6848
.pdf
20
Ответ: Реакции равны RA = 
X A2 +YA2 = 25.571кН, RB =14.444кН.
Задача 1.12. Равновесие произвольной плоской системы сил Дано: М=6кН·м, F=8кН, Р=10кН, q=3кН/м, α=300.
Определить реакции опор в жесткой заделке.
|
|
α |
|
М |
P |
1 м |
А |
q |
|
|
F |
3 м |
|
|
|
4 м |
2 м |
|
Рис. 1.24 |
|
Решение:
1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими (рис.1.25).
2.Раскладываем наклонные силы на составляющие по осям х и у (рис.1.25).
3.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей:
Q= q × 4м = 3 кН × 4м = 12кН
м.
4.Составляем уравнения равновесия.
∑Xi = 0∑ =Yi 0
∑ ( R )=
M A Fi 0
X A - P ×sinα - Q = 0 |
|
|
|
|
|
YA - F - P × cosα = 0 |
|
|
|
- P × cosα × 6 |
+ P ×sinα ×1 = 0 |
M A - M - F × 4 - Q ×1 |
|
|
21 |
|
|
y |
|
P |
|
|
α |
|
|
M A |
|
|
|
М |
|
|
X A |
А |
|
В |
|
|
F |
x |
|
|
Q |
|
|
YA |
|
|
|
|
q |
|
|
RA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
Рис. 1.25 |
|
5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции:
∙ 12 10 12 12 17кН,∙ √23 8 10 ∙ 0,866 16,66кН,
∙ 4 ∙ 1 ∙ √23 ∙ 6 ∙ 12 ∙ 16 8 ∙ 4 12 ∙ 1 10 ∙ 0,866 ∙ 6 10 ∙ 0,5 ∙ 1 96,96кНм
6.Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно произвольной точки С.
∑ ( R ) = - - × - × + × + × α × + × =
M F M M X 3 Y 6 F 2 P sin 4 Q 2
Ñ i A A A
= 96.96 - 6 -17 ×3 -16.66 × 6 + 8 × 2 +10 × 0.5 × 4 +12 × 2 = 0.0
Проверка выполняется с удовлетворительной точностью.
Ответ: Реакции равны: 17кН, 16,66кН, 96,96кНм,
17 16,66 23,8кН
.
Задача 1.13. Равновесие произвольной плоской системы сил Дано: F=8кН, Р=5кН, q=4кН/м.
Определить реакции связей.
22
|
|
|
|
|
|
D |
|
F = 8кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
P = 5кН |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = 4 кН
м
Рис. 1.26
Решение
1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими.
2.Раскладываем наклонные силы на составляющие по осям х и у.
3.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей:
Q = 1 q × 6 м = 1 × 4 кН × 6м = 12кН
|
|
2 |
2 м |
. |
4. Составляем уравнения равновесия. |
||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
mA = 0 |
-Q × 2 - F ×5 + P cosα ×7 - P sin α ×4 + M A = 0, |
|
|
∑ X = 0 |
Q + X A + P sinα = 0, |
||
|
∑Y = 0; |
|
- F + P cosα = 0. |
|
|
YA |
|||
5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции, учитывая, что
sin α = 0.6, cosα = 0.8. .
M A = +Q ×2 + F ×5 - P cosα ×7 + P sin α ×4 =
= +12 × 2 + 8 ×5 - 5 ×0.8 ×7 + 5 ×0.6 ×4 = 24 + 40 - 28 +12 = 48кНм,
X A = -Q - P sin α = -12 - 5 ×0.6 = -15кН (направление противоположное),
YA = +F - P cosα = 8 - 5 ×0.8 = 4кН.
|
23 |
|
|
|
|
F = 8кН |
P cosα |
|
|
|
D |
|
α |
P = 5кН |
|
|
|
|
|
6м |
B |
C |
P sin α |
|
Q |
||||
4м
|
A |
2м |
|
|
|
X A |
|
M A |
RA |
YA |
|
Рис. 1.27
6.Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно произвольной точки D.
