Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3493

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

369.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

«Вырождения» гиперболы:

x 2

y 2

y x

= 0

−

= 0 отсюда

−

= 0 и

= 0

b 2

a 2

b a

a b

или

y =

y = −

x –

пара пересекающихся прямых.

Пример. Точка M (6,−2

) лежит на гиперболе, уравнения асимптот

которой y = ±

x . Составить уравнение гиперболы и построить ее.

Решение. Каноническое уравнение гиперболы

y 2

=1, т.к. асимптоты

y = ±

x , то

, b =

a . Подставим последнее в уравнение гиперболы:

y 2

× 9 =1, далее т. M (6,-2

) лежит на гиперболе, т.е.

8 × 9

=1,

4a2

a 2

4a 2

144 - 72

=1,

72 = 4a2 ,

= 18 ,

a = 3

; тогда b =

× 3

= 2

2 . Итак,

4a 2

искомое уравнение

y 2

=1.

- 3 2	3 2	x
		x

- 22

Рис. 7.

§ 5.Парабола. Каноническое уравнение параболы

Параболой называется множество, состоящее из всех точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F , называемой

фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой

директрисой (не содержащей т. F ).
		Пусть p – расстояние от F			до директрисы. По определению параболы
		=		,	(11)
	MF	=	MN	,	(11)

где точка M – произвольная точка параболы,		N –
		p
Выберем систему координат так, чтобы т.	F		,0
		2

директрисой.

M(x,y)

−	p	0	F	p	,0

				2
2

ее проекция на директрису.

была фокусом, а x = − p –

Рис. 8.

Запишем соотношение (11) в координатах:

	p	2	2			p 2
x −		+ y		=	x +

	2					2

это и есть уравнение параболы. После упрощения получим: y 2 = 2 px

Уравнение (13) называется каноническим уравнением параболы. Основные характеристики параболы:

1.Парабола (13) симметрична относительно оси ox .

2.Точка O(0,0) – вершина параболы (13).

3.Фокальный радиус точки M(x,y) параболы: FM = x + p .

(12)

(13)

Уравнение вида y2 = −2 px (14) определяет параболу, для которой x ≤ 0 , т.е. график этой параболы:

M(x,y)

	−	p		0	p	x
F			,0		2
		2

Рис. 9.

Уравнения вида

= 2 py

(15)

= −2 py

(16)

задают параболы симметричные относительно оси oy :

F 0,

F 0,−

−

Рис. 11.

Рис. 10.

«Вырождения» параболы:

= −k 2 , y 2 = −k 2 . Эти уравнения

не определяют

никакого точечного

множества при k ¹ 0 .

= k 2 ,

эти уравнения определяют пару параллельных прямых:

x = ±k и y = ±k . При k = 0 эти прямые совпадают.

Пример. Парабола, симметричная относительно оси oy , имеет вершину в начале координат и проходит через точку (6,-2). Написать уравнение параболы и определить координаты ее фокуса.

		13
Решение.	Уравнение	параболы,	симметричной относительно оси oy :
x2 = 2 py либо x2	= -2 py . Подставим координаты точки в оба уравнения:
62 ¹ 2 p × (- 2), т.к. p > 0 .			62 = -2 p × (- 2)
			36 = 4 p
			p = 9
Уравнение параболы x2		= -18y , ветви вниз и F (0;−4,5)

-2

F(0;-4,5)

Рис. 12.

§ 6. Применение преобразования координат к приведению уравнений кривых второго порядка к каноническому виду

Значения коэффициентов A, B,C общего уравнения	(1)	кривой	II-го
порядка Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 определяют,	к	какому	типу

относится кривая (эллиптическому, гиперболическому или параболическому). Так, например, если A = C и B = 0 , то кривая – окружность или ее «вырождения». В общем случае, если:

A B

1.= AC - B2 > 0 , то кривая эллиптического вида.

B C

2.A B = AC - B2 < 0 , то кривая гиперболического вида.

B C

3.A B = AC - B2 = 0 , то кривая параболического вида.

B C

Спомощью преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей общее уравнение кривой II-го порядка можно привести к каноническому виду.

