4158
.pdf20
c)В случае комплексных корней
|
Rα ( x) |
|
= |
M1x + N1 |
+ L + |
M r x + Nr |
, (9) |
|
|
|||||
|
(x2 + p1x + q1 )L(x2 + pr x + qr ) |
x2 + p1x + q1 |
|
x2 + pr x + qr |
|
|
||||||||
где каждой паре комплексных |
корней или множителю |
второй |
степени |
в |
||||||||||
знаменателе соответствует простейшая дробь вида |
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Mi x + Ni |
|
. |
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||||||
|
x2 + p x + q |
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||||||||||
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|
|
i |
i |
|
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Пример 6.5. Разложить правильную дробь |
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4x + 7 |
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на |
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||||||||||
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|
(x2 + 3x + 8)(x2 − 2x + 7) |
простейшие дроби.
Согласно формуле (9) разложение запишется в виде:
4x + 7 |
= |
M1x + N1 |
+ |
M 2 x + N2 |
|
|
|
|
. |
||
(x2 + 3x + 8)(x2 − 2x + 7) |
x2 + 3x + 8 |
x2 − 2x + 7 |
d) В случае, когда среди множителей знаменателя имеются
повторяющиеся множители второй степени:
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Rα ( x) |
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|
= |
|
|
M1x + N1 |
+ |
|
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||
(x2 + p1x + q1 )β 1 L(x2 + pr x + qr )β r |
x2 + p1x + q1 |
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|
|
|
||||||||||||
+ |
|
M 2 x + N2 |
+ L + |
M β 1 x + Nβ 1 |
+ L + |
, |
(10) |
|
|||||||||
|
(x2 + p1x + q1 )2 |
(x2 + p1x + q1 )β 1 |
|
||||||||||||||
|
|
D x + L |
D x + L |
Dβ r x + Lβ r |
|
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1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
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|
|
|
+ |
|
+ |
|
+ L + |
|
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x2 + pr x + qr |
(x2 + pr x + qr )2 |
(x2 + pr x + qr )β r |
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||||||||||||
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Пример 6.6. Разложить правильную дробь |
|
7x2 + 3x − 5 |
|
|
на |
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|
(x2 − 3x + 8)2 (x2 + x + 4) |
|
простейшие дроби.
По формуле (10) разложение запишется в виде:
7x2 + 3x − 5 |
= x |
A x + B |
+ |
A x + B |
|
Dx + L |
||||
(x2 − 3x + 8)2 (x2 + x + 4) |
2 − 3x + 8 |
(x2 − 3x + 8)2 |
+ x2 + x + 4 . |
|||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
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21
Подводя итог вышесказанному, разложение правильной дроби запишется
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R (x) |
|
A |
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|
A |
|
|
Aγ |
|
+ ... + |
|
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|||||||
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Qm (x) = (x − a1 ) + |
(x −1)2 + ... + |
|
(x − a )γ1 |
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||||||||||||||
|
|
α |
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1 |
|
|
2 |
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ Lβ |
|
|
(11) |
|
|
|
|
M |
|
x + N |
|
|
|
|
D x + L |
|
|
|
|
Dβ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||
|
+ |
|
+ ... + |
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
|
x 2 + pr x + qr |
x 2 + pr x + qr |
(x |
2 + p |
r |
x + q |
r |
)βr |
||||||||||||||||||
|
|
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||
где |
A1 , A2 ,L, Aγ1 ,L, M1 , N1 ,L, D1 , L1 ,L, Dβr Lβr |
|
|
— |
|
|
неопределённые |
коэффициенты, которые необходимо вычислить.
Нахождение неизвестных коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие дроби покажем на примерах.
x + 3
Пример 6.7. Разложить правильную дробь x3 − 2x2 + x на простейшие дроби.
Разлагая многочлен x3 − 2x2 + x на множители,
x3 − 2x2 + x = x(x2 − 2x + 1) = x( x − 1)( x − 1) = x( x − 1)2
обнаруживаем, что многочлен имеет три действительных корня x1 = 0, x2 = 1 и
x3 = 1, один из которых x1 = 0 — |
|
простой и два x2 = 1 и x3 = 1 — кратные. |
|||||||||||||||||||
Согласно формуле (11) разложение правильной дроби на простейшие |
|||||||||||||||||||||
дроби запишется в виде: |
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|||
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|
x + 3 |
= |
|
A |
+ |
|
B |
|
+ |
|
|
C |
|
|
|
(12) |
||||
|
|
x( x − 1)2 |
|
|
|
|
( x − 1)2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x x − |
1 |
|
||||||||||||||
Приведя правую часть равенства к общему знаменателю |
|
||||||||||||||||||||
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
( |
|
) |
2 + B |
( |
x − |
) |
|
|
||||||
|
|
|
= |
|
A |
|
|
x |
− 1 |
|
1 x + Cx |
|
|||||||||
|
x ( x − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x ( x − 1)2 |
|
|
|
|
отметим, что дроби с равными знаменателями равны, когда равны их числители. Знаменатели дробей равны, значит должны быть равны и числители, т.е.