∑ M D = M A -YA ×3 + X A ×6 + Q × 4 - F × 2 + P cosα × 4 + P sin α × 2 =
=48 - 4 ×3 + (-15)×6 +12 × 4 - 8 × 2 + 5 ×0.8 × 4 + 5 ×0.6 × 2 =
=48 -12 - 90 + 48 -16 +16 + 6 = 0.
Проверка выполняется. Ответ: Реакции равны:
M A = 48кНм, X A = -15кН (направление противоположное), YA = 4кН.
1.3 Равновесие плоской системы тел
Задача 1.14. Равновесие системы тел на плоскости Дано: F, q, M.
Определить реакции опор А, D, E и G.
24
F q M
A |
B |
|
C |
|
D |
E |
F |
G |
|
2a |
a |
a |
a |
2a |
a |
a |
a |
Рис. 1.28
Решение:
1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями (рис.1.29).
2.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей: !.
M A |
F |
Q = 4qa |
M |
|
|||
|
|
|
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.29
3. Составляем первое дополнительное уравнение, выражающее отсутствие поворота диска FG относительно диска AF (рис.1.30):
n |
|
|
|
|
∑ МFправ = 0, |
−М + RG a = 0, |
|||
i=1 |
|
|
|
|
R = |
M |
= |
qa2 |
= qa. |
|
|
|||
G |
a a |
|
||
|
|
|||
25
M A |
F |
Q = 4qa |
M |
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.30
4. Составляем дополнительное уравнение, выражающее отсутствие поворота диска СG относительно диска AС (рис.1.31):
n |
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
∑ МCправ |
|
-M + RG |
×5a + RE |
×3a + RD ×a -Q ×2a = 0, |
|||||
i=1 |
|
|
|
|
|
||||
3R |
|
+ R |
|
= −5R + 2Q + |
M |
, |
|
|
|
E |
D |
|
|
|
|||||
|
|
|
G |
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3RE + RD = -5qa + 2 ×4qa + qa2 , a
3RE + RD = 4qa.
M A |
F |
Q = 4qa |
M |
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.31
5. Составляем дополнительное уравнение, выражающее отсутствие поворота диска ВG относительно диска AB (рис.1.32):
n |
|
∑ МBправ = 0, |
-M + RG ×7a + RE ×5a + RD ×3a -Q ×4a - F ×a = 0, |
i=1 |
5RE + 3RD = −7RG + 4Q + M + F , a
26
5R + 3R = -7qa + 4 × 4qa + |
qa2 |
+ qa, |
|
|
||
|
|
|
||||
E |
D |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5RE + 3RD =11qa. |
|
|
|
|
|
|
|
M A |
|
|
F |
Q = 4qa |
M |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.32
6. Решаем систему уравнений, полученных в пунктах 4 и 5:
RD = 4qa -3RE .
5RE + 3(4qa − 3RE ) = 11qa.
-4RE +12qa =11qa.
RE = 0.25qa.
RD = 4qa - 0.75qa = 2.25qa.
M A |
F |
Q = 4qa |
M |
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.33
7. Пользуясь аксиомой отвердения, составляем уравнения равновесия всей конструкции, считая ее абсолютно твердым телом (рис. 1.33).
n |
|
|
|
∑ МA |
= 0, |
M A |
- M + RG ×9a + RE ×7a + RD ×5a -Q ×6a - F ×3a = 0, |
i =1 |
|
M A = +M - RG ×9a - RE ×7a - RD ×5a + Q ×6a + F ×3a,
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
M A = +qa2 - qa ×9a - 0.25qa ×7a - 2.25qa ×5a + 4qa ×6a + qa ×3a = 6qa2 . |
|
|
||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Yi = 0, |
RA + RD + RE |
+ RG − F |
− Q = 0, |
|
|
|
|
|
|
|||
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
RA = −2.25qa − 0.25qa − qa + qa + 4qa = 1.5qa. |
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
|
Реакции равны: |
M |
A |
= 6qa2 , R |
A |
= 1.5qa, R |
= 2.25qa, R |
= 0.25qa, R |
= qa. |
||
|
|
|
D |
|
E |
G |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 1.15. Равновесие системы тел на плоскости |
|
|
|
|||||||||
Дано: |
F = 24 кН , q = 10кН / м, |
M = 30кНм . |
|
|
|
|
||||||
Определить реакции опор |
А и В. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
F |
|
М |
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1м |
A |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
1м |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2м |
|
|
3м |
1.5м |
1.5м |
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.34 |
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.35 |
|
|
|
|
||
28
1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями.