Рассматриваются следующие преобразования координат:

1)параллельный перенос координатных осей:

y y′

			′	x	′
			o (a,b)	x
o					x
Рис. 13.
M (x, y) –			точка с координатами в старой системе координат oxy ,
′	′	) –			′ ′	′	,
M (x , y		) –	точка с координатами в новой системе координат o x y				,
′		–	начало координат	новой системы с координатами		в		старой
O (a,b)		–	начало координат	новой системы с координатами		в		старой
системе.
x = x′	+ a							осей,
			– формулы параллельного переноса координатных					осей,
y = y¢	+ b
выражающие старые координаты через новые.
x′ = x - a
			– обратные формулы.
y¢ = y	- b
2) Поворот координатных осей на угол α :
	y′		y	x′
	y′		M	x′

0	x

Рис. 14.
M (x, y) –		точка с координатами в старой системе координат oxy ,
′ ′	)			′ ′ ′	.
M (x , y		– точка с координатами в новой системе координат o x y
x = x′ × cosα - y′ × sinα			–	формулы преобразования координат т. M при

y = x¢ × sinα + y¢ × cosα
повороте осей на угол α .
x′ = x × cosα + y × sinα			–	обратные формулы.

y¢ = -x × sinα + y × cosα

Пример 1. С помощью параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду уравнение кривой x2 + 2 y 2 − 4x + 8 y − 10 = 0 и построить ее.

Решение.

AC − B2

= 2 > 0 – кривая эллиптического типа.

Преобразуем

данное уравнение – сгруппируем полные квадраты

x2 − 4x + 4 − 4 + 2(y 2 + 4 y + 4 − 4)− 10 = 0

(x − 2)2 + 2(y + 2)2 = 22

(x - 2)2

+ (y + 2)2

=1.

′

Положим x − 2 = x

эта система задает формулы параллельного переноса

y + 2 = y′

осей координат

в т. O1 (2,−2). Получим

уравнение эллипса:

x12

y12

=11, с

и центром симметрии в т.O1 (2,−2).

полуосями a =

, b =

y′

-a

x′

-b

Рис. 15.

Замечание. С помощью параллельного переноса координатных осей удается в общем уравнении избавиться от слагаемых, содержащих x и y в первой степени.

Пример 2. Преобразовать уравнение xy = m (m > 0) к простейшему виду.

Решение: AC - B2 = -1 < 0 –					кривая гиперболического типа. Повернем
заданную систему координат на угол α .
Подставим в заданное уравнение формулы
x = x′ × cosα - y′ × sinα
		= x¢ × sinα + y¢ × cosα
y		= x¢ × sinα + y¢ × cosα
(x′cosα − y′sinα )(x′sinα + y′cosα ) = m
x	′2	cosα sinα - y	′2		′ ′	2	α - sin	2	α )= m
x		cosα sinα - y		sinα cosα + x y (cos			α - sin		α )= m

cos2 α − sin 2 α = 0 ,

cos 2α = 0 ,

2α = π ,

α = π .

Итак, при α = π мы избавились в уравнении от слагаемого, содержащего

произведение x′ × y′ и получили уравнение вида

x¢2 ×

- y¢2 ×

= m

или

x′2

y′2

=1 – это уравнение гиперболы с полуосями a = b =

	y′	y
	y′	x′
		x′

- 2m

Рис. 16.

Замечание. С помощью поворота координатных осей удается избавиться от слагаемого, содержащего произведение xy .

Пример. 3. Привести к простейшему виду и построить кривую, заданную

уравнением: x2	+ 4x + 3y + 6 = 0 .
Решение.	AC − B2 = 0 – кривая параболического типа. Сгруппируем

полный квадрат и преобразуем данное уравнение: x2 + 4x + 4 − 4 + 3y + 6 = 0

				17
2		2			x + 2		= x¢

(x + 2)	= -3 y +		.Положим,	что		2	= y¢	являются формулами

		3			y +
						3

параллельного переноса в	т.O1	- 2,-			2	. Получим		уравнение: x′2 = -3y′ –
параллельного переноса в	т.O1	- 2,-				. Получим		уравнение: x′2 = -3y′ –
					3
парабола с вершиной в т. O1	- 2,-		2	и симметричная относительно оси oy′ .
парабола с вершиной в т. O1	- 2,-			и симметричная относительно оси oy′ .
			3
	y′			y
		-2						x
				O
	O					−	2	x′
	O					−
	1					3
	1
				-2

