3493
.pdf30
Рис. 24.
Возьмем произвольную точку M на окружности. Треугольник OMN прямоугольный. Получаем уравнение окружности в виде ρ = 2R cosϕ .
4.Покажем, что уравнение ρ = 2a sinϕ и полярных координатах
определяет окружность радиуса a . Подставим выражения для ϕ и ρ через x и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y в уравнение: x2 |
|
+ y 2 |
= 2a × |
|
|
|
. |
Умножая обе части уравнения на |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y 2 |
|
||
|
|
|
|
|
x2 + y 2 = 2ay |
|
|
x2 + (y - a)2 = a2 . Это уравнение |
||||||
|
x2 + y 2 |
, получим |
|
|
или |
|||||||||
окружности радиуса |
|
a |
|
с центром в точке (0, a). |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Пусть в декартовой системе координат заданы прямые x = a , y = b .
Уравнения этих прямых в полярной системе координат ρ = |
a |
, ρ = |
b |
. |
|
cosϕ |
sinϕ |
||||
|
|
|
6.Рассмотрим уравнение ρ = a sin 3ϕ , a > 0 . Переход к декартовым
координатам здесь довольно громоздкий и приводит к алгебраическому уравнению высокой степени. Поэтому посмотрим эту кривую, исходя из качественных соображений.
Период правой части уравнения равен 2π , поэтому достаточно построить
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2π |
|
|
|
кривую |
для |
значений |
полярного |
угла |
из |
интервала 0, |
|
. По свойствам |
||||
3 |
||||||||||||
|
ρ = a sin 3ϕ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции |
см. рис. 22, |
видно, |
что полярный радиус ρ монотонно |
|||||||||
возрастает |
при 0 £ ϕ £ π |
и |
при |
ϕ £ π |
монотонно |
|
убывает. При |
|||||
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
π £ ϕ £ 2π правая часть уравнения ρ = a sin 3ϕ отрицательна, для этих значений
33
ρточек кривой нет. Для остальных значений кривая получается при повороте на
угол |
2π n |
(n = 1,2) части кривой, расположенной между лучами ϕ = 0 и ϕ = |
2 |
π , |
|||
|
|
||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
||
рис. 24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
π |
|
|
|
|
|
|
3 |
π |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
6 |
|
|
|
|
|
|
31 |
π |
π |
π |
2π |
ϕ |
O |
O |
3 |
2 |
3 |
|
|
6 |
|
|
− a
Рис. 25.
Задание 3.
Построить кривые в полярной системе координат.
3.01. ρ = 4sin 2ϕ 3.02. ρ = 2(1 + sinϕ ) 3.03. ρ = 3cos3ϕ 3.04. ρ = 2sin 2 2ϕ 3.05. ρ = 3cos2 2ϕ 3.06. ρ = 4cos 2ϕ 3.07. ρ = 3(1 − cosϕ )
3.08. ρ = 2(cosϕ + sinϕ ) 3.09. ρ = 6(sinϕ − cosϕ )
3.10. ρ = 4cos2 ϕ
3.11. ρ = |
3 |
|
|
|
sin |
ϕ |
|||
|
||||
3.12. ρ = |
5 |
|
||
|
|
|
||
cosϕ |
||||
|
3.13. ρ = 3(1 − sinϕ )
3.14. ρ = |
|
3 |
|
|
|
|
8cos 2ϕ |
||||||
|
||||||
3.15. ρ = |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5sin 2ϕ |
||||||
|
||||||
3.16. ρ = |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− cosϕ |
|||||
1 |
||||||
3.17. ρ = |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− 4cosϕ |
|||||
3 |
3.18. ρ = 4 − 2sin 2ϕ 3.19. ρ = 3 + cos 2ϕ 3.20. ρ = 2 − sin 3ϕ
32
3.21.ρ = 3 + 2cos 2ϕ
3.22.ρ = 4 − 2sin 3ϕ
3.23.ρ 2 = 4cos 2ϕ
3.24.ρ = 2(1 + 2cosϕ )
3.25.ρ 2 × sin 2ϕ = 4
3.26.ρ × cosϕ = 2
3.27. ρ = |
|
1 |
|
− 2cosϕ |
|
2 |
3.28. ρ = 1 + cos 2ϕ 3.29. ρ = 2 + cosϕ 3.30. ρ = 3 − sin 2ϕ
§9. Поверхности второго порядка
1.Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям.
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой,
пересекающей заданную линию и параллельной заданному направлению. Заданная линия называется направляющей, а совокупность параллельных прямых – образующими.