2.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей
Q= q ×1.6м = 10 кН ×1.6м = 16кН
м.
3.Составляем уравнение, выражающее отсутствие поворота второго диска относительно первого диска.
∑mC(2) = 0; - F ×1.5 - M + X B × 2 = 0;
X B |
= |
F ×1.5 |
+ M |
= |
24 ×1.5 + 30 |
= 33кН. |
|
|
|
||||
откуда |
2 |
2 |
|
|||
4. Пользуясь аксиомой отвердения, составляем уравнения равновесия всей конструкции, считая ее абсолютно твердым телом.
∑ X = 0 |
X A + X B - Q = 0 |
|
|
∑Y = 0 |
YA - F = 0 |
∑ mA = 0; |
M A + Q ×1.25 - F × 6.5 - M + X B ×1 = 0. |
|
|
5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции.
X A = -X B + Q = -33 + 25 = -8кН;
YA = F = 24кН;
M A = -Q ×1.25 + F × 6.5 + M - X B ×1 = -25 ×1.25 + 24 × 6.5 + 30 - 33×1 = 121.75кН × м.
6. Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов всех сил приложенных к раме относительно произвольной точки D.
∑ mD = M A + X A × 2.5 - YA × 5 - Q ×1.25 - F ×1.5 - M + X B × 2 =
121.75 - 8 × 2.5 - 24 × 5 - 25 ×1.25 - 24 ×1.5 - 30 + 33 × 3.5 = 0
Проверка выполняется.
Ответ: Реакции равны: X A = -8кН |
(сила направлена в другую сторону), |
YA = 24кН, M A = 121.75кН × м, |
X B = 33кН. |
1.4. Определение положения центра тяжести
Положение центра тяжести некоторого объема, состоящего из нескольких частей, можно найти по формулам:
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
∑ xiVi |
|
|
∑ yiVi |
|
|
∑ ziVi |
|
x = |
i=1 |
, |
y = |
i=1 |
, |
z = |
i=1 |
. |
|
|
|
||||||
C |
V |
|
C |
V |
|
C |
V |
|
|
|
|
|
|
||||
29
Координаты центра тяжести однородной тонкой пластины постоянной толщины
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
определяются через площади отдельных ее частей Ai и общую площадь A = ∑ Ai : |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
x = |
∑xi Ai |
|
y = |
∑yi Ai |
|
z = |
∑zi Ai |
|
i=1 |
, |
i=1 |
, |
i=1 |
. |
|||
|
|
|
||||||
C |
A |
|
C |
A |
|
C |
A |
|
|
|
|
|
|
||||
Центр тяжести однородного (имеющего одинаковую по длине площадь поперечного сечения и удельную плотность материала) длинного тонкого тела определяется
|
|
|
|
|
n |
: |
|
|
через длины его участков L i и общую длину L = ∑Li |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
x = |
∑xi Li |
|
y = |
∑yi Li |
|
z = |
∑zi Li |
|
i=1 |
, |
i=1 |
, |
i=1 |
. |
|||
|
|
|
||||||
C |
L |
|
C |
L |
|
C |
L |
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 1.17. Определение положения центра тяжести Определить положение центра тяжести плоской фигуры, показанной на рис. 1.38.
2a |
3a |
|
6a |
8a |
|
|
2a |
|
5a |
Рис.1.38 |
|
Решение (первый способ):
1.Выбираем исходную систему координат xO yO .
2.Разбиваем фигуру на простые составляющие (рис.1.39, а).
3.Определяем площади и координаты центров тяжести составных частей фигуры.
A1 = 2a ×6a = 12a2 ; |
x1 = a; |
y1 = 5a; |
||||
A = 5a × 2a = 10a2 |
; |
x = 2.5a; |
y = a; |
|||
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
A = |
1 |
3a × 6a = 9a2 ; |
x3 = 3a; |
y3 = 4a; |
||
2 |
||||||
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||