x + 3 = A( x − 1)2 + B ( x − 1) x + Cx .
22
Приравнивая в тождестве коэффициенты при одинаковых степенях x :
0 × x2 + x + 3 = x2 ( A + B) + x(C - B - 2A) + A,
получим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными A, B, C вида:
|
|
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|
A + B = 0 |
при |
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
при |
x . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 A - B + C |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решая её, находим |
A = 3, |
|
B = −3 |
|
и С = 4 . |
Подставляя в (12) найденные |
||||||||||||||||||||||||||||
значения A, |
|
B, |
и С, получим: |
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 - 2x + x |
x |
x -1 |
( x -1)2 |
|
||||||||||||||||
Задача интегрирования выражения вида ∫ |
P |
( x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
dx |
свелась к отысканию |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Qm ( x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегралов от простейших дробей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
I. |
∫ |
|
A |
dx = Aln |
|
x + a |
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + a |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
−n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
II. |
∫ |
|
|
|
|
A |
|
dx = A |
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
( x + a ) |
n |
|
−n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
III. ∫ |
|
|
Mx + N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
+ px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
IV. ∫ |
|
|
|
|
Mx + N |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(x2 + px + q)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Интегралы первых двух дробей найдены. Вычисление интеграла под номером IV выходит за рамки излагаемого материала. Покажем способ вычисления интеграла III.
|
Mx + N |
|
|
|
2 |
|
|
|
∫ x2 + px + q dx = |
обозначая |
t = x |
|
+ px + q, |
найдём |
dt = (2x + p )dx |
Выполняя тождественные преобразования, получим:
23
|
|
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|
Mx + N |
|
|
|
|
|
|
|
M |
(2x + p) − |
Mp |
+ N |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
dx = ∫ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ px |
+ q |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
(2x + p )dx |
|
|
|
Mp |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ N − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||
|
|
2 |
∫ x2 + px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 ∫ x2 + px + q |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
M |
|
dt |
+ |
|
− |
|
Mp |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
∫ t |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
p2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
+ |
|
+ q − |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Учитывая, |
что знаменатель |
|
x2 + px + q |
|
имеет только комплексные корни, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
дискриминант |
p2 |
|
- q = D < 0 тогда |
|
-D = q - |
p2 |
> 0 . |
Обозначая q - |
p2 |
= a2 и |
||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
x + p = u , находим du = dx .
2
Продолжая вычисления, получим:
|
M |
|
|
|
|
|
Mp |
du |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
ln |
t |
+ N - |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 ∫ u2 |
+ a2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
M |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Mp |
|
1 |
|
u |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
ln |
x |
|
+ px + q |
+ N - |
|
|
× |
|
× arctg |
|
+ C |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл равен:
|
Mx + N |
dx = |
M |
ln |
|
x2 + px + q |
|
+ |
2 |
N − Mp |
|
arctg |
2x + p |
|
+ C . |
|
|
|
|
||||||||||||||
∫ x2 + px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
4q − p2 |
|
4q − p2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3x
Пример 6.8. Найти интеграл ∫ ( x -1)( x + 2) dx .
Подынтегральная функция |
3x |
является правильной рациональной |
( x -1)( x + 2) |
||
дробью (n =1, m = 2, n < m) . Методом |
неопределённых коэффициентов |
разложим её на сумму простейших дробей. Согласно формуле (7) разложение запишется в виде:
24
3x |
= |
A ( x+2 |
A ( x−1 |
A ( x + 2) + A ( x -1) |
, |
|||
( x -1)( x + 2) |
x -1 + |
x + 2 = |
1 |
( x -1)( x + 2) |
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
откуда
A1x + 2 A1 + A2 x − A2 = 3x или ( A1 + A2 ) x + 2 A1 - A2 = 3x .
Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях x
( A1 + A2 ) × x + (2A1 - A2 ) × x0 = 3x + 0 × x0 ,
получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными A1 и A2 :
x : A + A = 3 |
3A = 3 |
A =1 |
||
x0 |
1 2 |
Û |
1 |
Û 1 |
: 2A1 - A2 = 0 |
A2 |
= 2A1 |
A2 = 2 |
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
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3x |
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A1 |
A2 |
1 |
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2 |
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|||||||||||||||||||
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= |
|
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|
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+ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
( x -1)( x + 2) |
x -1 |
x + 2 |
x -1 |
x + 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
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|||||||
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3x |
dx = |
|
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1 |
|
|
+ |
|
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|
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2 |
= |
|
|
dx |
|
+ |
|
|
2dx |
= |
||||||||||||||||||
|
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dx |
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|||||||||||||
∫ |
( x -1)( x + 2) |
∫ |
|
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|
∫ x - |
|
∫ x + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x - |
1 x |
+ 2 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ln |
|
|
x -1 |
|
+ 2ln |
|
x + 2 |
|
+ C = ln |
|
( x -1) × ( x - 2)2 |
|
|
+ C. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3x |
|
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Ответ: |
∫ |
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dx |
= ln |
|
( x -1)( x + 2) |
2 |
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|
+ C . |
|
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||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( x -1)( x + 2) |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
4x |
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||||||||||||
Пример 6.9. Найти интеграл ∫ |
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dx . |
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|||||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ 4x |
+ 3 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||
Подынтегральная функция |
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4x |
является правильной рациональной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 4x + 3 |
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дробью (n =1, |
m = 2, n < m) . |
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||||||||||
Разложим знаменатель этой дроби на линейные множители: |
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x2 + 4x + 3 = ( x - x1 )( x - x2 ), где
25
x = |
-4 ± 42 - 4 ×1× 3 |
= |
-4 ± |
16 -12 |
|
|
= |
-4 ± |
4 |
|
= |
-4 ± 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1,2 |
|
|
2 ×1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x = |
-4 + 2 |
= -2 = -1, x = |
-4 - 2 |
|
= -6 = -3. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x + 3) и следовательно, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
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|
4x |
= |
|
|
4x |
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 + 4x + 3 |
( x +1)( x + 3) |
|
|
Методом неопределённых коэффициентов разложим последнюю дробь на сумму простейших дробей. Согласно формуле (7) имеем:
|
|
4x |
|
|
( x+3 |
|
|
|
( x+1 |
|
|
|
|
A |
( |
x + 3 |
) |
+ B |
( |
x |
+ 1 |
|
|
|
Ax + 3A + Bx + B |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
( x + 1)( x + 3) |
x + 1 |
x + 3 |
|
|
|
|
|
( x + 1)( x + 3) |
|
|
( x + 1)( x + 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
откуда |
|
|
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|||||||||
|
|
|
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|
( A + B) × x + 3A + B = 4x + 0 × x0 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x : A + B = 4 |
|
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|
-2A = 4 |
|
|
|
A = -2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x0 : 3A + B = 0 Û |
B = -3A |
Û B = 6 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|||||||
Итак, |
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|||||||||
|
|
4x |
|
|
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|
−2 |
|
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|
6 |
|
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dx |
|
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|
dx |
|
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|||||||||||||||||||
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|
dx = |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
dx = −2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
6 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
∫ x + 1 |
∫ x |
+ |
|
(13) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x2 + 4x + 3 |
|
x + 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= −2ln |
|
x + 1 |
|
+ 6ln |
|
x + 3 |
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
3x + 5 |
|
|
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|||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||
Пример 6.10. Найти интеграл ∫ |
|
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dx . |
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|
|
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
+ 2x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Выполняя замену |
|
|
t = x2 + 2x + 5 , найдём |
|
|
dt = (2x + 2)dt . Преобразуем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подынтегральную функцию: |
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(2x + 2) − |
3 × 2 |
+ 5 |
|
|
|
3 |
(2x + 2) + 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 + |
|
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|
|
x2 + 2x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x + 5 |
|
Интеграл запишется:
26
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(2x + 2) + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 2 |
) |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
∫ |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ 2x + 5 |
|
|
x |
2 |
+ 2x |
+ 5 |
|
2 |
2 |
|
+ 2x + |
5 |
|
x |
2 |
+ 2x + |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
3 |
|
|
∫ |
dt |
|
+ 2∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 2x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
Выделяя полный квадрат |
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|||||||||||||||||||||||||||
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x2 + 2x + 5 = ( x + 1)2 − 1 + 5 = ( x + 1)2 + 4 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и обозначая x +1= u, |
du = dx , получим: |
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
3 |
ln |
|
x2 + |
2x + 5 |
|
+ |
|
2∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
3 |
ln |
|
x2 + 2x |
+ 5 |
|
+ 2∫ |
|
|
|
du |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
( x + |
1) |
2 |
+ 22 |
2 |
u |
2 |
+ |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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= |
3 |
ln |
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x2 + 2x + 5 |
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+ arctg |
x+1 |
+ C |
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2 |