Уравнение F (x, y) = 0 задает цилиндрическую поверхность с образующей,
параллельной оси oz и направляющей – |
кривой F (x, y) = 0 в плоскости xoy . |
|||||||||
Уравнение F (x, z) = 0 задает цилиндрическую поверхность с образующей, |
||||||||||
параллельной оси oy и направляющей – |
кривой F (x, z) = 0 в плоскости xoz . |
|||||||||
Уравнение F (z, y) = 0 задает цилиндрическую поверхность с образующей, |
||||||||||
параллельной оси oz и направляющей – |
кривой F (z, y) = 0 в плоскости zoy . |
|||||||||
Уравнение |
x2 |
+ y 2 = R2 задает |
круговой цилиндр |
с |
образующей |
|||||
параллельной оси oz |
|
и направляющей – |
окружностью x2 + y 2 |
= R2 |
в плоскости |
|||||
xoy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
x2 |
|
+ |
|
y 2 |
=1 задает эллиптический цилиндр. |
|
|
||
a2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|||
Уравнение y 2 |
|
= 2 px задает параболический цилиндр. |
|
|
||||||
Уравнение |
x2 |
|
- |
y 2 |
=1 задает гиперболический цилиндр. |
|
|
|||
a2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
2.Поверхности второго порядка, заданные своими каноническими уравнениями.
a) |
x2 |
+ |
y 2 |
+ |
z 2 |
=1 – эллипсоид |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
33
z
c
|
|
|
|
− a |
|
|
− b |
a |
|
0 |
b |
y |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
− c |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
При a = b = c |
x2 + y 2 + z 2 = a2 – сфера |
|
|
|||
b) x2 |
+ y 2 |
− z 2 |
= 1 – |
однополостный гиперболоид |
||
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|
z
|
b |
a |
o |
y |
x
Рис. 27.
c) |
x2 |
+ |
y 2 |
− |
z 2 |
= −1 – двуполостный гиперболоид |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
z
c
-b |
0 b |
y |
− c
x
34
Рис. 28.
d) |
x2 |
+ |
y 2 |
= 2z , p × q > 0 – эллиптический параболоид |
|
p |
q |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
(p > 0, q > 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Рис. 29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e) |
x2 |
+ |
|
y 2 |
|
= 2z , |
|
p × q < 0 – |
гиперболический параболоид |
|||
p |
|
q |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
(p > 0, q < 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
Рис. 30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f) |
x2 |
|
+ |
y 2 |
|
= |
z 2 |
|
– |
конус второго порядка |
||
a2 |
|
b2 |
|
c2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z
y
x
35
Рис. 31.
Задание 4
Определить виды поверхностей и изобразить их.
4.01.
1.3x2 + 4 y 2 − z 2 = 12
2.z 2 − 2x + 4 = 0
3.x2 + 2x + y 2 = 0
4.02.
1.x2 − 3y 2 + z 2 = −6
2.2 y 2 − 4 y + x + 1 = 0
3.x2 − 2 y 2 + z 2 = 0
4.03.
1.2x2 + 4 y 2 + z = 1
2.2x2 + 4x + 3y 2 = 0
3.z + 4 + y 2 + 2 y = 0
4.04.
1.2x2 − 4 y 2 + z 2 = 4
2.3y2 + 6 y + z − 1 = 0
3.x2 + y 2 = 2 y
4.05.
1.3x2 + 4z 2 + y = 3
2.x2 + 3y2 − z 2 = −6
3.2 y 2 + y − z + 4 = 0
4.06.
1.3x2 + 4z − 5 = 0
2.x2 + y 2 + z 2 − x = 0
3.y 2 − x2 + 2z 2 = 0
4.07.
1. x2 + 2x + y 2 + z 2 = 1
36
2.y 2 + 2 y + z 2 = 1
3.z + 4 − x2 + x = 0
4.08.
1.2 y + 1 + x2 = 2x
2.y 2 − x2 + 2z 2 = −4
3.2x2 + 4 y 2 + 8z 2 = 1
4.09.
1.3x − 1 + y 2 = − y
2.2x2 − 3y 2 = 16
3.z 2 − x2 + 2 y2 − 4 = 0
4.10.
1.2z + 4 + x2 = 2x
2.x2 + 2 y 2 = 1
3.2x2 + 4 y 2 + z 2 = 4
4.11.
1.2z − 3 − x2 + 4x = 0
2.x2 − 2 y 2 = 2x
3.3x2 − y 2 − z 2 = 6
4.12.
1.2 y + 3 + z 2 − 2z = 0
2.3y2 + 4z 2 = x − 4
3.z 2 + z + y 2 − 2 y = 1
4.13.
1.2x2 + 6 y 2 = 3z
2.x2 − 2x − 2 y 2 + 4 y = 0
3.3x2 + 2 y2 − z 2 = 1
4.14.
1.3x2 − y 2 + 6z 2 = 12
2.x2 − 2x + 2 y 2 = 0
3.3x + 2 + y 2 + 2 y = 0
4.15.
37
1.z = 3 y + 1
2.3x2 + y 2 − 3z 2 = −6
3.y 2 + 2 y + z 2 = 1
4.16.
1.y = −3x + 1
2.x2 + 2 y 2 + z 2 = 8
3.z 2 − 2 y 2 + 4 = 0
4.17.
1.y 2 + 2 y + z 2 = x − 4
2.3x2 + 4z 2 = 1
3.2x + 1 + y 2 = 0
4.18.