		Рис. 17.
		Пример 4. Построить кривую y =																									x + 3		.
		Пример 4. Построить кривую y =																											.
																										2x + 1
		Решение. Перепишем уравнение 2xy - x + y - 3 = 0 , 2x + 1 ¹ 0 .
AC - B2					= -4 < 0 –										кривая гиперболического типа.
		Преобразуем данное уравнение:
		2 y x +							1	-					x +			1			-	5	= 0
		2 y x +								-					x +						-		= 0
									2										2		2
		x +					1	y -							1	=			5
		x +						y -								=
							2								2			4
										1			= x¢ . Получим x¢ × y¢ =
Положим x +																									5		.
										2															5
										2
						y -					1		= y¢											4
						y -							= y¢											4
										2
O¢	-	1	,	1		–		новое начало координат после параллельного переноса.
O¢	-		,			–		новое начало координат после параллельного переноса.
		2 2																					′ ′	′			′
																							′ ′	′			′	на угол		45	o	(см. пример 2).
		Повернем оси координат o x																						и o y				на угол		45		(см. пример 2).

												2					2
		x¢ = x¢¢										2		- y¢¢			2
		x¢ = x¢¢												- y¢¢
										2								2
												2								2
												2								2
		y¢ = x¢¢								2				- y¢¢				2
										2								2

									18
Получим уравнение (x¢¢)2 ×						1		- (y¢¢)2 ×		1	=	5	,
Получим уравнение (x¢¢)2 ×								- (y¢¢)2 ×			=		,
′′ 2	− (y	′′ 2		2					2		4
									a = b =
				гипербола, где										2,5 .
(x )		)	= 1 –	гипербола, где										2,5 .
2,5	2,5
							y′		y
			y′′												x′′

				2,5
				2,5							2,5
											2,5
								O′	1
								O′	2						x′
									O						x′
							− 1		−						x
							− 1				2,5
			−		2						2,5
					2
				2,5

Рис. 18.

Задание 1

1.01. Составить уравнение эллипса, имеющего общие фокусы с

гиперболой x2 − 2 y 2 = 24 , если эксцентриситет равен 3 .

1.02. Найти расстояние от центра окружности x2 + y 2 + 6x + 2 y − 5 = 0 до асимптот гиперболы 9x2 − 16 y 2 = 144 .

1.03. На параболе y 2 = 32x взяты две точки M1 и M 2 , расстояния которых до фокуса этой параболы равны 10. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок M1 M 2 .

1.04. Вершины эллипса, большая ось которого лежит на оси абсцисс, совпадают с вершинами равносторонней гиперболы. Составить уравнения обеих кривых, если известно, что точка M (6, 2), лежащая на гиперболе, равноудалена от ближайших к ней фокусов эллипса и гиперболы.

1.05. Ось симметрии параболы параллельна оси ординат, а уравнение директрисы y − 10 = 0 . Составить уравнение параболы, если она пересекает ось ox в точках (− 5,0) и (11,0).

		19
1.06. Вершина параболы совпадает с одним				из	фокусов гиперболы
9x2 − 16 y 2 = 144 .	Составить	уравнение	параболы,	если	известно,	что	ее
директриса проходит через точки (− 4,−3) и (− 4,3).
1.07. Директриса параболы пересекает эллипс				9x2 + 20 y 2 = 324		в точках
(− 4,3) и (4,3),
	а расстояние от этих точек до фокуса параболы равно 2						5 .
Составить уравнение параболы.			x2 − y 2 = 16
1.08. Равносторонняя		гипербола		проходит через		фокусы

эллипса. Составить простейшее уравнение	этого эллипса, если отношение

эксцентриситетов гиперболы и эллипса равно		3 .

1.09.	Найти длину	стороны квадрата, вписанного в эллипс
9x2 + 16 y 2	= 576 .
1.10. Найти угол, под которым из фокуса параболы x2 − 4x + 8 y − 20 = 0
видна большая ось эллипса x2		+ 2 y 2 = 16 .