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2 |
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Пример 6.11. Найти ∫ |
x5 + 4x4 + 18x + 19x2 − 6x + 20 |
dx . |
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x |
4 |
+ 2x |
3 |
+ 10x |
2 |
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|||||||||||||
Подынтегральная функция является неправильной дробью. Выполняя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
деление |
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− |
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x5 + 4x4 + 18x3 + 19x2 − 6x + 20 |
|
x4 + 2x3 + 10x2 |
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x5 + 2x4 + 10x3 |
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x + 2 |
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2x4 + 8x3 |
+ 19x2 − 6x + 20 |
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− |
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||||
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2x4 + 4x3 + 20x2 |
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|
4x3 − x2 |
|
− 6x + 20 , |
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находим: |
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|||||||||||||
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|
|
x5 + 4x4 + 18x3 + 19x2 − 6x + 20 |
= x + 2 + |
4x3 − x2 − 6x + 20 |
. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x4 + 2x3 + 10x2 |
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|
|
x4 + 2x3 + 10x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
Разложение на простейшие дроби запишется: |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4x3 − x2 − 6x + 20 |
|
4x3 − x2 − 6x + 20 A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
Mx + N |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
= |
|
|
|
|
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|
= |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
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|
(14) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x4 + 2x3 + 10x2 |
|
|
|
x2 (x2 + 2x + 10) |
|
|
x |
|
x2 |
x2 + 2x + 10 |
|
|
|
27
Неопределённые коэффициенты, полученные из решения системы уравнений, равны A = −1, B = 2, M = 5, N = −1. Подставим их в выражение
(13) и запишем интеграл: |
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||||||||||||||||||||||||
|
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|
∫ |
x5 + 4x4 + +18x3 + 19x2 − 6x + 20 |
|
|
|
∫ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
dx = |
x + 2 |
− |
|||||||
|
|
|
|
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|
x4 + 2x3 + 10x2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
|
|
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|
5 |
(2x + 2) − 6 |
|
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|||||||
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|
x |
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
|
+ 2x − ln |
|
x |
|
− |
+ |
∫ |
2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
x |
|
|
2 |
+ 2x |
+ 10 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Найдем интеграл |
|
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|||||||||||||||||
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|
5 |
(2x + 2) − 6 |
|
|
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|
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|
|
(2x + 2)dx |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||
∫ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
|
− 6∫ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
+ |
2x + 10 |
2 |
|
x |
2 |
+ 2x + 10 |
|
x |
2 |
+ 2x + 10 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
5 |
ln |
|
x2 + 2x + 10 |
|
− |
6 |
arctg |
x + 1 |
+ C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение запишется в виде:
1 |
+ |
2 |
+ |
5x − 1 |
= |
||
|
|
|
|
|
|||
x |
x2 |
x2 + |
|
||||
|
|
2x + 10 |
|
= |
5 |
∫ |
dt |
− 6∫ |
dx |
|
= |
|
2 |
t |
( x + 1) |
2 |
+ 32 |
||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
x5 |
+ 4x4 |
+ +18x3 + 19x2 − 6x + 20 |
dx = |
x2 |
+ 2x − ln |
|
x |
|
− |
2 |
+ |
||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x4 + 2x3 + 10x2 |
2 |
|
|
|
|
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
+ |
5 |
ln |
|
x2 + 2x + 10 |
|
− 2arctg |
x + 1 |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§7. ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Рассмотрим интеграл |
I1 |
= |
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||
∫ ax2 |
+ bx + |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для его вычисления преобразуем квадратный трехчлен ax2 +bx +C к виду: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
b |
с |
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
b |
|
с |
|
|
b |
|
2 |
|
||||
ax |
|
+ bx |
+ с = a × x |
|
+ |
|
x + |
|
|
= a x |
+ |
|
|
- |
|
|
+ |
|
|
= a x + |
|
|
± k |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
2a |
|
|
2a |
|
|
|
2a |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак «плюс» или «минус», стоящий перед k2 берется в соответствии со знаком |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
c |
|
b 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражения |
|
- |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
Интеграл запишется в виде:
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ax2 + bx + c |
a |
|
+ |
|
|
b |
2 |
|
± k |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2a |
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Выполняя замену переменной |
x + |
b |
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= t , получим dx=dt. Тогда: |
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2a |
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||||||
1 |
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∫ |
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dx |
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1 |
∫ |
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dt |
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= |
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. |
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a |
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b |
2 |
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2 |
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a |
t 2 ± k 2 |
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x + |
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± k |
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2a |
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Последний интеграл табличный (см. формулы). |
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Пример 7.1. |
Найти интеграл ∫ |
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dx |
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. |
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|
2x |
2 |
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+ 4x − 6 |
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Преобразуем знаменатель |
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2x2 + 4x − 6 = 2(x 2 + 2x − 3) = 2[(x + 1)2 −1 − 3]= 2[(x + 1)2 − 4]= 2[(x + 1)2 − 22 ]. |
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Запишем интеграл в виде: |
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∫ |
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|
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|
dx |
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= |
1 |
∫ |
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|
