падения при Q^ hU: |
|||||||||||||||||||||||
|
_X |
T |
X |
|
XZ |
^```, iм. |
|
|
|
|
|||||||||||||
g !\ |
Z $Z` h |
& |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: S^ |
hR м, _ ^RR мс , ! ^R |
м |
, g ^```, iм. |
||||||||||||||||||||
сX |
|||||||||||||||||||||||
Задача 2.6. Естественный способ задания движения точки
Материальная точка М движется по окружности, которая имеет радиус R=2м. В начальный момент времени точка находится в положении О (начало отсчета дуговой координаты). Задан закон движения материальной точки М в естественной форме o XpQ p QX. Положительное направление отсчета принято по часовой стрелке.
В момент времени t=2с найти: положение точки М (точку М1); вектор скорости *#; векторы полных, касательных и нормальных ускорений: *#!, *#!d, *#!\.
Определить является движение в данный момент времени ускоренным или замедленным.
Решение
1. Покажем положение точки М на траектории в произвольный момент времени t (рис.2.6).
Покажем на рисунке угол , который соответствует дуговой координате s.