1.3y + 4 − z 2 = 0
2.x2 + 2x − z 2 = 1
3.2x2 − y 2 − z 2 = 4
4.19.
1.− x2 + 2x + z = 1
2.x2 − 2 y 2 + z 2 = −4
3.3y2 + 4z 2 = 1
4.20.
1.2x2 + 4 y 2 = 8z
2.x2 − 3z 2 = 6
3.y + z 2 − 2z = 0
4.21.
1.2x2 + 4 y 2 + z 2 = 8
2.x2 − 2x + y2 − 1 = 0
3.y = 2 z − 3
4.22.
1.y 2 + 2x2 = 4z
2.x2 + 2x + y 2 + z 2 = 3
3.z = 2 y + 1
4.23.
38
1.3z + y2 = x − 3
2.y = − x + 4
3.x2 − 3y2 − z2 = 0
4.24.
1.x = 1 − y + 2
2.x2 − 2x − y2 + z2 = 1
3.2x2 + z2 = 4
4.25.
1.x2 + 2x + z2 = y − 4
2.3y2 + 4z2 = 1
3.2 y + 1 + x2 = 0
4.26.
1.3x − 4 − z2 = 0
2.y2 + 2 y − z2 = 1
3.2z2 − y2 − x2 = 4
4.27.
1.− y + x2 − 2x = 1
2.z2 − 2 y2 + 2x2 = −1
3.3z2 + 4 y2 = 1
4.28.
1.2x + 4 + z2 = 2z
2.2 y2 + 3z2 = x
3.3y2 + z2 = 1
4.29.
1.z = −3 x = 1
2.x2 + 4 y2 + 2z2 = 16
3.x2 − 2 y2 + 4 = 0
4.30.
1.x2 − 3y2 − 6z2 = 24
2.2 y + 1 + x2 = 1
3.x2 + 4z2 = 12
39
Задание 5
Построить тело, ограниченное поверхностями:
5.01. z = x2 |
+ y 2 , x = 4, |
y = 2, |
x = 0, y = 0, z = 0 |
||||||||||||||
5.02. y = |
|
|
|
|
|
y = 2 |
|
|
|
x + z = 6, z = 0 |
|||||||
|
x, |
|
x , |
||||||||||||||
5.03. x2 + y 2 |
= 4 y, |
z = 4 − x2 , |
z = 0 |
||||||||||||||
5.04. y = 0, |
|
|
z = 0, z = 3x, y = |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
9 - x2 |
|
|
|
|||||||||||
5.05. x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 3, z = x2 + |
y2 |
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
5.06. y = 3 |
|
|
|
, y = 0, |
z = 0, x + 2z = 4 |
||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||
5.07. z = |
|
, z = 0, |
y = 0, |
2x + y = 1 |
|||||||||||||
1 - y |
|||||||||||||||||
5.08. x = y 2 , |
|
z = 0, |
3x + z = 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
5.09. y = 2x 2 , z = 0, |
y + z = 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.10. x2 + y 2 |
+ 4 y = 0, |
z = 4 - x2 , z = 0 |
5.11.y = - x, y = 0, z = 0, x - 2 y + z = 4
5.12.z = 9 - x2 , y = 0, z = 0, x + 3y = 3
5.13.x = 9 - z , x = 0, y = 0, z = 0, 2x - y = 6
5.14.3x + 2 y = 4, z = 4 - y 2 , x = 0, z = 0
5.15.y = 1 - z , x = 0, y = 0, z = 0, x + 4 y = 4
5.16.z = 4 - y 2 , x = 0, x = 4, z = 0
5.17.y = 3 z , x = 0, y = 0, z = 0, x + y - 3 = 0
5.18. z = 2 y 2 , |
x = 0, |
y = 0, z = 0, |
x + y -1, y ³ 0 |
|||||||||
5.19. y = -2 |
|
|
|
, y = 0, z = 0, |
x + z = 2 |
|||||||
|
|
x |
||||||||||
5.20. y = -x2 , |
z = 0, |
y - z +1 = 0 |
|
|
|
|
||||||
5.21. x = y 2 , |
|
z = 0, 2x + z = 6 |
|
|
|
|
|
|
||||
5.22. y = - |
|
|
y = 0, |
z = 0, |
x |
- |
y |
+ |
z |
= 1 |
||
x, |
||||||||||||
3 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5.23.z = 4 - x 2 , y = 0, z = 0, 2x + y = 4
5.24.x = 4 - z , x = 0, 2x - y = 4, z = 0, y = 0
5.25. z = 9 - y 2 , |
x = 0, |
z = 0, |
3x + 2 y = 6 |
||||
5.26. z = 4 - y 2 , |
x = 0, |
y = 0, |
z = 0, 3x + 4 y = 12 |
||||
5.27. |
2 y = |
|
, |
x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 3y -12 = 0 |
|||
z |
|||||||
5.28. |
z = 2 y 2 , |
2x + 3y -12 = 0, x = 0, y = 0, z = 0 |
5.29.z = 6 - y 2 , x = 0, x = 3, z = 0
5.30.y = x , y = 0, z = 0, x + z = 3