|
dx |
|
|
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|
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|||||
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|||||||
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2x |
2 |
+ 4x + 6 |
2 |
(x +1) |
2 |
|
− |
2 |
2 |
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Делаем замену переменной x +1 = t , dx = dt . Подставляя в интеграл, получим:
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1 |
∫ |
|
dx |
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|
1 |
∫ |
|
dt |
|
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|
|
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|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t - 2 |
|
|
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|
|
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|
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||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
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|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
× |
|
|
|
|
|
× ln |
|
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|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
(x + 1)2 - 22 |
2 |
t 2 - 22 |
2 |
2 × 2 |
t + 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда: |
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
∫ |
|
dx |
|
|
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1 |
|
x +1 - 2 |
|
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|
|
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|
1 |
|
x -1 |
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
= |
|
|
×ln |
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
= |
|
|
ln |
|
|
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x 2 + 4x + 6 |
8 |
x +1 + 2 |
8 |
x + 3 |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Пример 7.2. Найти интеграл |
∫ |
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|
dx |
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|
. |
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||||||||||||||||||
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3x |
2 |
|
|
|
+ 9x + 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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Выполним преобразования: |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ 9x + 27 = 3[x |
|
|
+ 9] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
9 |
|
|
|||||||||||||||
3x |
|
|
+ 3x |
= |
3 x + |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
+ 9 = |
3 x + |
|
|
- |
|
+ 9 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
29
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 x + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 3 x + |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
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|
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Интеграл запишется в виде: |
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
1 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
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|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 9x + 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
||||||||
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|
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|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
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|
|
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Заменяя x + |
3 |
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= t , получим |
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dx=dt. Подставляя, интеграл запишется в виде: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
= |
1 |
× |
|
|
|
2 |
|
|
× arctg |
2t |
|
+ C . |
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
27 |
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2 |
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27 |
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27 |
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x |
+ |
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+ |
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t |
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+ |
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2 |
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2 |
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2 |
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Тогда |
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dx |
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= |
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2 |
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arctg |
2x |
+ |
3 |
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+ C . |
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∫ |
3x2 + 9x + |
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27 3 27 |
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27 |
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Рассмотрим интеграл |
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A x + B |
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A |
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(2a x + b) + B − |
Ab |
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I2 = |
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dx = |
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2a |
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dx = |
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2a |
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∫ a x2 + b x + |
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∫ |
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a x2 + b x + с |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
с |
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A |
∫ |
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2a x + b |
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Ab |
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2 |
dx |
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2 |
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∫ |
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||||||||
= |
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dx + B − |
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2a a x + b x + с |
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2 a a x + b x + с |
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Последний интеграл есть интеграл I1, вычисленный выше.
Выполняя замену переменной a x2 +
Следовательно,
A (2a x + b)dx A dt 2a ∫ a x2 + b x + с = 2a ∫ t =
Окончательно получим: |
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||
∫ |
A x + B |
A |
|
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2 |
||
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|||||||
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dx = |
|
ln |
|
a x |
|
|
a x2 + b x + с |
2a |
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|||||
|
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|
b x + с = t , получим (2a x + b) dx = dt .
A ln t + R = A ln a x2 + bx + с + R .
2a 2a
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AB |
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|
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|||
+ b x + с |
+ B - |
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× I1 . |
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||||
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2a |
|